Αντιπαραδείγματα

[biomass]

Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια πρόταση δεν ισχύει και βρίσκουμε με παρατήρηση ένα αντιπαράδειγμα. Είναι το αντιπαράδειγμα επαρκής τρόπος ώστε να πειστεί ο άλλος ότι η πρόταση δεν ίσχυει;( Είναι αφού δεν ισχύει για κάθε , για παράδειγμα) Όμως δεν αποτελείται από μια αλληλουχία βημάτων που να οδηγεί σε ένα λογικό συμπέρασμα(έτσι νομίζω δηλαδή).

Τι πιστεύετε ;;

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Είναι το αντιπαράδειγμα επαρκής τρόπος ώστε να πειστεί ο άλλος ότι η πρόταση δεν ίσχυει;( Είναι αφού δεν ισχύει για κάθε , για παράδειγμα)

Είναι και παραείναι. Δουλειά μας είναι να το ξεδιαλύνουμε με τους μαθητές, κάτι το οποίο δεν είναι εύκολο, αλλά σίγουρα αναγκαίο.

Όμως δεν αποτελείται από μια αλληλουχία βημάτων που να οδηγεί σε ένα λογικό συμπέρασμα(έτσι νομίζω δηλαδή).

Τι πιστεύετε ;;

Η επιλογή του αντιπαραδείγματος δεν γίνεται με απλή παρατήρηση. Κρύβει βήματα και σκέψεις (απλές ή πιο σύνθετες) στα οποία θα πρέπει να μυήσουμε τους μαθητές μας, κάτι το οποίο δεν είναι εύκολο!!!

[biomass]

Είναι το αντιπαράδειγμα επαρκής τρόπος ώστε να πειστεί ο άλλος ότι η πρόταση δεν ίσχυει;( Είναι αφού δεν ισχύει για κάθε , για παράδειγμα)

Είναι και παραείναι. Δουλειά μας είναι να το ξεδιαλύνουμε με τους μαθητές, κάτι το οποίο δεν είναι εύκολο, αλλά σίγουρα αναγκαίο.

Όμως δεν αποτελείται από μια αλληλουχία βημάτων που να οδηγεί σε ένα λογικό συμπέρασμα(έτσι νομίζω δηλαδή).

Τι πιστεύετε ;;

Η επιλογή του αντιπαραδείγματος δεν γίνεται με απλή παρατήρηση. Κρύβει βήματα και σκέψεις (απλές ή πιο σύνθετες) στα οποία θα πρέπει να μυήσουμε τους μαθητές μας, κάτι το οποίο δεν είναι εύκολο!!!

Σας ευχαριστώ για την απάντηση σας!!
Υπάρχει κάτι στην βιβλιογραφία σχετικό να δω ?

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Έχουμε κάνει μαζί με τον Χρήστο τον Κυριαζή μια εργασία για το συνέδριο των πειραματικών που ακυρώθηκε πάνω στα αντιπαραδείγματα, οπότε παραθέτω τη βιβλιογραφία που χρησιμοποιήσαμε. Δυστυχώς δεν μπορώ να δημοσιεύσω την εργασία μας, διότι θα τη στείλουμε σε άλλο συνέδριο.

[1] Gagné R. M., The conditions of learning and theory of instruction (4th ed.), New York, NY: Holt, Rinehart & Winston, 1985.
[2] Φλουρής Γεώργιος, Η αρχιτεκτονική της διδασκαλίας και η διαδικασία της μάθησης, Εκδόσεις Γρηγόρης, 1992.
[3] Giannakoulias E., Mastorides E., Potari D., Zachariades T., Studying teachers’ mathematical argumentation in the context of refuting students’ invalid claims, Journal of Mathematical Behavior 29, 2010.
[4] Προκόπης Μαρκόπουλος, Η μέθοδος με το αντιπαράδειγμα, Ευκλείδης Γ΄, τεύχος 3, εκδόσεις Ε.Μ.Ε Μάρτιος 1984.
[5] Leinhardt G., Zaslavsky O., Stein M. K., Functions, graphs, and graphing: Tasks, learning, and teaching, Review of Educational Research, 60, 1990.
[6] Potari D., Zachariades T., Zaslavsky O. Mathematics teachers’ reasoning for refuting students’ invalid claims, The Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education Lyon, France, 2009.
[7] Bills L., Dreyfus T., Mason J., Tsamir P., Watson A., Zaslavsky O. (2006). Exemplification in mathematics education. In J. Novotna, H. Moraova, M. Kratka & N. Stehlikova (Eds.), Proceedings of the 30th PME International Conference (vol. 1, pp. 126–154). Czech Republic: PME, 2006.
[8] Rowland T., Thwaites A., Huckstep P. Novices’ choice of examples in the teaching of elementary mathematics. In A. Rogerson (Ed.), Proceedings of the International Conference on the Decidable and the Undecidable in Mathematics Education (pp. 242-245). Brno, Czech Republic, 2003.
[9] Zaslavsky O., What knowledge is involved in choosing and generating useful instructional examples? Paper submitted to WG2of the Symposium for celebration of centennial of ICMI, Rome, March 2008.
[10] Potari, D., Zachariades, T., & Zaslavsky, O. Mathematics teachers’ reasoning for refuting students’ invalid claims. The Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education Lyon, France, 2009.
[11] Giannakoulias, E., Mastorides, E., Potari, D., & Zachariades, T., Studying teachers’ mathematical argumentation in the context of refuting students’ invalid claims. Journal of Mathematical Behavior 29, 160–168, 2010.
[12] Ανδρέας Πούλος, Εικασίες και αντιπαραδείγματα. Εκδόσεις Μαυρίδη, 2009.

