Μια κουβέντα για την αυστηρότητα στα Μαθηματικά

[nsmavrogiannis]

Αφορμή για αυτό το σημείωμα απετέλεσαν δύο θέματα εξετάσεων που συζητήθηκαν στο mathematica.

ΠΡΩΤΟ
Είναι σωστή η εκφώνηση;
Μια καθηγήτρια-ένας καθηγητής στο τελικό διαγώνισμα Ιουνίου της Α λυκείου έδωσε την εξής άσκηση:
Αν με
να βρείτε την παράσταση
Τι λέτε για την άσκηση ; είναι πλήρης; Μήπως θα έπρεπε να δοθεί αλλιώς ;

Βασίλης Στεφανίδης 20 Δεκ 2008, Διδακτική των Μαθηματικών
viewtopic.php?f=28&p=6613#p6613

ΔΕΥΤΕΡΟ
Ανεβάζω τα εύκολα-και-νόμιμα φετινά θέματα της γεωμετρίας Β λυκείου....
..........................................................................................................
Χαρακτηρίστε ως Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις προτάσεις:
1. Αν τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.
..........................................................................................................

Λεωνίδας Θαρραλίδης 12 Ιουν 2009, Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Ευκλείδια Γεωμετρία
viewtopic.php?f=22&p=9839#p9839


Και για τα δύο ζητήματα τέθηκε αν όχι σε αμφισβήτηση αλλά εν πάση περιπτώσει σε συζήτηση η ορθότητα τους ως ερωτημάτων εξετάσεων.

Επειδή προτίθεμαι να γράψω αρκετά δίνω, για τον βιαστικό αναγνώστη, προκαταβολικά την απάντηση:
Και τα δύο θέματα ως ερωτήματα εξετάσεων είναι ορθότατα. Μια χαρά είναι!

Περνάω τώρα στις εξηγήσεις. Κάποιες παρεμφερείς σκέψεις μου έχω αναφέρει στα
viewtopic.php?f=51&t=1384
viewtopic.php?f=6&t=1474
'Οταν ασχολούμεθα με τα Μαθηματικά χρησιμοποιούμε μία γλώσσα επικοινωνίας. Αυτή δεν ήταν ίδια όλες τις εποχές.
Αλλιώς μίλαγε ο Ευκλείδης, αλλιώς ο Διόφαντος αλλιώς οι γεωμέτρες του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης. Η γλώσσα του Νεύτωνα ήταν διαφορετική από του Cauchy. Aυτό ισχύει για το τι αλλά και το γιατί. Δηλαδή ο τρόπος διατύπωσης των ορισμών και των αποδείξεων δεν ήταν ο ίδιος. Και αυτό είναι απολύτως λογικό. Διότι τα Μαθηματικά είναι μία κοινωνική δραστηριότητα. 'Οπως είναι η Πολιτική η Τέχνη η Μαγειρική και άλλα. Και αλλάζουν. Γιατί αλλάζουν όλα. Εθισμένοι σε ένα περίπου αιώνα ηρεμίας δεν αντιλαμβανόμαστε την αλλαγή. 'Ομως ας τοποθετηθούμε, νοερά, στις εποχές που το κυρίαρχο "παράδειγμα" (με την έννοια του Kuhn) άρχισε να τρίζει (επινόηση αρρήτων, μιγαδικών, Απειροστικού Λογισμού, Καντοριανής Θεωρίας συνόλων κ.α.).
Υπάρχει η εσφαλμένη κατά την γνώμη μου εντύπωση ότι μετά την αναγωγή των Μαθηματικών στην Λογική (βασικά με το Principia Mathematica) που συνέβη στις αρχές του 20ου αιώνα τα Μαθηματικά έχουν "τακτοποιηθεί" μιας και έχουν αναχθεί στην Λογική. Κατ αρχήν η αναγωγή δεν είναι πλήρης. 'Εχει γίνει μόνο στα θεμελιώδη. Ουδείς κάνει Μαθηματικά αλά Principia. Η αναγωγή έγινε για να καθησυχάσει τους μαθηματικούς ότι πατάνε καλά στα πόδια τους. Δεν έγινε για να κάνουμε Μαθηματικά. Γιαυτό οι μαθηματικοί επιλέγουν για να επικοινωνήσουν μεταξύ τους άλλου τρόπους από το να δουλεύουν μέσα σε ένα τυπικό σύστημα. Ουδείς κάνει Γεωμετρία έτσι (περικοπή από ένα Άρθρο του Tarski όπου προτείνεται ένα αξιωματικό σύστημα για την Ευκλείδεια Γεωμετρία):

Tarrski.png (154.39 KiB) Προβλήθηκε 5020 φορές

Αλλά διαφορές δεν συναντιούνται μόνο στον τρόπο έκθεσης αλλά και στο τί θεωρείται αυστηρό ή τι αποτελεί απόδειξη. Η δουλειά της Ιταλικής Σχολής Αλγεβρικής Γεωμετρίας (που ήκμασε στον μεσοπόλεμο) χρειάσθηκε να αναθεωρηθεί και η Αλγεβρική Γεωμετρία γραφτηκε (αργότερα ξαναγράφτηκε) από την αρχή. Γιατί αυτό; Μα γιατί άλλαξαν τα κριτήρια αυστηρότητας. Το ίδιο συνέβη και με την χρήση του υπολογιστή στις αποδείξεις. Το 1976 όταν οι Appel, Haken απέδειξαν το θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων εισέπραξαν, κατά την παρουσίαση στους ειδικούς, ένα χλιαρό χειροκρότημα. Και ας έλυσαν ένα πρόβλημα που ήταν άλυτο κοντά ένα αιώνα. Ο λόγος: Χρησιμοποίησαν σε κάποια φάση της απόδειξης υπολογιστή για τους υπολογισμούς. Εν τούτοις τα κριτήρια έχουν τώρα αλλάξει. Ενώ παλιά θα ήταν αδιανόητο τώρα βλέπεις εργασίες στα Καθαρά Μαθηματικά που υποστηρίζονται από υπολογιστή. Λ.χ οι βάσεις Groebner και βαριά υπολογιστική δουλειά με κατάλληλα πακέτα είναι σε ημερήσια διάταξη. Ακόμα και οι ίδιοι οι υπολογιστές υπαγορεύουν, ως ένα σημείο, τον τρόπο που θα γίνονται τα Μαθηματικά. Υπάρχει μία αυξανόμενη ζήτηση για κατασκευαστικές αποδείξεις και στο δίπολο
κατασκευαστικό vs υπαρξιακό
κερδίζει έδαφος το πρώτο.
Μπορεί να μην μας αρέσει (και μένα δεν μου αρέσει) αλλά γίνεται. Τα Μαθηματικά μετά από 20-30 χρόνια μπορεί να είναι αγνώριστα.
Δεν είναι μόνο ο τρόπος που επικοινωνούν οι μαθηματικοί μεταξύ τους σε διάφορετικές χρονικές εποχές και τα κριτήρια εγκυρότητας που αλλάζουν. Αλλάζει και ο τρόπος που επικοινωνούν οι μαθηματικοί την ίδια χρονική περίοδο. Αλλιώς μιλάει ένας μαθηματικός με το σινάφι του και αλλιώς στους φοιτητές, στους μαθητές στους αδαείς. Αυτή η διαφοροποίηση στους τρόπους επικοινωνίας είναι επιβεβλημένη. Ζωτική για τον ίδιο τον κλάδο.
Ειδικότερα οι μαθηματικοί νερώνουν πολύ το κρασί τους όταν πρέπει να επικοινωνήσουν με τους μαθητευόμενους. Και το κάνουν σε πολλά επίπεδα:
Α) Στα βιβλία: Ενώ μπορεί κανείς να διδάξει άνετα Γεωμετρία από τα Στοιχεία του Ευκλείδη ή τα Στοιχεία Γεωμετρίαςτου Legendre δεν αποφασίζει να τολμήσει την διδακαλία Γεωμετρίας από τα Θεμέλια της Γεωμετρίας του Hilbert. Ξέρετε πολλούς που να αποφασίζουν σε προπτυχιακό άντε σε μεταπτυχιακό επίπεδο να διδάξουν από τα Στοιχεία Μαθηματικής των Bourbaki; Πριν κάποια χρόνια ευτύχησα να παρακολουθήσω μία διάλεξη που έδωσε στην Αθήνα ό αείμνηστος Laurent Schwartz. Το ξέκοψε: Τα βιβλία των Βοurbaki δεν είναι από εκείνα που θα τα πάρει κάποιος για να πρωτομάθει κάτι. Από την έκθεση μέσα σε μία τυπική γλώσσα ως το σχολικό-φοιτικό έγχειρίδιο έχουν γίνει, και σωστά, πολλές υποχωρήσεις

