Άθροισμα πρώτων

Συντονιστής: nkatsipis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2856
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Άθροισμα πρώτων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 19, 2017 11:12 pm

Μου στάλθηκε το παρακάτω και ... δεν έχω λύση.

Το άθροισμα των πρώτων κάτω από το 10 είναι 2 + 3 + 5 + 7 = 17. Υπολογίσατε το άθροισμα όλων των πρώτων κάτω από το 2.000.000.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1279
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άθροισμα πρώτων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιουν 20, 2017 9:54 am

Tolaso J Kos έγραψε:Μου στάλθηκε το παρακάτω και ... δεν έχω λύση.

Το άθροισμα των πρώτων κάτω από το 10 είναι 2 + 3 + 5 + 7 = 17. Υπολογίσατε το άθροισμα όλων των πρώτων κάτω από το 2.000.000.


Νομίζω ότι μόνο ένας υπολογιστής μπορεί να το βρει.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7356
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα πρώτων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Demetres » Τρί Ιουν 20, 2017 10:29 am

Ο wolframalpha λέει ότι είναι 142913828922.

Ας δούμε κάτι πιο ενδιαφέρον για αυτόν τον φάκελο:

Ας γράψουμε S(n) για το άθροισμα όλων των πρώτων οι οποίοι είναι μικρότεροι ή ίσοι του n. Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ S(n) \sim \frac{n^2}{2\log{n}}}

Επιτρέπεται η χρήση του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Άθροισμα πρώτων

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από dement » Τρί Ιουν 20, 2017 2:58 pm

Έστω \pi(n) ο αριθμός των πρώτων αριθμών το πολύ ίσων με n. Τότε ισχύει \displaystyle S(n) = n \pi (n) - \sum_{k=1}^{n-1} \pi (k) (π.χ. με άθροιση κατά μέρη).

Ισχύει \displaystyle \pi(n) \sim \frac{n}{\ln n} και (από ΘΠΑ και λόγω του ότι όλες οι συναρτήσεις και ακολουθίες τείνουν μονότονα στο + \infty)

\displaystyle  \sum_{k=1}^{n-1} \pi (k) \sim \sum_{k=2}^{n-1} \frac{k}{\ln k} \sim \int_2^{n} \frac{t}{\ln t} \mathrm{d} t = \frac{n^2}{2 \ln n} - \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{2} \int_2^n \frac{t}{\ln^2 t} \mathrm{d}t \sim \frac{n^2}{2 \ln n}

Έτσι, \displaystyle S(n) \sim \frac{n^2}{2 \ln n}


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Επιστροφή σε “ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες