Άρνηση ορισμού

tomas · #1

Ξέρουμε ότι ορίζουμε μια συνάρτηση

από το σύνολο

στο σύνολο

,τo οποίo συμβολίζουμε με , $f:A\longrightarrow B$ , εάν και μόνο εάν:

1) $f\subset AxB$
2) Για κάθε $a\in A$ υπάρχει ένα μοναδικό $b\in B$ τέτοιο ώστε $(a,b) \in f$

Ποια είναι η άρνηση του παραπάνω ορισμού;

Σίλης · #2

Ε η άρνηση αυτών που λές απλή δεν είναι; (είτε το σύνολο

δέν είναι υποσύνολο του καρτεσιανού των

και

, ή υπάρχει όρισμα με καμία ή με πάν' απο μία τιμές). Πού το πάς;... Θές να μιλήσεις για μερικές ή για πλειότιμες συναρτήσεις ας πούμε;

tomas · #3

Σίλης έγραψε:Ε η άρνηση αυτών που λές απλή δεν είναι; (είτε το σύνολο δέν είναι υποσύνολο του καρτεσιανού των και , ή υπάρχει όρισμα με καμία ή με πάν' απο μία τιμές). Πού το πάς;... Θές να μιλήσεις για μερικές ή για πλειότιμες συναρτήσεις ας πούμε;

Βρίσκω δύσκολη την άρνηση της 2ης προτάσεως

Σίλης · #4

Να το δούμε λίγο πιό ξερά.

tomas έγραψε:2) Για κάθε $a\in A$ υπάρχει ένα μοναδικό $b\in B$ τέτοιο ώστε $(a,b) \in f$

Η φόρμουλα εδώ είναι η εξής:

$\forall_{a \in A} \exists_{b \in B} ((a, b) \in f \land \forall_{b' \in B} ((a, b') \in f \to b = b')) .$

Το δεύτερο σύζευγμα εκειμέσα είναι που εκφράζει τη μοναδικότητα: «όποιο

και να μου βρείς που να μου κάνει τη δουλειά (παναπεί, που να είναι τιμή της

στο όρισμα

), μπορώ να σου δείξω οτι θα συμπίπτει με το

». Κοτσάροντας την άρνηση μπροστά, και πηγαίνοντάς την προς τα μέσα, κατα τα γνωστά (αλλάζοντας το είδος του ποσοδείκτη και τα λοιπά), μπορεί κανείς να βρεί με σχετικά μηχανικό τρόπο τι γίνεται.

tomas · #5

Σίλης έγραψε:Να το δούμε λίγο πιό ξερά.

tomas έγραψε:2) Για κάθε $a\in A$ υπάρχει ένα μοναδικό $b\in B$ τέτοιο ώστε $(a,b) \in f$
Η φόρμουλα εδώ είναι η εξής:

$\forall_{a \in A} \exists_{b \in B} ((a, b) \in f \land \forall_{b' \in B} ((a, b') \in f \to b = b')) .$

Το δεύτερο σύζευγμα εκειμέσα είναι που εκφράζει τη μοναδικότητα: «όποιο και να μου βρείς που να μου κάνει τη δουλειά (παναπεί, που να είναι τιμή της στο όρισμα ), μπορώ να σου δείξω οτι θα συμπίπτει με το ». Κοτσάροντας την άρνηση μπροστά, και πηγαίνοντάς την προς τα μέσα, κατα τα γνωστά (αλλάζοντας το είδος του ποσοδείκτη και τα λοιπά), μπορεί κανείς να βρεί με σχετικά μηχανικό τρόπο τι γίνεται.

Και ποιά είναι η άρνηση;

Σίλης · #6

Θα βρείς την αρνημένη φόρμουλα μπάζοντας την άρνηση απο έξω προς τα μέσα, επαγωγικά.

Μπορείς να σκέφτεσαι τους εξής κανόνες γι' αυτήν τη δουλειά:

$\neg \forall_{x \in X} \phi(x) \Rightarrow \exists_{x \in X} \neg \phi(x)$
$\neg \exists_{x \in X} \phi(x) \Rightarrow \forall_{x \in X} \neg \phi(x)$
$\neg (\phi \land \psi) \Rightarrow \neg \phi \lor \neg \psi$
$\neg (\phi \lor \psi) \Rightarrow \neg \phi \land \neg \psi$
$\phi \rightarrow \psi \Rightarrow (\neg \phi \lor \psi)$
$\neg (\neg \phi) \Rightarrow \phi$
ενώ άν η $\phi$ είναι ατομική φόρμουλα (στη συνολοθεωρία οι ατομικές είναι είτε «ανήκει» είτε «ισούται»), τότε αφήνεις την άρνησή της $\neg \phi$ ως έχει.

