Πρωτοι παραγοντες

[teo]

Να δειξετε οτι :αν ο Α ειναι αρκετα μεγαλος τοτε τουλαχιστον ενας απο τους ακεραιους Α,Α+1,Α+2,...,Α+9 εχει περισσοτερους απο δυο διαφορετικους πρωτους παραγοντες.

[nkatsipis]

Αφού έχουμε δέκα το πλήθος διαδοχικούς αριθμούς κάποιος απο αυτούς θα είναι πολλαπλάσιο του 2*3=6, έστω και κάποιος πολλαπλάσιο του 2*5=10, έστω .
Αν κανένας απο αυτούς τους δέκα δεν έχει 3 πρώτους παράγοντες τότε

με

και

με .

Άρα, όπου

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι οι δυνατές τιμές του .

Άρα αν δείξουμε ότι οι παραπάνω εξισώσεις έχουν πεπερασμένο πλήθος λύσεων έχουμε το ζητούμενο του προβλήματος.
Για την απάντηση δείτε εδώ.

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης