ΜΚΔ(φ(n),n)=1

#1

Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση:

${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ αν και μόνο αν ο

είναι πρώτος αριθμός, όπου $\varphi$ η (αριθμητική) συνάρτηση του Euler.

#2

grigkost έγραψε:Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση:

${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ αν και μόνο αν ο είναι πρώτος αριθμός, όπου $\varphi$ η (αριθμητική) συνάρτηση του Euler.

Δεν ισχύει: Για τον σύνθετο

είναι ${\rm{MK}\Delta}(\varphi(15), 15)={\rm{MK}\Delta}(8, 15)=1$

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
grigkost έγραψε:Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση:

${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ αν και μόνο αν ο είναι πρώτος αριθμός, όπου $\varphi$ η (αριθμητική) συνάρτηση του Euler.
Δεν ισχύει: Για τον σύνθετο είναι ${\rm{MK}\Delta}(\varphi(15), 15)={\rm{MK}\Delta}(8, 15)=1$

Μιχάλη,

ευχαριστούμε για την άμεση απάντηση.
Ας "χαλαρώσουμε" την συνθήκη "ο είναι πρώτος αριθμός":

Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση:

${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ αν και μόνο αν ο

είναι είναι γινόμενο της μορφής $n=p_1 p_2\ldots p_k$ , όπου $p_i, \; i=1,2,\ldots, k$ διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί, δηλ. $i\neq j \quad\Rightarrow \quad p_i\neq p_j$ .

nickthegreek · #4

grigkost έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
grigkost έγραψε:Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση:

${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ αν και μόνο αν ο είναι πρώτος αριθμός, όπου $\varphi$ η (αριθμητική) συνάρτηση του Euler.
Δεν ισχύει: Για τον σύνθετο είναι ${\rm{MK}\Delta}(\varphi(15), 15)={\rm{MK}\Delta}(8, 15)=1$
Μιχάλη,

ευχαριστούμε για την άμεση απάντηση.
Ας "χαλαρώσουμε" την συνθήκη "ο είναι πρώτος αριθμός":

Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση:

${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ αν και μόνο αν ο είναι είναι γινόμενο της μορφής $n=p_1 p_2\ldots p_k$ , όπου $p_i, \; i=1,2,\ldots, k$ διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί, δηλ. $i\neq j \quad\Rightarrow \quad p_i\neq p_j$ .

Καλημέρα στην παρέα του mathematica μετά από καιρό!

Ούτε το παραπάνω ισχύει. Για τον "square-free" αριθμό $k = 21 = 3 \cdot 7$ έχουμε $\phi(21) = 12$ . Άρα το ζητούμενο δεν ισχύει. Θέλει λίγο περισσότερη προσοχή για να βρει κάποιος μια "καλή" περιγραφή των αριθμών με την εν λόγω ιδιότητα. Ειδικότερα, αφήνω μια αρκετά γνωστή ιδιότητα :

Έστω $n \in \mathbb{Z} \mid (\phi(n) , n) = 1$ . Τότε υπάρχει μοναδική ομάδα τάξης

(up to isomorphism).

Φιλικά,
Νίκος

#5

nickthegreek έγραψε: Έστω $n \in \mathbb{Z} \mid (\phi(n) , n) = 1$ . Τότε υπάρχει μοναδική ομάδα τάξης (up to isomorphism).

Το έχουμε δει (μαζί με το αντίστροφό του) εδώ, όπου αποδεικνύεται και ότι $\displaystyle{\left( {n,\varphi \left( n \right)} \right) = 1}$ αν και μόνο αν $\displaystyle{n = {p_1}{p_2} \cdots {p_r}}$ , όπου $\displaystyle{{p_1},{p_2}, \ldots ,{p_r}}$ διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί με $\displaystyle{\left( {{p_i},{p_j} - 1} \right) = 1}$ για κάθε $\displaystyle{i,j \in \left\{ {1,2, \ldots ,r} \right\}}$ με $\displaystyle{i \ne j}.$

#6

nickthegreek έγραψε:
grigkost έγραψε: Να εξετασθεί αν ισχύει η παρακάτω πρόταση:

${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ αν και μόνο αν ο είναι είναι γινόμενο της μορφής $n=p_1 p_2\ldots p_k$ , όπου $p_i, \; i=1,2,\ldots, k$ διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί, δηλ. $i\neq j \quad\Rightarrow \quad p_i\neq p_j$ .
Ούτε το παραπάνω ισχύει. Για τον "square-free" αριθμό $k = 21 = 3 \cdot 7$ έχουμε $\phi(21) = 12$ . Άρα το ζητούμενο δεν ισχύει.