[biomass]

Σας ευχαριστώ παρα πολύ κύριε Πρωτοπαππά!!
Αποτελεί πολύ ενδιαφέρον θέμα.

[biomass]

Ιδιαίτερα οταν στο Λύκειο δεν αναφέρονται οι αποδεικτικες διαδικασίες και μέθοδοι

[exdx]

Δες και αυτό για αρχή

[biomass]

Δες και αυτό για αρχή

Πάρα πολύ ωραίο κ.Καλαθάκη !!!

[Σίλης]

Όταν λέμε αντιπαράδειγμα, εννοούμε ένα γαλατικό χωριό. Θα σου πεί ο Καίσαρας: «όλη η Γαλατία είναι υπο ρωμαϊκή κατοχή»· και θα του τρίψουμε εμείς στη μούρη: «όχι! για παράδειγμα, νά, το χωριό του Αστερίξ δέν τελεί υπο ρωμαϊκή κατοχή, άρα δέν ισχύει αυτό που λές».

Πιό σοβαρά: η εύρεση αντιπαραδείγματος είναι η ευθεία μέθοδος να διαψεύδουμε ισχυρισμούς του τύπου «αληθεύει οτι κάθε ικανοποιεί την ιδιότητα » (αυτούς τους λέμε και «καθολικούς»), που μπορούμε πιό ξερά να το γράψουμε

.

Εμείς θέλουμε να τον διαψεύσουμε τον , θέλουμε άρα να δείξουμε οτι «δέν αληθεύει οτι κάθε ικανοποιεί την ιδιότητα », στο πιό ξερό:

.

Αυτή η φόρμουλα, απο βασική λογική, γράφεται ισοδύναμα

,

παναπεί, «υπάρχει που δέν ικανοποιεί την ιδιότητα ». Ε αυτό το είναι ακριβώς αυτό που λέμε «αντιπαράδειγμα στον ισχυρισμό ».

Θέλω να πώ, το επιχείρημα απο καθαρά λογική σκοπιά δέν θά 'πρεπε νομίζω να μπερδεύει, δέν είναι τίποτα το βαθύ. Ανεξάρτητα απ' το πόσα μαθηματικά πρέπει να κάνουμε προκειμένου να βρούμε ένα τέτοιο αντιπαράδειγμα (με άλλα λόγια, ανεξάρτητα απ' το πόσο πολύπλοκη είναι αυτή η ιδιότητα και πόσο πολύπλοκος ο χώρος στον οποίο ψάχνουμε γι' αυτό το ), άμα καταφέρουμε να το βρούμε, προκύπτει η άρνηση του απ' τ' αποδυτήρια (δηλαδή, απ' την τζενέρικ λογική).

Με άλλα λόγια (άν και ήδη το κούρασα ίσως), δέν χρειάζεται πολύς κόπος απο λογική άποψη για να διαψεύσεις έναν καθολικό ισχυρισμό· θέλει αντίθετα πολλή πεποίθηση να την δείς Καίσαρας και να διατυπώσεις έναν καθολικό ισχυρισμό! (Εδώ θυμήσου και το γνωστό που φέρεται να είπε ο Αϊνστάιν για τη Σχετικότητά του: «όσα πειράματα και να επαληθεύσουν τη θεωρία μου, αρκεί ένα για να την καταρρίψει».)

Έντιτ: Χμ, μόλις είδα οτι ο exdx στέλνει ήδη σ' ένα κείμενο που τα λέει όλ' αυτά (δές σελίδα 13 του πιντιέφ). Σόρι για το θόρυβο.