Β) Στη διδασκαλία Που πλαισιώνεται από συμβάσεις, αστεϊσμούς, θεατρικές ενέργειες και άλλα. Χωρίς αυτά είναι αδύνατο να γίνει μάθημα. Ξέρετε πολλούς δασκάλους που πρόκοψαν απλώς μπαίνοντας σε μία τάξη και γυρνώντας την πλάτη γέμιζαν τους πίνακες με μία διαδοχή συμβόλων και λέξεων. Για το θέμα μας με ενδιαφέρει να σταθώ στις συμβάσεις. Κάθε διδασκαλία και επομένως και τα διαγωνίσματα που την συνοδεύουν πλαισιώνεται από σημαντικές συμβάσεις. Τί πρέπει να λέγεται και τι αποσιωπάται. Για παράδειγμα δεν αναφέρεται πουθενά ότι ο μαθητής δεν μπορεί να γράφει από τα αριστερά της κόλας προς τα δεξιά. Απλώς δεν το κάνει. Ούτε απαγορεύει να διανθίζει την σκέψη του και με στοιχεία που περιγράφουν την τρέχουσα συναισθηματική του κατάσταση. Ο Grothendieck σε κάποιες περιστάσεις το έκανε, ο μαθητής κατά κανόνα δεν το κάνει. Μαζί με το μάθημα και σωρρευτικά και όσο μαθητής προχωράει εξυφαίνεται ένα συμβόλαιο που δεν είναι πουθενά γραμμένο αλλά είναι εύληπτο και κανονιστικό. Δέχεται πιθανόν ορισμένες τοπικές τροποποιήσεις ανάλογα με τον καθηγητή αλλά λίγο ως πολύ είναι το ίδιο από σχολείο σε σχολείο. Γιαυτό η εγκυρότητα του δεν αμφισβητείται ούτε στις πανελλήνιες εξετάσεις. Εκτός ίσως από μερικούς αντιρρητικούς (όρος του Λασκαράτου του οποίου είμαι κατά 25% συμπατριώτης). Με βάση αυτό το συμβόλαιο οι συμβαλλόμενοι έχουν κάποιες υποχρεώσεις και κάποια δικαιώματα. Και μέσα σε αυτό τα διάφορα προτάγματα έχουν πλήρες νόημα και συγκεκριμένο περιέχόμενο.
'Οταν λέμε να λυθεί η εννοούμε ως προς .
Όταν λέμε να απολοποιηθεί η παράσταση περιμένουμε την απάντηση και όχι την
'Οταν το σχολικό βιβλίο κατεύθυνσης της Γ' Τάξης ζητάει "Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει " ξέρουμε όλοι τί εννοεί.
Αλλά και όταν παραλείπει το "εικόνες" γράφοντας "Να βρείτε που ανήκουν οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει " πάλι ξέρουμε τι εννοεί".

Και, πάντα σε σχέση με το τρέχον "συμβόλαιο" αυτά που λέει είναι εξαιρετικά ακριβολογημένα. Τα μαθηματικά συμφραζόμενα δεν είναι κατάρα αλλά ευλογία. Αλλίμονο αν επιμέναμε στην ακριβολογία. Θα κάναμε Μαθηματικά με τους τρεις και τον κούκο. Τους άλλους θα τους είχαμε διώξει. Αποτελεί θεώρημα της Κοινωνιολογίας της Εκπαίδευσης ότι οι διάφορες κοινωνικές ομάδες δεν προσεταιρίζονται την γλώσσα με τον ίδιο τρόπο. Έρευνες (με πιό γνωστές εκείνες των Bernstein και Labov) ήδη από την δεκαετία του 60 έχουν ρίξει φως στους κώδικες επικοινωνίας των μαθητών σε σχέση με την κοινωνικο-μορφωτική προέλευση. Η έμφαση στην ακριβολογία είναι ένα και ένα για να αποξενώσει τους λιγότερο προνομιούχους μαθητές. 'Οσοι συνάδελφοι έχουν διδάξει σε "δύσκολα" σχολεία και "δύσκολες" περιοχές καταλαβαίνουν πολύ καλά τι εννοώ. Η έλλειψη τυπικότητας είναι κατά την γνώμη μου ο μόνος τρόπος για να "κοινωνοικοποιηθούν" οι μαθητές στα Μαθηματικά. Και όπως συνέβη και με άλλες γενιές σε άλλες εποχές, ας μην το ξεχνάμε αυτό, η τριβή με τα Μαθηματικά θα ενσωματώσει από μόνη της εκείνο το ποσό της Λογικής που απαιτείται για την διεκπεραίωση τους.
Θα ήθελα να πώ ότι αν ένας συνάδελφος έχει να επιλέξει ανάμεσα στην λογική αυστηρότητα και την κατανόηση ας επιλέξει το δεύτερο. Αν αδιαφορεί για το δεύτερο αλλά δίνει την ζωή του για το πρώτο ας παρατήσει το δασκαλίκι και ας πάει σε ένα ερευνητικό κέντρο. Και στις αμφιταλαντεύσεις του καλόν είναι να μην ξεχνάει ότι στα σχολικά βιβλία πέραν από τις ελλείπουσες αποδείξεις υπάρχουν σημαντικά ελλείματα αυστηρότητας στους ορισμούς. Ιδού, εντελώς ενδεικτικά, μερικές περιπτώσεις όπου το ζύγι είναι λειψό: γωνία, εμβαδόν, ρητοί αριθμοί, πραγματικοί αριθμοί, όριο, ορισμένο ολοκλήρωμα, προσανατολισμός, διατεταγμένο ζεύγος. Καλόν επίσης είναι να θυμόμαστε ότι μία έννοια δεν κοινολογείται με τον ορισμό της αλλά με την κατανόηση της αλληλεπίδρασης της με άλλες ήδη γνωστές έννοιες. Και ότι ισχύει, και εδώ, ο στίχος του Dylan
So easy to look at,
so hard to define
Τελειώνοντας θα ήθελα να προσθέσω ότι έχει μεγαλύτερη σημασία για τον δάσκαλο να αφουγκράζεται την τάξη του και να σπάει το κεφάλι του γύρω από το τι θα κάνει
-σε κείνο το μέρος της πατρίδας μας που βρίσκεται
-με εκείνη την συγκεκριμένη τάξη που έχει
και να βάζει απολύτως σε δεύτερη μοίρα τους διάφορους κανονιστικούς, επί του διδάσκειν, φετφάδες που εκπορεύονται από "τα κεντρικά". Και δεν είναι λίγα: Υπουργείο, Σύμβουλοι, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Τμήματα Διδακτικής, μεγάλα Φροντιστήρια και η συνακόλουθη μανιέρα είτε είναι ιδιοκατασκευή είτε όχι. Ουδείς νομιμοποιείται να κάνει σε αυτά τα ζητήματα τον κάργα στον μοχθούντα δάσκαλο.
Και κάτι ακόμη: Τα σημαντικά πράγματα λέγονται καλλίτερα εκ του σύνεγγυς. Που πάει να πει πας στο μέρος, του μοιράζεσαι την καθημερινότητα του και ότι έχεις να πεις το λες στην τάξη του. Στον πίνακα με κιμωλία.

