Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

dement · #1

Μια και είναι κάμποσο καιρό ανενεργός ο φάκελος...

Έχουμε την εξής απόπειρα απόδειξης του Αξιώματος της Επιλογής από το Θεώρημα της Καλής Διάταξης:

Έστω σύνολο $S = \{A_i:i \in I\}$ όπου τα A_i

είναι μη κενά. Σε κάθε A_i

ορίζουμε καλή διάταξη <_i

και παίρνουμε $\displaystyle f(A_i) \equiv \min_{<_i} A_i$ . Η

είναι η ζητούμενη συνάρτηση επιλογής.

Είναι σωστή η απόδειξη;

#2

Αν και τον τελευταίο καιρό τα καταφέρνω καλλίτερα στο να κάνω λάθη σε δικές μου αποδείξεις παρά να βρίσκω λάθη σε άλλες διακινδυνεύω μια γνώμη:
Ο συλλογισμός δεν είναι σωστός διότι υποθέτει το αποδεικτέο: Από τις καλές διατάξεις που επιδέχεται κάθε $A_{i}$ επιλέγεται μια και μετά το πρώτο στοιχείο της.
Μαυρογιάννης

dement · #3

stranger · #4

Η απόδειξη είναι σωστή. Το μόνο λάθος είναι να γράψουμε <_i

για κάθε

το οποίο είναι άνευ σημασίας και μπορούμε με τον ίδιο συλλογισμό να ανασκευάσουμε την απόδειξη.
Αξίωμα επιλογής:
Έστω δύο σύνολα A,B

και $P \subseteq A \times B$ .
Αν για κάθε $x \in A$ υπάρχει $y \in B$ ώστε $(x,y) \in P$ τότε υπάρχει $f: A \rightarrow B$ ώστε για κάθε $x \in A$ ισχύει $(x,f(x)) \in P$ .

Θα αποδείξουμε το αξίωμα της επιλογής από το θεώρημα της καλής διάταξης όπως το αποδεικνύει η παραπάνω απόδειξη.
Έστω δύο σύνολα A,B

και $P \subseteq A \times B$ .
Υποθέτουμε ότι για κάθε $x \in A$ υπάρχει $y \in B$ ώστε $(x,y) \in P$ .
Έστω $C_x = \{w \in B: (x,w) \in P\}$ . Έχουμε $C_x \neq \emptyset$ .(Σημείωση: Μπορούμε να σχηματίσουμε το σύνολο C_x

χωρίς το αξίωμα επιλογής γιατί η συνάρτηση $x \rightarrow C_x$ είναι καλώς ορισμένη).
Έστω μια καλή διάταξη στο C_x

. Ορίζουμε την συνάρτηση $f: A \rightarrow B$ με f(x) = min C_x

.
Τέτοια συνάρτηση υπάρχει και είναι διαφορετική για κάθε καλή διάταξη. Εμείς θέλουμε να βρούμε μία απο αυτές. Δεν υπάρχει πρόβλημα να επιλέξουμε μια από αυτές τις καλές διατάξεις γιατί δεν ορίζουμε συνάρτηση με τιμές στο σύνολο των καλών διατάξεων που γιαυτό θα θέλαμε αξίωμα επιλογής.
Τότε για κάθε $x \in A$ ισχύει $(x,f(x)) \in P$ .
Τελειώσαμε.

Μάρκος Βασίλης · #5

Δεν μπορούμε απλά να πάρουμε μία καλή διάταξη στο $A=\bigcup_{i}A_i$ , οπότε και κάθε υποσύνολό του θα έχει ένα ελάχιστο στοιχείο και μετά να συνεχίσουμε όπως η αρχική απόδειξη;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

stranger έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 30, 2019 1:14 am
Αξίωμα επιλογής:
Έστω δύο σύνολα και $P \subseteq A \times B$ .
Αν για κάθε $x \in A$ υπάρχει $y \in B$ ώστε $(x,y) \in P$ τότε υπάρχει $f: A \rightarrow B$ ώστε για κάθε $x \in A$ ισχύει $(x,f(x)) \in P$ .

Πρώτη φορά βλέπω διατύπωση του Αξιώματος επιλογής σε αυτή την μορφή.
Μήπως μπορείς να εξηγήσεις γιατί είναι ισοδύναμη με μια από τις συνηθισμένες.

stranger · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 30, 2019 3:31 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 30, 2019 1:14 am
Αξίωμα επιλογής:
Έστω δύο σύνολα και $P \subseteq A \times B$ .
Αν για κάθε $x \in A$ υπάρχει $y \in B$ ώστε $(x,y) \in P$ τότε υπάρχει $f: A \rightarrow B$ ώστε για κάθε $x \in A$ ισχύει $(x,f(x)) \in P$ .
Πρώτη φορά βλέπω διατύπωση του Αξιώματος επιλογής σε αυτή την μορφή.
Μήπως μπορείς να εξηγήσεις γιατί είναι ισοδύναμη με μια από τις συνηθισμένες.

Η διατύπωση αυτή είναι από το βιβλίο του Μοσχοβάκη "Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία" Κεφάλαιο 8 σελίδα 129.
Ουσιαστικά λέει ότι αν για κάθε $x \in A$ υπάρχει $y \in B$ ώστε να ισχύει μια συνθήκη, τότε μπορούμε να φτιάξουμε μια συνάρτηση από το

στο

ώστε τα

να μας κάνουν τη δουλειά. Δηλαδή από τα

επιλέγω ένα ακριβώς και το ονομάζω f(x)

.
Νομίζω ότι είναι ξεκάθαρο ότι για κάθε $x \in A$ κάνουμε μια επιλογή απο όλα τα

και το ονομάζουμε f(x)

.

Αργότερα θα γράψω την απόδειξη της ισοδυναμίας με το σύνηθες αξίωμα της επιλογής.

stranger · #8

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 30, 2019 11:44 am
Δεν μπορούμε απλά να πάρουμε μία καλή διάταξη στο $A=\bigcup_{i}A_i$ , οπότε και κάθε υποσύνολό του θα έχει ένα ελάχιστο στοιχείο και μετά να συνεχίσουμε όπως η αρχική απόδειξη;

Σωστά! Μπορούμε να κάνουμε και αυτό.

stranger · #9

Γράφω την ισοδυναμία των δύο διατυπώσεων του αξιώματος επιλογής.

Σύνηθες αξίωμα επιλογής
Για κάθε σύνολο

ισχύει το εξής:
Αν $\emptyset \notin X$ τότε υπάρχει συνάρτηση $f: X \rightarrow \cup X$ ώστε για κάθε $A \in X$ ισχύει $f(A) \in A$ .

Άλλη διατύπωση του αξιώματος της επιλογής
Έστω δύο σύνολα και και $P \subseteq A \times B$ .
Αν για κάθε $x \in A$ υπάρχει $y \in B$ ώστε $(x,y) \in P$ , τότε υπάρχει $f: A \rightarrow B$ ώστε για κάθε $x \in A$ ισχύει $(x,f(x)) \in P$ .

Το αντίστροφο πρώτα. Αν πάρουμε ώστε $(x,y) \in P$ αν και μόνο αν $y \in x$ , τότε εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει το σύνηθες αξίωμα της επιλογής.
Το ευθύ τώρα.
Έστω δύο σύνολα και $P \subseteq A \times B$ , ώστε για κάθε $x \in A$ υπάρχει $y \in B$ ώστε $(x,y) \in P$ .
Έστω το σύνολο $W= \{W_x : x \in A\}$ , όπου $W_x = \{ y \in B : (x,y) \in P\}$ .
Τότε $\emptyset \notin W$ από υπόθεση. Άρα υπάρχει συνάρτηση $f: W \rightarrow \cup W$ ώστε για κάθε $W_x \in W$ ισχύει $f(W_x) \in W_x$ .
Τώρα η συνάρτηση $x \rightarrow f(W_x)$ μας κάνει τη δουλειά.

Τελειώσαμε.

Προφανώς αν σε μία περίπτωση έχουμε ότι για κάθε $x \in A$ υπάρχει μοναδικό $y \in B$ ώστε $(x,y) \in P$ τότε δεν χρειαζόμαστε το αξίωμα επιλογής για να αποφανθούμε το συμπέρασμα. Μπορούμε να ορίσουμε αυτό το μοναδικό .
Η ουσία είναι ότι υπάρχουν εν γένει παραπάνω από ένα που κάνουν τη δουλειά, οπότε πρέπει να επιλέξουμε ένα από αυτά.

Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Μέλη σε σύνδεση