Συνάρτηση φ

number theory · #1

Ήταν λανθασμένη η διατύπωση

Μία σωστή:Να δειχθεί ότι το άθροισμα των φ όταν ο k διατρέχει το σύνολο των διαρετών του
n δίνει το n.Δείξτε επίσης ότι μία συνάρτηση που ικανοποεί την συνθήκη αυτή θα είναι μόνο η φ

dement · #2

Αποδεικνυεται με επαγωγη. Εστω p^m

η μεγαλυτερη δυναμη του πρωτου

που διαιρει το

. Τοτε $\displaystyle n = (p^m - p^{m-1}) \frac{n}{p^m} + \frac{n}{p} =$

$\displaystyle = \phi (p^m) \frac{n}{p^m} + \frac{n}{p} = \sum_{d | (n/p^m)} \phi (d \cdot p^m) + \sum_{d | (n/p)} \phi (d) = \sum_{d | n} \phi (d)$

Με αντιστροφη $M\"obius$ του τυπου εχουμε $\displaystyle \phi( n ) = \sum_{d|n} d \cdot \mu (n / d)$ απο οπου προκυπτει και η μοναδικοτητα.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Να δώσω και μια διαφορετική απόδειξη:

Απλοποιούμε τα κλάσματα $1/n,2/n,\ldots,n/n$ . Οι μόνοι παρονομαστές που εμφανίζονται είναι διαιρέτες του

. Αν

πόσα από τα πιο πάνω κλάσματα έχουν παρονομαστή

; Ακριβώς $\phi(d)$ αφού έχουμε ακριβώς ένα για κάθε ακέραιο

με $1 \leqslant k \leqslant d$ ο οποίος είναι πρώτος ως προς τον

.

Αφού συνολικά έχουμε

κλάσματα συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{\sum_{d|n} \phi(d) = n.}$

number theory · #4

Μπράβο.Εγώ σκεφτόμουν πιο πολύ την δική σου λύση Δημήτρη

dement · #5

Και οι δυο ετσι λεγομαστε!

Συνάρτηση φ

Συνάρτηση φ

Re: Συνάρτηση φ

Re: Συνάρτηση φ

Re: Συνάρτηση φ

Re: Συνάρτηση φ

Μέλη σε σύνδεση