Υπερβατικός αριθμός

#1

Με αφορμή αυτό, να δειχθεί ότι το $\arctan(1/2)$ είναι υπερβατικός αριθμός.

Παρεμπιπτόντως, ο wolframalpha λέει ότι είναι άγνωστο αν ο συγκεκριμένος αριθμός είναι υπερβατικός.

dement · #2

Έστω $\displaystyle \tan^{-1} \left( 1/2 \right) = a$ . Τότε $\displaystyle e^{ai} = \frac{2+i}{\sqrt{5}}$ , που είναι αλγεβρικός.

Έτσι, από το θεώρημα Lindemann-Weierstrass, ο

, ως μη μηδενικός, θα πρέπει να είναι υπερβατικός (και ομοίως και ο

).

#3

Πολύ ωραία.

Φαντάζομαι χρησιμοποίησες τον τύπο $\displaystyle{ e^{ai} = \cos(a) + i\sin(a)}$ , σωστά; Εγώ χρησιμοποίησα το $\displaystyle{ \tan(a) = \frac{e^{ia} - e^{-ia}}{i(e^{ia} + e^{-ia})}.}$ Κατέληξα στο $\displaystyle{ e^{2ai } = \frac{2+i}{2-i}}$ από το οποίο πάλι έπεται το συμπέρασμα με τον ίδιο τρόπο.

Κανονικά ο wolframalpha θα έπρεπε να λέει «Δεν γνωρίζω» παρά «Είναι άγνωστο». Ας αφήσει το «άγνωστο» για τα $e+\pi,\gamma$ κ.τ.λ.

Tolaso J Kos · #4

Παρόμοιο με Lindemann είχαμε δει στο θέμα εδώ.

Υπερβατικός αριθμός

Υπερβατικός αριθμός

Re: Υπερβατικός αριθμός

Re: Υπερβατικός αριθμός

Re: Υπερβατικός αριθμός

Μέλη σε σύνδεση