Ζήτημα διαιρετότητας

mathformasses · #1

Έστω φυσικοί αριθμοί Ν, a, b και m εκ των οποιων ο Ν ειναι πρωτος διαφορος του 2 που δεν διαιρει τον a
Το ερώτημα ειναι αν ισχυει η παρακατω προταση
Αν $N^{m+1}|a^N+b^N$ , τοτε N^m|a+b

Υπενθυμιζομε οτι το συμβολο | σημαινει διαιρει

Joaakim · #2

Απλά από «Lifting the Exponent»: $m+1=u_N(N^{m+1})=u_N(a^N+b^N)=u_N(a+b)+u_N(N)=u_N(a+b)+1$ ,
απ' όπου προκύπτει και το ζητούμενο (μάλιστα προκύπτει ότι N^m||a+b

).

#3

Joaakim έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 23, 2021 11:46 pm
Απλά από «Lifting the Exponent»: $m+1=u_N(N^{m+1})=u_N(a^N+b^N)=u_N(a+b)+u_N(N)=u_N(a+b)+1$ ,
απ' όπου προκύπτει και το ζητούμενο (μάλιστα προκύπτει ότι ).

Προσοχή. Αυτό ισχύει αν

περιττός (προφανώς ισχύει) με N|a+b

(πρέπει να ελέγξουμε ότι ισχύει). Αφού

πρώτος τότε από μικρό θεώρημα του Fermat έχουμε $a + b \equiv a^N+b^N \equiv 0 \bmod N$ . Άρα είμαστε εντάξει.

mathformasses · #4

Ευχαριστω Demetres
Προφανως το N^m||a+b

ισχυει αν $N^{m+1}||a^N+b^N$

Ζήτημα διαιρετότητας

Ζήτημα διαιρετότητας

Re: Ζήτημα διαιρετότητας

Re: Ζήτημα διαιρετότητας

Re: Ζήτημα διαιρετότητας

Μέλη σε σύνδεση