(Προσπάθησα να τους εντοπίσω στον Σούπες, που ξέρω οτι έχεις, αλλα το γρήγορο ξεφύλλισμα δέν απέδωσε. Άν τους βρείς πές μου και μένα πού είναι.)

Έντιτ: Το πρώτο βήμα ας πούμε είναι το εξής:

$\neg [\forall_{a \in A} \exists_{b \in B} ((a, b) \in f \land \forall_{b' \in B} ((a, b') \in f \to b = b'))]$

$\stackrel{(1)}{\Rightarrow} \exists_{a \in A} \neg [\exists_{b \in B} ((a, b) \in f \land \forall_{b' \in B} ((a, b') \in f \to b = b'))]$

tomas · #7

Σίλης έγραψε:Θα βρείς την αρνημένη φόρμουλα μπάζοντας την άρνηση απο έξω προς τα μέσα, επαγωγικά.

Μπορείς να σκέφτεσαι τους εξής κανόνες γι' αυτήν τη δουλειά:

$\neg \forall_{x \in X} \phi(x) \Rightarrow \exists_{x \in X} \neg \phi(x)$

$\neg \exists_{x \in X} \phi(x) \Rightarrow \forall_{x \in X} \neg \phi(x)$

$\neg (\phi \land \psi) \Rightarrow \neg \phi \lor \neg \psi$

$\neg (\phi \lor \psi) \Rightarrow \neg \phi \land \neg \psi$

$\phi \rightarrow \psi \Rightarrow (\neg \phi \lor \psi)$

$\neg (\neg \phi) \Rightarrow \phi$

ενώ άν η $\phi$ είναι ατομική φόρμουλα (στη συνολοθεωρία οι ατομικές είναι είτε «ανήκει» είτε «ισούται»), τότε αφήνεις την άρνησή της $\neg \phi$ ως έχει.
(Προσπάθησα να τους εντοπίσω στον Σούπες, που ξέρω οτι έχεις, αλλα το γρήγορο ξεφύλλισμα δέν απέδωσε. Άν τους βρείς πές μου και μένα πού είναι.)

Έντιτ: Το πρώτο βήμα ας πούμε είναι το εξής:

$\neg [\forall_{a \in A} \exists_{b \in B} ((a, b) \in f \land \forall_{b' \in B} ((a, b') \in f \to b = b'))]$

$\stackrel{(1)}{\Rightarrow} \exists_{a \in A} \neg [\exists_{b \in B} ((a, b) \in f \land \forall_{b' \in B} ((a, b') \in f \to b = b'))]$

Ναι έχω τον Suppes και στην σελίδα 3 , 4 παραθέτει τα (logical notations) του. Στο βιβλίο Λογική του Schaum's outline series θα βρεις στην σελίδα 139 τα ισοδύναμα ποσοδεικτικά (quantifier equivalences).
Τώρα να προχωρήσω στο δεύτερο βήμα στην φόρμουλα σου δεν μπορώ γιατί δεν υπάρχουν οι απαραίτητοι λογικοί σύνδεσμοι.
π.χ μεταξύ $\exists b \in b$ και $(a,b) \in f$ τι λογικός σύνδεσμος υπάρχει;
Θέλω επιπλέον να προσθέσω ότι η τυποποίηση (formalization) μιας μαθηματικής προτάσεως είναι πάρα πολύ δύσκολη υπόθεση και δεν υπάρχουν κανόνες για αυτό.
Όμως η τυποποιημένη (formalized) πρόταση πρέπει πάνω από όλα να είναι μία καλώς σχηματισμένη φόρμουλα (well formed formula, wff).
Είναι η φόρμουλα που έδωσες wff;

Σίλης · #8

tomas έγραψε:Θέλω επιπλέον να προσθέσω ότι η τυποποίηση (formalization) μιας μαθηματικής προτάσεως είναι πάρα πολύ δύσκολη υπόθεση και δεν υπάρχουν κανόνες για αυτό.

Όπα, τί απαισιοδοξία είν 'αυτή;...