Νίκο,

ευχαριστούμε για το αντιπαράδειγμα. Δεν ισχύει:

Αν ο

είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε ${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ .

Το αντίστροφο; Δηλαδή:

Αν ${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ , τότε ο

είναι ελεύθερος τετραγώνου.

#7

grigkost έγραψε: Αν ${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)=1$ , τότε ο είναι ελεύθερος τετραγώνου.

Ισχύει.

Αν $n=p_1^{a_1}\cdot ...\cdot p_k^{a_k}$ τότε $\varphi(n)= p_1^{a_1-1}\cdot ...\cdot p_k^{a_k-1}(p_1-1)\cdot ... \cdot (p_k-1)$ . Οπότε αν a_1>1

(όμοια τα υπόλοιπα) τότε ο p_1

θα ήταν παράγοντας και του $\varphi(n)$ και του

, που σημαίνει ${\rm{MK}\Delta}(\varphi(n), n)\ge p_1$ , άρα όχι

. Άτοπο. Και λοιπά.

Tolaso J Kos · #8

nickthegreek έγραψε: Έστω $n \in \mathbb{Z} \mid (\phi(n) , n) = 1$ . Τότε υπάρχει μοναδική ομάδα τάξης (up to isomorphism).

Ισχύει και το ισχυρότερο αποτέλεσμα.

Θεώρημα:

Κάθε θετικός ακέραιος ικανοποιεί τη σχέση $\gcd( \varphi(m), m)=1$ αν και μόνο αν κάθε ομάδα τάξης είναι μηδενοδύναμη. (nilpotent)

Το αποτέλεσμα αυτό φέρει και όνομα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Το θεώρημα που παραθέτει ο Τόλης δεν είναι αληθές.
Δεν ισχύει για το εννέα.
The theory of Groups
An Itroduction
Josep J Rotman.
σελ 119 Lemma 6.24
Every finite p-GROUP G is nilpotent.

Tolaso J Kos · #10

Ναι σωστά.. γιατί το χω γράψει λάθος. Το κάθε πρέπει να γίνει ένας. Οπότε λοιπόν, η σωστή διατύπωση είναι αυτή:

Tolaso J Kos έγραψε:
Θεώρημα:

Ένας θετικός ακέραιος ικανοποιεί τη σχέση $\gcd( \varphi(m), m)=1$ αν και μόνο αν κάθε ομάδα τάξης είναι μηδενοδύναμη. (nilpotent)
Το αποτέλεσμα αυτό φέρει και όνομα.

Ευχαριστώ για τη διευκρίνιση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Τόλη καλημέρα.
Αν το κάθε το κάνεις μία πάλι είναι λάθος.
Αφού έχει όνομα γράψε ποιο είναι.
Μάλλον έχεις μεταφράσει λάθος.

Τα παρακάτω τα υποθέτω.
Υπάρχει η άσκηση 2.55 στο Problems in GROUP THEORY J.D Dixon
που αποδίδεται στον Burnside και έχει σχέση με το θέμα.
Αν εννοείς αυτή τότε ουσιαστικά είναι το ίδιο με αυτό που έγραψε ο Νίκος,
και δεν έχει καμμία σχέση με μηδενοδύναμες ομάδες

Tolaso J Kos · #12

Τελικά θέλουμε γυαλιά. Το αρχικό κείμενο δεν έχει $\varphi$ αλλά μία πολλαπλασιαστική συνάρτηση $\psi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ η οποία ορίζεται ως εξής:

$\psi(1)=1$ και
$\psi(p^v)=(p^v-1)(p^{v-1}-1)\cdots(p-1)$ όπου πρώτος και $v \geq 1$

Τότε ισχύει αυτό που ανάφερα. Δηλαδή:

Θεώρημα:[Pazderski] Ένας θετικός ακέραιος

ικανοποιεί τη σχέση $\gcd( \psi(m), m)=1$ αν και μόνο αν κάθε ομάδα τάξης

είναι μηδενοδύναμη. (nilpotent)

Ζητώ συγνώμη για τις αβλεψίες.

ΜΚΔ(φ(n),n)=1

ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Re: ΜΚΔ(φ(n),n)=1

Μέλη σε σύνδεση