Απορίες στους υπερβατικούς αριθμούς

[Energy Engineer]

Μια γενική ερώτηση. Στο σύνολο [0,1] πιο πολλοί είναι οι υπερβατικοί ή οι άρρητοι μη υπερβατικοί;

Δηλαδή σε αυτό το σύνολο πόσο % των άρρητων είναι υπερβατικοί;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Μια γενική ερώτηση. Στο σύνολο [0,1] πιο πολλοί είναι οι υπερβατικοί ή οι άρρητοι μη υπερβατικοί;

Δηλαδή σε αυτό το σύνολο πόσο % των άρρητων είναι υπερβατικοί;

Οι άρρητοι αριθμοί χωρίζονται στους υπερβατικούς και τους αλγεβρικούς.
Οι υπερβατικοί είναι υπεραριθμήσιμοι ενώ οι αλγεβρικοί είναι αριθμήσιμοι.
100% είναι υπερβατικοί.
Με την έννοια ότι αν πάρουμε τυχαία έναν αριθμό στο η πιθανότητα να είναι υπερβατικός είναι 1.

[Energy Engineer]

Δηλαδη ο αρρητος ειναι υπερβατικος;

[cretanman]

Όχι. Είναι αλγεβρικός. Καλό θα είναι να κοιτάξεις τους ορισμούς αυτών των εννοιών κι αν συνεχίσεις να έχεις απορία εδώ είμαστε να τη λύσουμε!

Αλγεβρικός εδώ

Υπερβατικός εδώ

Αλέξανδρος

[Energy Engineer]

Οκ. Η απορια ειναι κυριως στο οτι στο διαστημα αμα παρω τυχαια εναν αριθμο, η πιθανοτητα να ειναι υπερβατικος ειναι 100%. Αυτο πως γινεται αντιληπτο απο το ανθρωπινο μυαλο; δεδομενου οτι σε αυτο το διαστημα υπαρχουν απειροι ρητοι, απειροι αρρητοι και απειροι υπερβατικοι, συμπεραινουμε οτι το απειρο των υπερβατικων ειναι πολυ μεγαλυτερης κλιμακας απο το αλλα απειρα;

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Οκ. Η απορια ειναι κυριως στο οτι στο διαστημα αμα παρω τυχαια εναν αριθμο, η πιθανοτητα να ειναι υπερβατικος ειναι 100%. Αυτο πως γινεται αντιληπτο απο το ανθρωπινο μυαλο; δεδομενου οτι σε αυτο το διαστημα υπαρχουν απειροι ρητοι, απειροι αρρητοι και απειροι υπερβατικοι, συμπεραινουμε οτι το απειρο των υπερβατικων ειναι πολυ μεγαλυτερης κλιμακας απο το αλλα απειρα;

Δεν γνωρίζω ποιες είναι η γνώσεις σου.
Θα προσπαθήσω να στο εξηγήσω.
Τα σύνολα τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες.Τα αριθμήσιμα και τα υπεραριθμήσιμα.
Επίσης ένα σύνολο έχει ''μήκος''
(πρόσεξε δεν είναι σωστό ότι κάθε υποσύνολο του έχει μήκος).
Αποδεικνύεται ότι τα αριθμήσιμα σύνολα έχουν ''μήκος''
Το έχει ''μήκος'' .
Αρα οι Αλγεβρικοί του έχουν πιθανότητα .

Πράγματι υπάρχει πρόβλημα αν το δούμε στην πράξη.
Θα σου δώσω ένα παράδειγμα για να καταλάβεις.
Η πιθανότητα ένας άνθρωπος να έχει ύψος είναι .
Ο καθένας θα πει τι περίεργα πράγματα είναι αυτά.
Η εξήγηση είναι η εξής.Το το θεωρούμε ακριβώς.Τέτοια μέτρηση δεν μπορεί να γίνει.(εδώ μπαίνει και η Κβαντομηχανική)
Ετσι η πιθανότητα είναι .
Αν πούμε όμως η πιθανότητα ένας άνθρωπος να έχει ύψος μεταξύ του και του αυτή δεν είναι

[Energy Engineer]

Γεια σου Σταύρο. Έχω γνώσεις applied-engineering mathematics. Ευχαριστώ για την απάντηση, κατάλαβα πολλά.

Αν δεν κάνω λάθος αναφέρεσαι στο Lebesgue measure - length.

Αυτό που με προβληματίζει είναι ότι σε αυτή την περίπτωση, ας πούμε μιλάμε για μήκος 0 (αριθμήσιμο σύνολο) και 1 (υπεραριθμήσιμο σύνολο).

Η ερώτησή μου είναι, υπάρχουν σύνολα με άπειρους όρους (άπειρα στοιχεία), που να έχουν μήκος διάφορο του 0 ή του 1;

Θέλω να πω πολύ classic logic, 0 or 1, είναι αυτή η θεωρία.

Κάτι πιο quantum logic υπάρχει;

Αν ενοχλούμε αυτό το τόπικ, ας μετακινήσουν την συζήτηση κάπου αλλού οι διαχειριστές. Ευχαριστώ.

[Demetres]

Αν ενοχλούμε αυτό το τόπικ, ας μετακινήσουν την συζήτηση κάπου αλλού οι διαχειριστές. Ευχαριστώ.

Η συζήτηση μεταφέρθηκε.

Η ερώτησή μου είναι, υπάρχουν σύνολα με άπειρους όρους (άπειρα στοιχεία), που να έχουν μήκος διάφορο του 0 ή του 1;

Ασφαλώς. Π.χ. το έχει μήκος . Το ίδιο μήκος έχει και το σύνολο όπου παίρνουμε όλους τους ρητούς από το και όλους τους άρρητους από το .

Μια πιο περίεργη κατασκευή μπορείς να βρεις εδώ.

[dement]

Αυτό που με προβληματίζει είναι ότι σε αυτή την περίπτωση, ας πούμε μιλάμε για μήκος 0 (αριθμήσιμο σύνολο) και 1 (υπεραριθμήσιμο σύνολο).

Πρόσεξε, το γεγονός ότι όλα τα αριθμήσιμα σύνολα έχουν μήκος δεν σημαίνει ότι όλα τα σύνολα που έχουν μήκος είναι αριθμήσιμα. Δες, π.χ., https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set

[Energy Engineer]

Ευχαριστώ και τους δύο. Αμα έχω κάτι άλλο θα ρωτήσω.