Συμφωνώ οτι η τυποποίηση μπορεί να φαίνεται ουρανοκατέβατη για τον αμύητο, αλλα και ο κώδικας σε σί-πλας-πλάς φαίνεται αυθαίρετος για τον αμύητο. Μαθαίνονται αυτά, όσο περισσότερο μυημένος είναι κανείς τόσο φυσιολογικότερα του φαίνονται, και κυρίως, για όνομα, φυσικά και υπάρχουνε κανόνες!... Ειδικά για τη γλώσσα της λογικής, έ, οι κακές οι γλώσσες θα σου πούνε οτι δέν έχει και τίποτ' άλλο πέρα απο κανόνες... :-)

Η διατύπωσή σου επάνω είναι λοιπόν, ευτυχώς, πέρα για πέρα παραπληροφορημένη. Για μία απλή διαδικασία μετάφρασης πρόκειται στην ουσία: όσο καλύτερα ξέρεις τη γλώσσα στην οποία μεταφράζεις, τόσο πιο απλή δουλειά είναι. Ουσιαστικά το λές ήδη εδωπέρα:

Όμως η τυποποιημένη (formalized) πρόταση πρέπει πάνω από όλα να είναι μία καλώς σχηματισμένη φόρμουλα (well formed formula, wff). Είναι η φόρμουλα που έδωσες wff;

Γράψε σ' ένα χαρτί τον ορισμό της «καλά σχηματισμένης φόρμουλας», και προσπάθησε να δείξεις μόνος σου οτι η φόρμουλα που έγραψα επάνω είναι καλά σχηματισμένη. Είναι καλή άσκηση γι' αρχή. Άμα την κάνεις, θα καταλάβεις πιό γρήγορα και πώς μπάζουμε μία άρνηση προς τα μέσα σε μία φόρμουλα, και θ' απαντήσεις αν μή τι άλλο μόνος σου και σ' αυτό:

να προχωρήσω στο δεύτερο βήμα στην φόρμουλα σου δεν μπορώ γιατί δεν υπάρχουν οι απαραίτητοι λογικοί σύνδεσμοι. π.χ μεταξύ $\exists b \in b$ και $(a,b) \in f$ τι λογικός σύνδεσμος υπάρχει;

Κανένας, όπως ούτε και μεταξύ $\forall_{a \in A}$ και $\exists_{b \in B}$ υπήρχε λογικός σύνδεσμος. Εντάχει: μετά απο κάθε ποσόδειξη ακολουθεί (αμέσως) μία νέα φόρμουλα· μετά απο μία άρνηση, επίσης· μία σύζευξη, μία διάζευξη, ή μία συνεπαγωγή, συνδέουν δύο άλλες φόρμουλες· τέλος, οι βασικές, ατομικές φόρμουλες (χωρίς ποσοδείκτες ή συνδέσμους), είναι οι απλές σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του χώρου στον οποίο δουλεύουμε. (Υπόψιν: θέλεις την έννοια του καλά σχηματισμένου για φόρμουλες της κατηγορηματικής λογικής, όχι απλά της προτασιακής.)

Εδώ ειμαστε, άμα έχεις ακόμα επιφυλάξεις αφού τα δουλέψεις αυτά, πές.

tomas · #9

Μισό λεπτό, όταν γράφεις , $\forall_{a \in A} \exists_{b \in B}$ εννοείς :

$\forall a(a\in A)\exists b(b\in B)$ ;

Σίλης · #10

Οι συμβάσεις είναι οι εξής:

$\forall_{x \in X} \phi(x) \Leftrightarrow \forall_x (x \in X \to \phi(x))$
$\exists_{x \in X} \phi(x) \Leftrightarrow \exists_x (x \in X \land \phi(x))$

Και παρόμοια για άλλες ιδιότητες πέραν του «ανήκει»: για παράδειγμα, η $\forall_{x \neq y} \phi(x)$ είναι συντομογραφία της $\forall_x (x \neq y \to \phi(x))$ .

