Συνάρτηση γνησίως μονότονη

#1

Το πρόβλημα CO5145 του Gazeta Matematica :

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αν για τις μονότονες συναρτήσεις $h,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ισχύει $g(f(x))=h(f(x))=x, \forall x \in \mathbb{R}$ , να αποδειχθεί ότι g=h

S.E.Louridas · #2

Την επαναφέρω, καθότι είμαστε κάτω από τον τίτλο:
« Μαθηματική Λογική και Θεμέλια των Μαθηματικών », επισυνάπτοντας την άποψη ενός φοιτητή των Μαθηματικών σήμερα το πρωί.
● Η f σαν 1-1 έχει αντίστροφη, έστω την $f^{ - 1} ,$ άρα έχουμε:
$\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\left( {g\left( {f\left( x \right)} \right) = h\left( {f\left( x \right)} \right) = x} \right) \Rightarrow g\left( {f\left( {f^{ - 1} \left( x \right)} \right)} \right) = h\left( {f\left( {f^{ - 1} \left( x \right)} \right)} \right) = f^{ - 1} \left( x \right) \Rightarrow$
$g\left( x \right) = h\left( x \right) = f^{ - 1} \left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}!!!!$

S.E.Louridas

#3

S.E.Louridas έγραψε:Την επαναφέρω, καθότι είμαστε κάτω από τον τίτλο:
« Μαθηματική Λογική και Θεμέλια των Μαθηματικών », επισυνάπτοντας την άποψη ενός φοιτητή των Μαθηματικών σήμερα το πρωί.
● Η f σαν 1-1 έχει αντίστροφη, έστω την $f^{ - 1} ,$ άρα έχουμε:
$\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\left( {g\left( {f\left( x \right)} \right) = h\left( {f\left( x \right)} \right) = x} \right) \Rightarrow g\left( {f\left( {f^{ - 1} \left( x \right)} \right)} \right) = h\left( {f\left( {f^{ - 1} \left( x \right)} \right)} \right) = f^{ - 1} \left( x \right) \Rightarrow$
$g\left( x \right) = h\left( x \right) = f^{ - 1} \left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}!!!!$

S.E.Louridas

Σωτήρη, τα θαυμαστικά που έβαλες ως επίλογο στο $\forall x \in \mathbb{R}$ τα λένε όλα.

Πολύ θα μας βόλευε η σχέση αυτή να ισχύει για κάθε πραγματικό, αλλά δυστυχώς ισχύει μόνον για τους πραγματικούς για τους

οποίους ορίζεται η $f^{-1}$ , άρα για αυτούς που ανήκουν στο σύνολο τιμών της

.

Ποιός μας λέει όμως ότι το σύνολο τιμών της

είναι όλο το $\mathbb{R}$ και όχι ένα γνήσιο υποσύνολό του;

S.E.Louridas · #4

Και αν μου επιτρέπεται, γιά να επικροτήσω την σημασία της εύρεσης του πεδίου τιμών σε περιπτώσεις συναρτησιακών, ας θυμηθούμε μία μεθοδολογική παρέμβαση:
viewtopic.php?f=111&t=8772

S.E.Louridas

hsiodos · #5

Μια προσπάθεια

Χωρίς βλάβη θεωρούμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Έχουμε ακόμη $\displaystyle{g(f(x)) = h(f(x)) = x\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x \in R\,\,\,(1)}$

$\displaystyle{ \bullet}$ Οι συναρτήσεις g , h είναι αύξουσες . Πράγματι αν η g (όμοια και για την h) ήταν φθίνουσα τότε $\displaystyle{ \alpha \nu \,\,\,x_1 ,x_2 \in R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,x_1 < x_2 \mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\,\gamma \nu .\alpha \upsilon \xi } \,\,\,f(x_1 ) < f(x_2 )\mathop \Rightarrow \limits^{g \downarrow } \,\,g\left( {f(x_1 )} \right) \ge g\left( {f(x_2 )} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} x_1 \ge x_2 }$ , άτοπο.

$\displaystyle{ \bullet {\rm A}\nu \,\,\,f(R) = R}$ το ζητούμενο ισχύει (απόδειξη πιο πάνω)

$\displaystyle{ \bullet {\rm A}\nu \,\,\,f(R) \ne R}$ τότε

$\displaystyle{\, * \,}$ για κάθε $\displaystyle{x \in f(R)}$ το ζητούμενο ισχύει (ομοίως)

$\displaystyle{\, * }$ Η λύση θα ολοκληρωθεί αν αποδείξουμε ότι $\displaystyle{g(y) = h(y)}$ για κάθε $\displaystyle{y \in R - f(R)}$ . Έστω $\displaystyle{y \in R - f(R)}$

Έχουμε τις περιπτώσεις:

$\displaystyle{(i)\,\,\,\,\,\,f(x) > y\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x \in R\,\,\,(2)}$

$\displaystyle{ (2)\mathop \Rightarrow \limits^{x = h(y)} f\left( {h(y)} \right) > y\mathop \Rightarrow \limits^{g\, \uparrow } g\left( {f\left( {h(y)} \right)} \right) \ge g(y)\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \,\,h(y) \ge g(y)\,\,\,(3)}$

$\displaystyle{ (2)\mathop \Rightarrow \limits^{x = g(y)} f\left( {g(y)} \right) > y\mathop \Rightarrow \limits^{h\, \uparrow } h\left( {f\left( {g(y)} \right)} \right) \ge h(y)\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \,\,g(y) \ge h(y)\,\,\,(4)}$

$\displaystyle{(3) \wedge (4) \Rightarrow g(y) = h(y)}$

$\displaystyle{ (ii)\,\,\,\,\,f(x) < y\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x \in R\,}$ (Ομοίως)

$\displaystyle{ (iii)\,}$ Υπάρχει $\displaystyle{x \in R\,}$ , τέτοιο ώστε για κάθε $\displaystyle{h > 0}$ να ισχύει $\displaystyle{f(x) < y < f(x + h)\,\,\,(5)}$ (Διαφορετικά αναγόμαστε στις 2 προηγούμενες περιπτώσεις)

$\displaystyle{ (5)\mathop \Rightarrow \limits^{g\, \uparrow } \,\,g(f(x)) \le g(y) \le g(f(x + h))\,\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} x \le g(y) \le x + h \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ + } x \le \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ + } g(y) \le \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ + } (x + h)}$

$\displaystyle{ \Rightarrow x \le g(y) \le x \Rightarrow g(y) = x}$ και όμοια $\displaystyle{h(y) = x}$ οπότε $\displaystyle{g(y) = h(y)}$

Επομένως $\displaystyle{ g(x) = h(x)\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x \in R }$

Γιώργος

#6

Γιώργο

Να κάνω μία παρατήρηση :

Οι υποθέσεις i και ii είναι ψευδείς, γιατί

$f(x)>y, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow g(f(x)) \ge g(y), \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow$

$x \ge g(y), \forall x \in \mathbb{R}$ , άτοπο

Ομοίως και για το $f(x)<y, \forall x \in \mathbb{R}$

Συνάρτηση γνησίως μονότονη

Συνάρτηση γνησίως μονότονη

Re: Συνάρτηση γνησίως μονότονη

Re: Συνάρτηση γνησίως μονότονη

Re: Συνάρτηση γνησίως μονότονη

Re: Συνάρτηση γνησίως μονότονη

Re: Συνάρτηση γνησίως μονότονη

Μέλη σε σύνδεση