Μαυρογιάννης

[mathxl]

Νίκο,
μεστός ο λόγος σου, με βρίσκει σύμφωνο.
Αν κάποια παράλειψη, ή μη αυστηρή διατυπωση είναι " ανώδυνη" για τον μαθητή με τον τρόπο που περιγράφεις (δηλαδή αντιλαμβάνεται ακριβώς τι ζητάμε από αυτόν), νομίζω ότι δυιλίζουμε τον κόνοπα (δανεισμένο από τον Χρήστο Κυριαζή)

Προς τον Θωμά (παρακαλώ τα υπόλοιπα μέλη να με συγχωρήσουν αλλά ένιωσα κάποια πράγματα σήμερα και ήθελα να τα γράψω)
Με αυτό το ποστ θα ήθελα να πω ότι νιώθω πολύ τυχερός που γνώρισα από κοντά τον Θωμά, άνθρωπο της παρέας (με έκανε να νιώσω ότι τον γνώριζα), ανοιχτόκαρδο,έξυπνο και δάσκαλο (όχι μόνο στα μαθηματικά). Πραγματικά με συγκίνησε σήμερα και μου έκανε και κάποια μαθήματα τοπικής ιστορίας )
Ωστόσο έχει ένα μεγάλο μειονέκτημα...είναι "κόκκινος". Θωμά όλοι κάνουμε λάθη, ποτέ δεν είναι αργά να το καταλάβουμε

[k-ser]

Νίκο, θα μου επιτρέψεις να διαφωνήσω.
Όχι για το σύνολο των σκέψεων σου - κάτι τέτοιο δεν μου είναι δυνατόν να το κάνω: δεν έχω τις γνώσεις.
Θα διαφωνήσω για την ορθότητα της διατύπωσης των δύο θεμάτων.
Δεν είναι καθόλου καλά διατυπωμένα για θέματα εξετάσεων, εφόσον δεν οδηγούν σε αδιαμφισβήτητη απάντηση.
Διατυπώνοντας μ' αυτόν τον τρόπο θέματα εξετάσεων ευνοούμε απλώς τον μέτριο μαθητή.
Ο καλός μαθητής, να είσαι σίγουρος, ότι θα ψάξει βαθύτερα και, δυστυχώς, θα πνιγεί στη ρηχή λάσπη της διατύπωσης.

Σε καμιά περίπτωση δεν ισχυρίζομαι ότι μπορούμε να καταφέρουμε να διατυπώνουμε σωστά πάντα τα διάφορα ερωτήματα.
Αλλά,
μήπως θα είναι καλό να το προσπαθήσουμε;

Φιλικά

[Α.Κυριακόπουλος]

Αγαπητέ Νίκο.
•Καταρχήν, δεν μπορώ να καταλάβω ποια είναι η σχέση των δύο θεμάτων που αναφέρεις στην αρχή με όσα γράφεις στη συνέχεια.
•Εσύ, όπως φαίνεται, ταυτίζεις τον φορμαλισμό με τα σωστά και κατανοητά μαθηματικά. Από όσα γράφεις, βγαίνει το συμπέρασμα ότι για σένα υπάρχουν οι εξής μόνο δύο περιπτώσεις: Ή θα κάνουμε φορμαλιστικά μαθηματικά ή θα κάνουμε ακατανόητα και λανθασμένα μαθηματικά. Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι κάνεις μεγάλο λάθος. Η γνώμη μου είναι ότι πρέπει να κάνουμε, όχι φορμαλιστικά, αλλά απλά, σωστά και κατανοητά μαθηματικά Ο φορμαλισμός , όπως έχω γράψει πολλές φορές, κατά τη γνώμη μου απευθύνεται στις μηχανές και όχι στους ανθρώπους. Εσύ ισχυρίζεσαι ότι στα μαθηματικά μπορούν να μας ζητάνε να βρούμε κάτι που μας δίνουν ( πρώτο θέμα που αναφέρεις) και να μας ρωτάνε αν είναι Σωστό ή Λάθος κάτι που άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε είναι λάθος ( δεύτερο θέμα που αναφέρεις ). Συγνώμη, αλλά είμαι υποχρεωμένος να σου πω ότι αυτά μόνο μαθηματικά δεν είναι.
• Αυτά που γράφεις για να υποστηρίξεις ότι τα δύο θέματα ,που αναφέρεις στην αρχή ,είναι σωστά μου θυμίζει την εξής ιστορία με τον Όϊλερ( που ασφαλώς θα σου είναι γνωστή):
« Η Μεγάλη Αικατερίνη της Ρωσίας ανέθεσε στον Όϊλερ να αντιμετωπίσει τον Γάλλο άθεο φιλόσοφο Ντενί Ντιντερό και να του αποδείξει ότι υπάρχει θεός. Είπε λοιπόν ο Όϊλερ στον Ντιντερό: Κύριε (α+β)/ν=χ. Άρα υπάρχει θεός!!! Απαντήσετε!!!».
Ο Γάλλος φιλόσοφος, άσχετος με τα μαθηματικά, δεν μπόρεσε φυσικά να απαντήσει και αποχώρησε ηττημένος.
Αλλά όμως, αγαπητέ Νίκο, ο Όϊλερ το έκανε αυτό, γιατί γνώριζε ότι ο Γάλλος φιλόσοφος ήταν άσχετος με τα μαθηματικά. Εσύ όμως απευθύνεσαι σε μαθηματικούς.
Φιλικά.

[dimgiann]

Καλησπέρα
Νομίζω ότι η αυστηρότητα στα μαθηματικά είναι στην διδασκαλία μας ένα από τα ζητούμενα. Είναι από τα μαθήματα που διδάσκουν στους μαθητές (του Λυκείου) ότι οι πολύ λεπτές διαφορές στη διαπραγμάτευση ενός θέματος οδηγούν και σε διαφορετικά συμπεράσματα. Και είναι αυτές οι διαφορές που ξεχωρίζουν τους καλούς από τους πολύ καλούς και από τους άριστους. Νομίζω ότι το θέμα είχε τεθεί πολύ εύστοχα σε μία άλλη ανάρτηση σχετικά με την βαθμολόγηση των γραπτών στις πανελλαδικές εξετάσεις. viewtopic.php?f=46&t=1466&start=20 Κάτι αντίστοιχο ισχύει και με την αυστηρότητα στη διατύπωση των θεμάτων από εμάς τους καθηγητές. Πιστεύω ότι είναι και θα πρέπει να είναι μία από τις επιδιώξεις μας ως καθηγητές και ως «αξιολογητές». Αν τώρα αυτό δεν συμβαίνει πάντα δεν νομίζω ότι το συμπέρασμα είναι ότι παύει να είναι και ζητούμενο η αυστηρότητα και η ορθή διατύπωση. Συμφωνώ βέβαια με την άποψη ότι υπάρχει πλήθος άλλων παραμέτρων τόσο στη διδασκαλία όσο και στην εξέταση μαθητών οι οποίες αποδυναμώνουν -σωστά κάποιες φορές- την αυστηρότητα των μαθηματικών στην εκπαιδευτική διαδικασία εστιάζουν άλλου το ενδιαφέρον, αλλά σε καμία περίπτωση δεν την βγάζουν από τους στόχους μας. Για το λόγο αυτό θεωρώ ότι θέματα όπως αυτά που αναφέρθηκαν πιο πάνω δεν είναι «ορθότατα». Είναι θέματα που στέκονται χωρίς ιδιαίτερο πρόβλημα σε μία εξέταση, συμβάλουν στη διατήρηση του «διδακτικού συμβολαίου» αλλά μπορούν να διατυπωθούν πολύ καλύτερα προς όφελος όλων.
Δημήτρης Γιαννόπουλος

[paulgai]

Πραγματικά εντυπωσιακό το κείμενο του nsmavrogianni.
Δεν με βρίσκεις απλά σύμφωνο αλλά θα έλεγα ότι περιέχει
μηνύματα που προσωπικά μου πήρε πολύ χρόνο να ανακαλύψω.
Ενδεικτικά αναφέρω μία από τις πολλές προτάσεις που μου άρεσαν

Καλόν επίσης είναι να θυμόμαστε ότι μία έννοια δεν κοινολογείται
με τον ορισμό της αλλά με την κατανόηση της αλληλεπίδρασης της με
άλλες ήδη γνωστές έννοιες.

Δεν τρέπομαι να πω ότι προσωπικά έφτασα στο παραπάνω συμπέρασμα
όταν ήμουν ήδη φοιτητής σε μεταπτυχιακό στα θεωρητικά μαθηματικά.
Για πολλά χρόνια ως φοιτητής κοιτούσα το δέντρο και έχανα το δάσος
(μου συμβαίνει ακόμα μερικές φορές). Προσπαθώ (χωρίς να είμαι σίγουρος
ότι το καταφέρνω απόλυτα) να δείξω στους μαθητές το δάσος και όχι το
δένδρο. Διαισθάνομαι πάντως ότι δεν είναι εύκολο να βρεθεί πάντα η
ισορροπία μεταξύ αυστηρότητας και ‘ουσίας’. Σίγουρα και τα δύο είναι
σημαντικά και σίγουρα η ισορροπία αυτή εξαρτάτε και από τη δυναμική
της τάξης.

[exdx]

Εξετάσεις 2003 στη Γεωμετρία Β΄ Λυκείου , θέμα 4γ : Να βρεθεί το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου . Πόσοι μαθητές έγραψαν ότι ο κύκλος δεν έχει εμβαδόν ;

[chris_gatos]

Αααα...κάτι μου θυμίζει αυτό!
( Αντι ) Γράφω το πρώτο απο τα ερωτήματα της φετινής εξέτασης του ΑΣΕΠ ( στην ειδική διδακτική).

'' Αφού έχετε διδάξει τα κανονικά πολύγωνα και την εγγραφή τους σε κύκλο, πως θα συνεχίζατε και θα ολοκληρώνατε τη διδασκσλία σας για τη μέτρηση του μήκους της περιφέρειας και για τη μέτρηση του εμβαδού του κύκλου.

(Είναι και επίκαιρο! Νομίζω πάντως πως όλοι οι συνάδελφοι καταλάβανε περί τίνος πρόκειται...)

[sybe]

Αααα...κάτι μου θυμίζει αυτό!
( Αντι ) Γράφω το πρώτο απο τα ερωτήματα της φετινής εξέτασης του ΑΣΕΠ ( στην ειδική διδακτική).

'' Αφού έχετε διδάξει τα κανονικά πολύγωνα και την εγγραφή τους σε κύκλο, πως θα συνεχίζατε και θα ολοκληρώνατε τη διδασκσλία σας για τη μέτρηση του μήκους της περιφέρειας και για τη μέτρηση του εμβαδού του κύκλου.

(Είναι και επίκαιρο! Νομίζω πάντως πως όλοι οι συνάδελφοι καταλάβανε περί τίνος πρόκειται...)

ερώτημα α:
εντοπίστε την πιο σημαντική παρανόηση που φαίνεται να εχει δημιουργηθεί στους θεματοδότες.
ερώτημα β:
πώς θα αντιμετωπίζατε συναδελφικά το πρόβλημα που δημιουργήθηκε ώστε να βοηθήσετε τους θεματοδότες να ξεπεράσουν την παρανόησή τους;

[nsmavrogiannis]

Καλή σας μέρα

Θα διαφωνήσω για την ορθότητα της διατύπωσης των δύο θεμάτων.
Δεν είναι καθόλου καλά διατυπωμένα για θέματα εξετάσεων, εφόσον δεν οδηγούν σε αδιαμφισβήτητη απάντηση.
Διατυπώνοντας μ' αυτόν τον τρόπο θέματα εξετάσεων ευνοούμε απλώς τον μέτριο μαθητή.

Κώστα στο πρώτο θέμα ζητείται να βρεθεί μία παράσταση ως συνώνυμο του να υπολογισθεί. Αν είχε περισσότερες συμπαραδηλώσεις οι επιπλέον πληροφορίες θα δυσκόλευαν εκείνους τους μαθητές που συνήθως δυσκολεύονται.
Στο δεύτερο θέμα ζητείται να απαντήσουν οι μαθητές αν ένας κανόνας είναι σωστός ή λάθος. Πάλι περισσότερες δηλώσεις θα συσκότιζαν το θέμα.
Μην ξεχνάμε ότι και τα δύο θέματα είναι θέματα σχολικών εξετάσεων, ο δάσκαλος είναι δίπλα, και μπορούν να δοθούν, αν ζητηθούν και εφ΄όσον χρειάζεται επεξηγήσεις. Δεν υπάρχει λόγος να ανησυχούμε μήπως και τα θέματα δεν εκπληρούν κάποια κριτήρια σαφήνειας που αποτυπώνουν δικές μας ανησυχίες και όχι των μαθητών. Το παράδειγμα που αναφέρει ο Γιώργης Καλαθάκης με τον κύκλο είναι πολύ χαρακτηριστικό.
Θα αναφέρω ένα ακόμη παράδειγμα. Στο βιβλίο 'Αλγεβρας της Α' Λυκείου υπάρχει η άσκηση:
Να βρείτε το σύνολο των πλήκτρων που θα χρησιμοποιήσουμε σε ένα κομπουτεράκι για να γράψουμε τους αριθμούς i) 315.....
Τι σημαίνει όμως βρίσκω ένα σύνολο; Αν ο μαθητής απαντήσει "Πρόκειται για το σύνολο των πλήκτρων που θα χρησιμοποιήσουμε σε ένα κομπιουτεράκι για να γράψουμε ον αριθμό 315" η απάντηση θεωρείται σωστή;

Αν ζητήσουμε από ένα μαθητή να βρεί το x όταν η απάντηση είναι δεκτή; Η ; Η ; Η ;
Αν ζητήσουμε από ένα μαθητή να βρει τα θετικά για τα οποία ισχύει η απάντηση είναι δεκτή; Η απάντηση μήπως;

Τι θέλω να πώ με όλα αυτά. 'Οτι εντάξει φυσικά και πρέπει να το παλεύουμε για να είμαστε σαφείς αλλά σε πολλές περιπτώσεις παίρνουμε τις απαντήσεις που θέλουμε όχι γιατί έχουμε πετύχει το μέγιστο της σαφήνειας αλλά διότι οι μαθητές έχουν εκπαιδευτεί σε συγκεκριμένα ερωτηματα να δίνουν συγκεκριμένες απαντήσεις..

Νομίζω ότι η αυστηρότητα στα μαθηματικά είναι στην διδασκαλία μας ένα από τα ζητούμενα. Είναι από τα μαθήματα που διδάσκουν στους μαθητές (του Λυκείου) ότι οι πολύ λεπτές διαφορές στη διαπραγμάτευση ενός θέματος οδηγούν και σε διαφορετικά συμπεράσματα. Και είναι αυτές οι διαφορές που ξεχωρίζουν τους καλούς από τους πολύ καλούς και από τους άριστους.

Δημήτρη δεν διαφωνούμε αλλά η πορεία μέχρι αυτό το στόχο είναι μακρά. Εϊναι άδικο να έχουμε υπερβολικές απαιτήσεις από την αρχή. Θα τις αυξάνουμε όσο προχωράμε.

...δεν μπορώ να καταλάβω ποια είναι η σχέση των δύο θεμάτων που αναφέρεις στην αρχή με όσα γράφεις στη συνέχεια.
...όπως φαίνεται, ταυτίζεις τον φορμαλισμό με τα σωστά και κατανοητά μαθηματικά

Αντώνη προσπάθησα όσο μπορούσα να εξηγησω, για όποιον ενδιαφέρει το θέμα, την σκέψη, ότι
α) όπως κάνουμε εμείς ως μαθηματικοί αβαρίες και υποχωρούμε από την απόλυτη αυστηρότητα ενός τυπικού συστήματος για να κάνουμε Μαθηματικά σαν άνθρωποι έτσι και οφείλουμε να κάνουμε αβαρίες και όταν διδάσκουμε. 'Οσες κρίνουμε ότι χρειάζονται.
β) όπως η εικόνα που έχουμε για τα Μαθηματικά, διαχρονικά, αλλάζει έτσι αλλάζει και η εικόνα των Μαθηματικών που έχουν τα παιδιά.

Αλλά όμως, αγαπητέ Νίκο, ο Όϊλερ το έκανε αυτό, γιατί γνώριζε ότι ο Γάλλος φιλόσοφος ήταν άσχετος με τα μαθηματικά. Εσύ όμως απευθύνεσαι σε μαθηματικούς.
Φιλικά.

Μα φυσικά Αντώνη, όπως και εσύ εξ΄άλλου, έχω πλήρη συναίσθηση ότι απευθύνομαι σε επαγγελματίες μαθηματικούς. 'Εχω μάλιστα τη χαρά να γνωρίζω πως κάποιοι υπήρξαν μαθητές μου (όπως και εσένα κάποιοι άλλοι). Αλλά δεν είναι πλέον. Είναι συνάδελφοι μου. Δεν τους διδάσκω. Ανταλλάσουμε γνώμες και αλληλεπιδρούμε. Ελπίζοντας ότι αλλάζοντας, θα γίνουμε καλλίτεροι. Ας αναφέρω και εγώ με τη σειρά μου μία ιστορία. Εϊναι από τις Ιστορίες του κυρίου Κοϋνερ του Μπέρτολντ Μπρεχτ:
Το ξαναντάμωμα
Ο κ. Κ. αντάμωσε κάποιον που είχε να τον δει πολύ καιρό. Μα εσείς δεν αλλάξατε καθόλου, του είπε ο άλλος καθώς τον χαιρετούσε. Ωχ, έκανε ο κ. Κ. και χλώμιασε.

ο Όϊλερ το έκανε αυτό, γιατί γνώριζε ότι ο Γάλλος φιλόσοφος ήταν άσχετος με τα μαθηματικά

Δευτερεύον μιας και το θέμα μας είναι άλλο. Δεν υπάρχει όμως καμμία απόδειξη ότι η ιστορία αυτή είναι πραγματική. Το πιό πιθανό είναι πως είναι επινοημένη. Αιτιάσεις για την αλήθεια της έχουν γραφεί ήδη από το 1940. Φαίνεται ότι η ιστορία διαδόθηκε από τον De Morgan ( βλ. την Συνοπτικη Ιστορία των Μαθηματικών του Struik σελ. 210). Πέρασε στις ιστορίες του Cajori και του Smith (τόμος 1 σ. 523) και στα πολύ δημοφιλή βιβλία Mathematics for the Million του Hogben (σελ. 9) και Οι Μαθηματικοί του Bell (τόμος 1 σ. 234) και διαδόθηκε. Ως και ο "Ευκλείδης" την είχε γράψει αν και μετά κάποιος συνάδελφος, που δεν θυμάμαι το όνομα του, είχε γράψει ένα σημείωμα που την αναιρούσε. Οι κυριότεροι λόγοι για τους οποίους η ιστορία αυτή θεωρείται επινοημένη ειναι οι εξής:
α) Ο de Morgan στηρίζεται σε ένα βιβλίο του Thiebault στο οποίο όμως δεν αναφέρεται πουθενά ότι ο Thiebault ήταν παρών στο "περιστατικό".
β) Ο Εγκυκλοπαιδιστής Diderot ήταν ευρυμαθής και ήξερε Μαθηματικά. Εϊχε κάνει μάλιστα κσι δημοσιεύσεις σε διάφορα θέματα.
γ) Η ιστορία είναι εντελώς αναντίστοιχη με την εικόνα του χαρακτήρα των δύο ανδρών όπως έχει φθάσει σε μας. Ιδιαιτέρως από πουθενά δεν προκύπτει ότι ο μέγας Euler ήταν τόσο φτηνιάρης.

Μαυρογιάννης

[k-ser]

Κώστα στο πρώτο θέμα ζητείται να βρεθεί μία παράσταση ως συνώνυμο του να υπολογισθεί. Αν είχε περισσότερες συμπαραδηλώσεις οι επιπλέον πληροφορίες θα δυσκόλευαν τους μαθητές που συνήθως δυσκολεύονται.
Στο δεύτερο θέμα ζητείται να απαντήσουν οι μαθητές αν ένας κανόνας είναι σωστός ή λάθος. Πάλι περισσότερες δηλώσεις θα συσκότιζαν το θέμα.
Μην ξεχνάμε ότι και τα δύο θέματα είναι θέματα σχολικών εξετάσεων, ο δάσκαλος είναι δίπλα, και μπορούν να δοθούν, αν ζητηθούν και εφ΄όσον χρειάζεται επεξηγήσεις. Δεν υπάρχει λόγος να ανησυχούμε μήπως και τα θέματα δεν εκπληρούν κάποια κριτήρια σαφήνειας που αποτυπώνουν δικές μας ανησυχίες και όχι των μαθητών. Το παράδειγμα που αναφέρει ο Γιώργης Καλαθάκης με τον κύκλο είναι πολύ χαρακτηριστικό.
Θα αναφλερω ένα ακόμη παράδειγμα. Στο βιβλίο 'Αλγεβρας της Α' Λυκείου υπάρχει η άσκηση:
Να βρείτε το σύνολο των πλήκτρων που θα χρησιμοποιήσουμε σε ένα κομπουτεράκι για να γράψουμε τους αριθμούς i) 315.....
Τι σημαίνει όμως βρίσκω ένα σύνολο; Αν ο μαθητής απαντήσει "Πρόκειται για το σύνολο των πλήκτρων που θα χρησιμοποιήσουμε σε ένα κομπιουτεράκι για να γράψουμε ον αριθμό 315" η απάντηση θεωρείται σωστή;

Νίκο, στο πρώτο θέμα θα ήταν καλύτερο να ζητηθεί να υπολογισθεί η παράσταση ή να δειχθεί ότι η παράσταση είναι ίση με 2.
Το δεύτερο θέμα θα ήταν καλύτερο να το διατυπώσουμε:
Αν πλευρές του τριγώνου με και τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο,
ή
Αν πλευρές του τριγώνου με τότε υπάρχει περίπτωση το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο.
ή
Αν πλευρές του τριγώνου και τότε, σε κάθε περίπτωση το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

Όσον αφορά την άσκηση με τα πλήκτρα, την πρώτη φορά που την είδα είχα αμφιβολίες αν η απάντηση που έπρεπε να δώσω ήταν η προφανής ή αν η άσκηση είχε κάποιο "κρυφό σημείο" που έπρεπε να προσέξω. Απέκλεισα βέβαια την περίπτωση του "κρυφού σημείου" και σιγούρεψα την απάντησή μου.

Πολλές φορές συναντώ ασκήσεις οι οποίες με ταλαιπωρούν αρκετά μέχρι να ανακαλύψω το ζητούμενο και η ταλαιπωρία αυτή δεν είναι μέρος της άσκησης αλλά μέρος της κακής διατύπωσής της.
Στον ΑΣΕΠ 2004 είχε δοθεί λάθος η απάντηση σε μια απλή τιγωνομετρική εξίσωση. Το θέμα ήταν πολλαπλής επιλογής. Επί μιάμιση ώρα προσπαθούσα να καταλάβω που κάνω λάθος και δεν προκύπτει κανένα από τα αποτελέσματα που δινόταν. Διάβαζα και ξαναδιάβαζα την διατύπωση της ερώτησης να ανακαλύψω τι δεν έλαβα υπόψη μου. Έλυνα και ξαναέλυνα την εξίσωση με διάφορους τρόπους για να καταλήξω πάλι στο ίδιο αποτέλεσμα. Στο τέλος προσπάθησα να καταλάβω το λάθος που μπορεί να έκανε ο θεματοδότης είτε στη διατύπωση είτε στη λύση της άσκησης και κάνοντας αυτό το λάθος τι αποτέλεσμα θα έδινε! Το βρήκα!, έβαλα την απάντηση που θα ήθελε!, αλλά το κακό είναι ότι το βρήκε και αυτός, εκ των υστέρων - αφού είχε τελειώσει η εξέταση. Το θέμα ακυρώθηκε και για την προσπάθεια της μιάμισης ώρας μου... πήρα 0. Ευτυχώς, αυτό το 0, δεν μου στοίχισε.

Νίκο, στο μάθημα - στην τάξη έχουμε "δικαίωμα" να μην είμαστε τόσο αυστηροί στη διατύπωση και γραφή των μαθηματικών αλλά μόνον αν αυτό το ελέγχουμε και προσέχοντας να μην δημιουργούμε στους μαθητές μας λανθασμένες αντιλήψεις, οι οποίες, δυστυχώς, μένουν. Πολλοί μαθητές, παράδειγμα, φτάνουν στο Λύκειο και θεωρούν σαν κύκλο τον κυκλικό δίσκο! Κάποιος συνάδελφος δεν τους εξήγησε τη διαφορά ή τους μπέρδεψε όταν μιλώντας για το εμβαδόν κύκλου δεν εξήγησε ότι εννοούμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείει ο κύκλος. Άλλο παράδειγμα: πολλοί μαθητές του Γυμνασίου δεν αντιλαμβάνονται ότι το τετράγωνο είναι και ορθογώνιο! Μα κύριε, το ορθογώνιο είναι αλλιώς!

Τέλος,
δεν είμαστε "αυστηροί" γιατί αυτό επιβάλλεται από κάποια διδακτική μέθοδο ή
γιατί αυτό μας το επιβάλλει η άγνοιά μας για το πότε έχουμε το δικαίωμα να παραβλέπουμε, και πόσο, την αυστηρότητα των μαθηματικών;

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Μια καλησπέρα σε όλους τους εκλεκτούς φίλους που συμμετέχουν στη συζήτηση.
Ας διατυπώσω μερικές σκέψεις - προβληματισμούς μου.
Κώστα,
μας λες και συμφωνώ ότι:
στην τάξη έχουμε "δικαίωμα" να μην είμαστε τόσο αυστηροί στη διατύπωση και γραφή των μαθηματικών.
Θα συμπληρώσω όμως ότι:
Δεν έχουμε και ταυτόχρονα το δικαίωμα να τελειώσει η χρονιά και να μην έχουμε «καρφώσει» στο μυαλό κάθε μαθητή τουλάχιστον «ένα κάτι» που εμείς κρίνουμε αναγκαίο ότι πρέπει να μείνει για πάντα.
Αν τελικά αυτό το ελάχιστο, δεν «καρφωθεί» και τελικά διαγραφεί, τότε πρακτικά δεν έχουμε κάνει τίποτα, και όλη η συλλογιστική πάει χαμένη. Και δυστυχώς αυτό το ένα δεν είναι ποτέ κάτι μηχανιστικό αλλά εννοιολογικά βαθύ και δεν επιδέχεται μαθηματικές εκπτώσεις και σίγουρα είναι πολύ πάνω από κάποια τεχνική ή μέθοδο.
Μάθηση, χωρίς να γίνεται γνώση, μιας και δεν μένει τίποτα, δεν έχει κανένα νόημα, είναι απλώς μια ουτοπία.
Θεωρώ λοιπόν ότι η αλήθεια είναι αλλού,
ούτε στην έκπτωση για την έκπτωση, όπου μεν κάτι φαίνεται να καταφέρνει πρόσκαιρα ο μαθητής, αλλά που τελικά δεν έμαθε τίποτα,
ούτε στην τεκμηρίωση για την τεκμηρίωση με το ίδιο όμως ανούσιο αποτέλεσμα.
Νίκο,
αναρωτιέμαι, όταν βλέπω βαθμολογίες, στις οποίες ο ένας βαθμολογητής βάζει 85 και ο άλλος 65, μήπως οφείλονται σε αυτό που μας περιγράφεις;
Επειδή ο κάθε βαθμολογητής δεν είναι κλώνος δικός σου, με το τόσο ανοικτό μυαλό, που του αρκεί το γραπτό για να καταλάβει αν ο μαθητής ξέρει μαθηματικά ή όχι, μήπως θα πρέπει να ακούσουμε και κάποια άλλη φωνή, όπως του Αντώνη ή του Κώστα που μας λένε:
ναι μπορεί στη τάξη στην αρχή να μην είμαστε τόσο αυστηροί, αλλά να ελέγχουμε και να προσέχουμε ώστε να μην δημιουργούμε στους μαθητές μας λανθασμένες αντιλήψεις, οι οποίες, δυστυχώς, όχι μόνον μένουν αλλά μπορεί και να τους κάνουν κακό.
Διατηρώντας το δικαίωμα στο λάθος,
Θωμάς.
Υ.Γ
Να πω στον Λεωνίδα Θαρραλίδη (lonis) και τον Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl), ότι:
Παιδιά σας ευχαριστώ πολύ, με κάνατε να περάσω τις καλύτερες διακοπές μου στα πάτρια εδάφη, με φέρατε, ιδιαίτερα ο Λεωνίδας στα όρια του αλκοολισμού, όμως επειδή αυτό μικρό ενδιαφέρον έχει, να καταθέσω από ψυχής ότι:
είμαι πολύ, μα πολύ ευτυχισμένος που σας γνώρισα, σας έκανα φίλους, και σας περιμένω (ουμε) στην Αθήνα.
Το ότι είστε Παόκια, κάνει εμένα τον γαύρο, να σας αγαπήσω ακόμη περισσότερο.
Νίκο Μαυρογιάννη, Μπάμπη Στεργίου, Κώστα Ρεκούμη (Rek2), Γιάννη Γεώργα (space123), Χρήστο Κυριαζή (chris_gatos),
κανονίστε συνάντηση γιατί ως μάγος σας φέρνω τα δώρα του Λεωνίδα.
Γιώργο Ρίζο, σε ευχαριστώ για το βιβλίο που μου έστειλες, και μιλώντας με τον Λεωνίδα, η εκτίμησή μου προς το πρόσωπό σου πολλαπλασιάστηκε επικίνδυνα.
Από τη Δευτέρα και πάλι δουλειά.

[space123]

ΚΩΝΩΨ Ο ΑΝΩΦΕΛΗΣ:ΣΥΝΗΘΩΣ ΑΒΛΑΒΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΑΝΘΡΩΠΟ,ΣΥΧΝΑ ΕΝΟΧΛΗΤΙΚΟΣ ,ΕΝΙΟΤΕ ΕΠΙΒΛΑΒΗΣ- ΙΔΙΑΙΤΕΡΩΣ ΑΝ ΔΙΥΛΙΖΕΤΑΙ.
Θα παραθέσω ένα σενάριο.
ΤΑΞΗ :Β!ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ:ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ.ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ,ΑΜΒΛΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ,ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ.

ΣΤΟΧΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΣ: Να κατανοήσουν οι μαθητές το πυθαγόρειο θεώρημα και κυρίως ότι η σχέση α2=β2+γ2 είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο. Να γνωρίσει τις υπόλοιπες μετρικές σχέσεις του ορθογωνίου τριγώνου και να μπορεί να τις χρησιμοποιεί σε απλές υπολογιστικές ή αποδεικτικές ασκήσεις. Στη συνέχεια να αποδειχθούν τα θεωρήματα οξείας και αμβλείας γωνίας και να κατανοηθούν ως γενικεύσεις του πυθαγορείου. Να μπορεί να εφαρμόζει τα θεωρήματα αυτά και πάλι σε απλές υπολογιστικές και αποδεικτικές ασκήσεις.(ο όρος απλές ασκήσεις υλοποιεί τον μέσο διδακτικό στόχο ,χωρίς να σημαίνει ότι αποκλείονται και πιο δύσκολες). Να εξαχθεί ο νόμος των συνημιτόνων ως εφαρμογή των προηγουμένων και να κατανοηθεί με κατάλληλες εφαρμογές η χρησιμότητά του σε υπολογιστικές ασκήσεις και την επίλυση τριγώνου. Τέλος να εμπεδώσουν οι μαθητές ότι: 1) αν α2<β2+γ2 ισοδύναμα Α<90 και 2) αν α2>β2+γ2 ισοδύναμα Α>90.
Στο σημείο αυτό ο καθηγητής επιμένει να κατανοήσουν οι μαθητές του ότι η ύπαρξη μιας οξείας γωνίας δεν αρκεί για να χαρακτηριστεί ένα τρίγωνο οξυγώνιο, άρα η 1) σημαίνει μόνο ότι η γωνία Α είναι οξεία και τίποτα άλλο!!! Επίσης υπενθυμίζει στα παιδιά την πρόταση από την υλη της Α! τάξης: Σε κάθε τρίγωνο απέναντι της μεγαλύτερης πλευράς βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία και έτσι με χαρά καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι αν στην 1) στη θέση της α έχουμε την μεγαλύτερη πλευρά το τρίγωνό μας είναι οξυγώνιο!!! Προφανώς ,σχολιάζουμε ώστε να γίνει κατανοητό ότι, η σχέση 2) οδηγεί πάντα σε αμβλυγώνιο τρίγωνο.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ:ΓΙΑ ΝΑ ΔΟΥΜΕ ΤΙ ΚΑΝΑΜΕ. Ανάμεσα σε άλλα θέματα και ερωτήματα βάζουμε και τούτο το Σ-Λ : Αν α,β,γ οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει α2<β2+γ2, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

Καλοί μου συνάδελφοι, η ερώτηση είναι και νόμιμη και πολύ διδακτική επίσης γιατί ζητά από το μαθητή να κάνει μία λεπτή διάκριση, την οποία τονίσαμε στο μάθημά μας και κατάλαβε(ελπίζουμε) ότι ΜΙΑ ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ ΔΕΝ ΦΤΑΝΕΙ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΙΣ ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΟΞΥΓΩΝΙΟ. Τι περιμένω να σκεφτεί το παιδί? ‘’από τα δεδομένα ξέρω με σιγουριά ότι η γωνία Α είναι οξεία. Ναι αλλά οξυγώνιο είναι αυτό που έχει ΟΛΕΣ τις γωνίες οξείες. Ξέρω κάτι άλλο για τις γωνίες ή τις πλευρές? ΌΧΙ. άρα αυτή η πρόταση, ως γενικός νόμος, είναι ΛΑΘΟΣ)

Δεν ξέρω γιατί από την πρώτη στιγμή αυτό το θέμα μου έφερε στο μυαλό την εξής ερώτηση Σ-Λ επίσης: Αν Α,Β είναι πίνακες νχν τότε ισχύει ΑΒ=ΒΑ. Τι απαντούμε?

Ίσως αυτό που τελικά θα έλυνε το γόρδιο δεσμό και θα μας έκανε όλους χαρούμενους να είναι η μαγική λέξη ‘’ΠΑΝΤΑ’’ μετά το ισχύει ,η οποία για όλους μας υπάρχει, αλλά μερικοί την θωρούμε αυτονόητη και μερικοί όχι!!!

Αυτά και διατηρώντας στο ακέραιο το δικαίωμα στο λάθος όπως, ευφυώς και δικαίως, αναφέρουν μερικοί εξαίρετοι και (για τούτο)σεμνοί φίλοι, χαιρετώ με αγάπη.
ΓΙΑΝΝΗΣ Δ ΓΕΩΡΓΑΣ

[chris_gatos]

Kαλησπέρα σας.
Διαβάζοντας όλα αυτά τα ενδιαφέροντα , όσον αφορά την αυστηρότητα και τη μη αυστηρότητα στη διδασκαλία των μαθηματικών ή στη θεματοδότηση διαγωνισμάτων που αξιολογούν συγκεκριμένους διδακτικούς στόχους δεν έχω παρα να συμφωνήσω με όλους τους αγαπητούς και καθ'όλα εμπειρότερους και αξιολογότερους συναδέλφους.

Θέλω όμως να θέσω το εξής ερώτημα, κι αν θέλει κάποιος μου απαντάει. Αν πχ στο φετινό ερώτημα θεωρίας στα
μαθηματικά γενικής κάποιος μαθητής σκεπτόμενος f(x)=c και g(x)=e^x απαντούσε '' Σ '' , γιατί ΕΙΝΑΙ σωστό,για ποιό λόγο θα έπρεπε να του αφαιρεθούν οι αντίστοιχες μονάδες ; Δε θα ήταν άδικο για τη φαντασία και μόνο του εν'λόγω μαθητή;
Θα έλεγα πως με τον τρόπο που είναι διατυπωμένη η εν'λόγω ερώτηση αδικείται απο την παρουσία της σε αυτές τις ''Σωστού-Λάθους '' και θα έπρεπε κανονικά να είναι στη θέση των ερωτήσεων κρίσεως.
Καταλήγοντας , χωρίς να μακρυγορήσω, μήπως θα ήταν ευχής έργο να είμαστε αυστηροί και τυπικοί εκεί που πρέπει;
Πόσο δύσκολο είναι όμως αυτό, αφού ανα πάσα στιγμή κινδυνεύουμε κι εμείς οι περισσότερο μυημένοι στα μαθηματικα ( σχήμα λόγου )
να ολισθήσουμε, γιατί πολύ απλά είμαστε ανθρώπινα όντα;
Και πόσο καλό θα έκανε να ζητάμε συγνώμη γι'αυτά τα ολισθήματα μας; Δεν είναι όλα αυτονόητα στη ζωή ιδιαίτερα όταν πρόκειται για νέα παιδιά και μαθητές.
Ζω και αναπνέω για τη στιγμή που οι άνθρωποι θα αναλαμβάνουν τις ευθύνες τους. Ειδικότερα οι επιστήμονες.
Καλό σας απόγευμα !

[nsmavrogiannis]

Kαλημέρα και καλή εβδομάδα
Δεν έχω να προσθέσω κάτι (εξ΄ άλλου όπως 'εχω ξαναγράψει η επανάληψη ενός επιχειρήματος δεν αυξάνει την αξία του). Θεωρώ ότι περιέγραψα δύο άκρα. Μπορούμε να τοποθετήσουμε εαυτούς όπου νομίζουμε ότι είναι καλλίτερα.
Ξέχασα να δώσω μία ακριβή παραπομπή στο βιβλίο του Cajori. Είναι στην σελίδα 233. Οι ιστορίες του Smith και του Cajori υπάρχουν δωρεάν στο διαδίκτυο.
Τέλος χρήσιμο στην κουβέντα είναι και το άρθρο του μεγάλου δασκάλου Morris Kline (γνωστού, μεταξύ άλλων από Τα Μαθηματικά στο Δυτικό Πολιτισμό, Γιατί ο Γιαννάκης δεν ξέρει πρόσθεση που έχουν μεταφραστει στα Ελληνικά):
Λογική εναντίον Παιδαγωγικής
που είχε δημοσιευθεί στη Μαθηματική Επιθεώρηση σε μετάφραση του Δ. Χασάπη. Θα το βρείτε στην ιστοσελίδα της Μαθηματικής Εταιρείας ή αν θέλετε(είναι μεγάλο για να το ανεβάσω στο mathrmatica) εδώ:
http://ifile.it/zyi9g37/kline.pdf

κανονίστε συνάντηση

και ενοείται ότι στις συναντήσεις μας είναι ευπρόσδεκτα και όσα μέλη του mathematica μπορούν.

Μαυρογιάννης

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλημέρα και καλή εβδομάδα !
Έπεσε πολύ δουλειά, μια και ετοιμάζουμε την μαθηματική κατασκήνωση στην Εύβοια για παιδιά ΣΤ Δημοτικού και Α΄Γυμνασίου. Θα γράψω σε άλλο μήνυμα για αυτό το θέμα. Τώρα, για το θέμα που άνοιξε ο Νίκος , δεν έχω να προσθέσω κάτι αξιόλογο. Αντιλαμβάνομαι όπως και ο καθένας την αξία του ζητήματος αυτού.Τα μαθηματικά στο σχολείο είναι τέχνη, είναι γνώση, είναι επιστήμη, είναι ιστορία , είναι πολιτισμός. Είναι τόσα πράγματα μαζί ! Καμιά σκληρή αυστηρότητα δεν έχει αξία , αν δεν αποσκοπεί στην επίτευξη των σκοπών και των στόχων που θέτουμε ως κοινωνία διδάσκοντας μαθηματικά. Οι άνθρωποι κάνουν μαθηματικά με επιτυχία χιλιάδες χρόνια τώρα. Στις εποχές που δεν γνώριζαν ακόμα τις διαφορικές εξισώσεις , τη μαθηματική λογική και τη θεωρία συνόλων(στη μορφή τη σημερινή) , οι άνθρωποι, αυτοί οι λίγοι, έκαναν θαυμάσια μαθηματικά , ανακάλυψαν τους πλανήτες, την αστρονομία, την τριγωνομετρία, τη γεωμετρία και τόσα άλλα !Το ίδιο κάνουν και σήμερα πολλοί άνθρωποι: χωρίς να είναι επαγγελματίες μαθηματικοί, ανακαλύπτουν εξαιρετικά συμπεράσματα και δίνουν ώθηση στη μαθηματική επιστήμη.
Αυστηρότητα λοιπόν θα σήμαινε πάνω από όλα '' ορθότητα '' και '' πληρότητα''. Δεν βρίσκω εύκολα, είναι και πρωϊ, τι άλλο περιέχει ο όρος ''αυστηρότητα ''. Σίγουρα, με τον όρο αυστηρότητα , δεν εννούμε χρήση πολλών συμβόλων .Το να χρησιμοποιούμε σωστά κάποια μαθηματικά σύμβολα δεν είναι αυστηρότητα αλλά κοινή απαίτηση !Το να διατυπώνουμε σωστά τις προτάσεις μας μαθηματικές ή μη , δεν είναι θέμα αυστηρότητας , αλλά εφαρμογή της βασικής παιδείας και γλωσσικού αλφαβητισμού.
Η εφαρμογή ορισμένων αποδεικτικών κανόνων δεν είναι θέμα αυστηρότητας, αλλά μέρος και ουσία συγχρόνως των μαθηματικών και της διδασκαλίας τους.Χωρίς αυτούς τους κανόνες αίρεται ή ακυρώνεται ή ίδια η φύση των μαθηματικών. Μαθηματικά γίνονται μόνο με τη λογική και όχι με την ...παρα-λογική
Προκύπτει λοιπόν από όλα αυτά ότι ο ρόλος μας ως δασκάλου του μαθήματος των μαθηματικών στα σχολεία είναι απλός, συγκεκριμένος και προσδιορισμένος. Ναι στη σαφήνεια, όχι στη στείρα συμβολική γραφή. Ναι στη φυσική γλώσσα, όχι στη μετατροπή των μαθηματικών σε ..ιερογλυφικά(τύπου Tarski).Ναι στην κατανοητή και ωραία διδασκαλία , όχι στις ακατάληπτες εκφράσεις, τις περιττές ή εξαντλητικές διερευνήσεις και τη ...γριφολογία !Συμφωνώ λοιπόν στην ουσία με το Νίκο και τον συγχαίρω που αφιέρωσε τόσο χρόνο για να μοιραστεί μαζί μας τις τόσο γόνιμες σκέψεις του.
Νομίζω ότι όλοι στο μυαλό μας έχουμε την ίδια άποψη για τα μαθηματικά, ακόμα και αν την εκφράζουμε με τόσους διαφορετικούς τρόπους ! Και η άποψη αυτή είναι :

Πρέπει να είμαστε καλοί μαθηματικοί αλλά πιο πολύ καλοί δάσκαλοι !!!
Μπάμπης