Είθισται τουλάχιστον τα ανήκει να τα χώνουμε κάτω απ' τους ποσοδείκτες. Είναι πρακτική που συνάδει με τη στάνταρ μαθηματική διαίσθηση οτι δουλεύουμε πάντα σε έντυπο περιβάλλον --που είναι μάλιστα τόσο χαίρω πολύ, που σπάνια σημειώνουμε με ακρίβεια τον χώρο (δηλαδή, δέν γράφουμε κάν το κομμάτι « $\in X$ »). Αλλα έχεις δίκιο οτι, στη συνολοθεωρία τουλάχιστον, και αρχικά, βοηθάει να είμαστε πιό ψείρες, κι' ας γίνονται οι φόρμουλες μακρυνάρια.

tomas · #11

Είναι λοιπόν, $\forall a(a\in A)$ μια P φόρμουλα και $\exists b(b\in B)$ μια Q φόρμουλα .
Συμφωνείς;

Σίλης · #12

Αυτές είναι φόρμουλες, ναί (στη θεωρία συνόλων), αλλα δέ μας αφορούν εδωπέρα. Προσοχή: δέν είναι αυτές που αντιστοιχούν στα τμήματα « $\forall_{a \in A}$ » και « $\exists_{b\in B}$ », για τα οποία ρώτησες πρίν. (Δέ θα μπορούσαν και να είναι, γιατι δέν είναι καλά σχηματισμένα αυτά τα τελευταία, χρειάζονται κάτι ακόμα δεξιά για να γίνουν σωστές φόρμουλες.)

Έντιτ: Για να το κάνω πιό λιανά, η ακριβής απάντηση στην ερώτησή σου

tomas έγραψε:[...] όταν γράφεις , $\forall_{a \in A} \exists_{b \in B}$ εννοείς :

$\forall a(a\in A)\exists b(b\in B)$ ;

είναι «όχι»· όταν γράφω

$\forall_{a \in A} \exists_{b \in B} \cdots$

εννοώ

$\forall_a (a \in A \to \exists_b ( b \in B \land \cdots)) .$

Σίλης · #13

Με την ευκαιρία, να πώ λίγο κάτι στο περιθώριο για τους ποσοδείκτες. Η ποσόδειξη είναι όπως και η άθροιση ή η ολοκλήρωση: δεσμεύει μεταβλητές (τις καθιστά «βωβές» που λέμε), και μας ενδιαφέρει βέβαια να ξέρουμε για πόσο τις δεσμεύει, απο πού έως πού. Γι' αυτό και είναι δείγμα υγιούς συμβολισμού να γράφεις κάτω απ' τον ποσοδείκτη και το πεδίο ποσόδειξης (παρά το επίσημο συντακτικό της συνολοθεωρίας).

Έτσι, όπως είναι ακριβέστερο να γράφει κανείς $\sum_{x \in A} f(x)$ αντί για $\sum_x f(x)$ και $\int_A f(x) dx$ αντί για $\int f(x) dx$ , έτσι είναι και ακριβέστερο να γράφει $\forall_{x \in A} \phi(x)$ αντί για $\forall_x \phi(x)$ .

tomas · #14

Σίλης έγραψε:
εννοώ

$\forall_a (a \in A \to \exists_b ( b \in B \land \cdots)) .$

Συνέχισε την συμπλήρωση,γιατί αν συνεχίσω εγώ μπορεί να κάνω λάθος

#15

tomas έγραψε:
Σίλης έγραψε:
εννοώ

$\forall_a (a \in A \to \exists_b ( b \in B \land \cdots)) .$
Συνέχισε την συμπλήρωση,γιατί αν συνεχίσω εγώ μπορεί να κάνω λάθος

Αν δούμε και την προηγούμενη γραμμή που έγραψε ο Σίλης,

Σίλης έγραψε:όταν γράφω

$\forall_{a \in A} \exists_{b \in B} \cdots$

εννοώ

$\forall_a (a \in A \to \exists_b ( b \in B \land \cdots)) .$

οι τρεις τελείες των δύο γραμμών είναι οι ίδιες. Ότι βάζεις στην μία γραμμή στην θέση των τελειών βάζεις και στην άλλη. Καλό θα είναι να μπουν και μέσα σε παρένθεση ώστε να μην υπάρχει σύγχυση.

Σίλης · #16

Όπως τα λέει ο Δημήτρης.

tomas έγραψε:Συνέχισε την συμπλήρωση,γιατί αν συνεχίσω εγώ μπορεί να κάνω λάθος

Και άμα κάνεις λάθος τί έγινε;... :-) Μαθηματικά κάνουμε, δέν κάνουμε εγχείριση. Γράψε μας τι έχεις ώς εδώ, και το πάμε παραπέρα.

Άρνηση ορισμού

Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Re: Άρνηση ορισμού

Μέλη σε σύνδεση