Διαιρετότητα φυσικών αριθμών
Συντονιστής: nkatsipis
Διαιρετότητα φυσικών αριθμών
Καλησπέρα σκεφτόμουν την παρακάτω πρόταση,η οποία φαίνεται να ισχύει με κάποιες δοκιμές που έκανα, αλλα δεν μπορώ να την αποδείξω.
Αν φυσικοί αριθμοί και ο μικρότερος φυσικός θετικός αριθμός για τον οποίο ισχύει .Να δείξετε ότι .
Αν φυσικοί αριθμοί και ο μικρότερος φυσικός θετικός αριθμός για τον οποίο ισχύει .Να δείξετε ότι .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Διαιρετότητα φυσικών αριθμών
Ας πάρουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις για τους αριθμούς
1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: . Τότε ο αριθμός είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο. Η ελάχιστη τιμή τότε για το
είναι η , οπότε έχουμε το ζητούμενο (δηλαδή )
2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: . Τότε για να είναι ακέραιος ο αριθμός , θα πρέπει , δηλαδή , με θετικό
ακέραιο , οπότε η ελάχιστη τιμή για το είναι η και άρα πάλι έχουμε το ζητούμενο, ότι δηλαδή .
3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: , όπου θετικός ακέραιος
Τότε είναι: και , όπου θετικοί ακέραιοι και
Τώρα ο αριθμός γράφεται: , δηλαδή και για να είναι ακέραιος, δεδομένου ότι
θα πρέπει , δηλαδή , οπότε η ελάχιστη τιμή για το είναι .
Όμως αφού έπεται ότι και άρα , οπότε και πάλι έχουμε το ζητούμενο
1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: . Τότε ο αριθμός είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο. Η ελάχιστη τιμή τότε για το
είναι η , οπότε έχουμε το ζητούμενο (δηλαδή )
2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: . Τότε για να είναι ακέραιος ο αριθμός , θα πρέπει , δηλαδή , με θετικό
ακέραιο , οπότε η ελάχιστη τιμή για το είναι η και άρα πάλι έχουμε το ζητούμενο, ότι δηλαδή .
3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: , όπου θετικός ακέραιος
Τότε είναι: και , όπου θετικοί ακέραιοι και
Τώρα ο αριθμός γράφεται: , δηλαδή και για να είναι ακέραιος, δεδομένου ότι
θα πρέπει , δηλαδή , οπότε η ελάχιστη τιμή για το είναι .
Όμως αφού έπεται ότι και άρα , οπότε και πάλι έχουμε το ζητούμενο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες