stranger έγραψε: ↑Σάβ Απρ 06, 2024 1:13 pm
Nikitas K. έγραψε: ↑Σάβ Απρ 06, 2024 1:29 am
stranger έγραψε: ↑Σάβ Απρ 06, 2024 12:20 am
Λέμε ότι το σύνολο
είναι κλειστό ως προς τη σχέση
όταν για κάθε
αν
και
συνεπάγεται ότι
.
Τώρα αν έχουμε μια πράξη
η κλειστότητα ορίζεται ως: για κάθε
έχουμε
.
Σχετικά με τον ορισμό της δυαδικής πράξης, μου δημιουργήθηκε ο παρακάτω προβληματισμός.
Έστω, η δυαδική πράξη
με
.
Να δειχθεί ότι το σύνολο
είναι κλειστό ως προς την δυαδική πράξη
.
Όταν τα
διατρέξουν το πεδίο ορισμού και φτάσουν στις περιπτώσεις
, τότε το
δεν παράγει αποτέλεσμα, διότι δεν ορίζεται, επομένως πως θα διαπιστωθεί η τιμή αληθείας για την πρόταση
;
Δυαδική πράξη στο σύνολο
είναι μια οποιαδήποτε απεικόνιση
.
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα σου η πράξη δεν ορίζεται στο
.
Άρα για να διαπιστώσουμε κλειστότητα ενός συνόλου ως προς μια πράξη πρέπει να την ορίσουμε σε ένα υπερσύνολο αυτού του συνόλου.
Αλλιώς δεν έχει νόημα.
Προχθές διάβασα ότι η δυαδική πράξη μπορεί να είναι μια συνάρτηση
και με λίγη προσπάθεια
έγραψα πότε ένα σύνολο
είναι κλειστό ως προς τη δυαδική πράξη
.
Επίσης δεν κατάφερα να βρω πληροφορίες σχετικά με το πότε ένα σύνολο είναι κλειστό ως προς κάποια σχέση, μήπως μπορείτε σας παρακαλώ να με παραπέμψετε σε κάποια πηγή;
Ο προβληματισμός μου:
Έστω, ο υποθετικός ορισμός
παρόμοιος με τον υπάρχον ορισμό
.
Επιπλέον, αν θεωρήσουμε ότι το σύνολο
.
Να βρεθεί κατά πόσο το σύνολο
είναι κλειστό ως προς τις ακόλουθες σχέσεις:
Το σύνολο
:
Στην περίπτωση
με εφαρμογή του ορισμού:
Eίναι κλειστό ως προς
.
Δεν είναι κλειστό ως προς
εξαιτίας του ζεύγους
διότι
.
Στην περίπτωση
με εφαρμογή του ορισμού:
Δεν είναι κλειστό ως προς
εξαίτιας του ζεύγους
διότι
.
Eίναι κλειστό ως προς
.
Εφόσον παραπάνω αποδείχθηκε ότι οι ορισμοί δεν είναι ισοδύναμοι.
Γιατί επιλέξαμε τον ορισμό
- το να διατρέχει τα στοιχεία του συνόλου προσπαθώντας να δειχθεί ότι το στοιχείο μόνο αν η σχέση ισχύει ανάμεσα στα στοιχεία και
και δεν επιλέξαμε τον ορισμό
- το να διατρέχει τα στοιχεία του συνόλου προσπαθώντας να δειχθεί ότι το στοιχείο μόνο αν η σχέση ισχύει ανάμεσα στα στοιχεία και
ή κάποια σύνθεση των παραπάνω ορισμών;