[biomass]

Όταν λέμε αντιπαράδειγμα, εννοούμε ένα γαλατικό χωριό. Θα σου πεί ο Καίσαρας: «όλη η Γαλατία είναι υπο ρωμαϊκή κατοχή»· και θα του τρίψουμε εμείς στη μούρη: «όχι! για παράδειγμα, νά, το χωριό του Αστερίξ δέν τελεί υπο ρωμαϊκή κατοχή, άρα δέν ισχύει αυτό που λές».

Πιό σοβαρά: η εύρεση αντιπαραδείγματος είναι η ευθεία μέθοδος να διαψεύδουμε ισχυρισμούς του τύπου «αληθεύει οτι κάθε ικανοποιεί την ιδιότητα » (αυτούς τους λέμε και «καθολικούς»), που μπορούμε πιό ξερά να το γράψουμε

.

Εμείς θέλουμε να τον διαψεύσουμε τον , θέλουμε άρα να δείξουμε οτι «δέν αληθεύει οτι κάθε ικανοποιεί την ιδιότητα », στο πιό ξερό:

.

Αυτή η φόρμουλα, απο βασική λογική, γράφεται ισοδύναμα

,

παναπεί, «υπάρχει που δέν ικανοποιεί την ιδιότητα ». Ε αυτό το είναι ακριβώς αυτό που λέμε «αντιπαράδειγμα στον ισχυρισμό ».

Θέλω να πώ, το επιχείρημα απο καθαρά λογική σκοπιά δέν θά 'πρεπε νομίζω να μπερδεύει, δέν είναι τίποτα το βαθύ. Ανεξάρτητα απ' το πόσα μαθηματικά πρέπει να κάνουμε προκειμένου να βρούμε ένα τέτοιο αντιπαράδειγμα (με άλλα λόγια, ανεξάρτητα απ' το πόσο πολύπλοκη είναι αυτή η ιδιότητα και πόσο πολύπλοκος ο χώρος στον οποίο ψάχνουμε γι' αυτό το ), άμα καταφέρουμε να το βρούμε, προκύπτει η άρνηση του απ' τ' αποδυτήρια (δηλαδή, απ' την τζενέρικ λογική).

Με άλλα λόγια (άν και ήδη το κούρασα ίσως), δέν χρειάζεται πολύς κόπος απο λογική άποψη για να διαψεύσεις έναν καθολικό ισχυρισμό· θέλει αντίθετα πολλή πεποίθηση να την δείς Καίσαρας και να διατυπώσεις έναν καθολικό ισχυρισμό! (Εδώ θυμήσου και το γνωστό που φέρεται να είπε ο Αϊνστάιν για τη Σχετικότητά του: «όσα πειράματα και να επαληθεύσουν τη θεωρία μου, αρκεί ένα για να την καταρρίψει».)

Έντιτ: Χμ, μόλις είδα οτι ο exdx στέλνει ήδη σ' ένα κείμενο που τα λέει όλ' αυτά (δές σελίδα 13 του πιντιέφ). Σόρι για το θόρυβο.

Πολύ ενδιαφέροντα αυτά που αναφέρετε!!
Από πλευράς λογικής το αντιπαράδειγμα φαίνεται πολύ ''φυσιολιγικό'', θέλει να διαψεύσει κάποιος μια πρόταση που ισχύει για κάθε με μια συγκεκριμένη ιδιότητα, και βρίσκει ένα παράδειγμα για το οποίο δεν ισχύει.

Από ότι είδα στην εργασία στο αρχείο pdf του κ. Πλαταρού, γίνεται λόγος για πολλές περιπτώσεις, που χρειάζεται πολλή εμπειρία για να τις δει κανείς και να πει '' να ένα αντιπαράδειγμα''.

Όμως, σε κάποια παραδείγματα είναι πάρα πολύ δύσκολο να δει κάποιος το αντιπαράδειγμα.

Θα παραθέσω ίσως αύριο κάποια περίπτωση, για να γίνω πιο συγκεκριμένος.

[Σίλης]

Άρα να το ξανατονίσω: αυτά που λέω επάνω τα γράφω απ' τη σκοπιά της λογικής, οπου η λειτουργία του αντιπαραδείγματος είναι απλή -πιστεύω. Αλλα φυσικά, όταν μιλάμε για χειροπιαστούς χώρους όπως οι πραγματικοί αριθμοί, και για χειροπιαστές ιδιότητες των στοιχείων τους, τότε το να βρείς το αντιπαράδειγμα θέλει εμπειρία, υπομονή, φαντασία, κέφι και ενδεχομένως πολλή δουλειά. Αυτά που λέει επάνω ο Πρωτοπαπάς ή το κείμενο στο οποίο στέλνει ο exdx, αυτά ειναι το ζουμί του πράγματος. Η λογική είναι απλά τα σκαριά του.

Τα έγραψα όμως αυτά επάνω επειδή βρισκόμαστε στην αντίστοιχη κατηγορία. Ας πούμε, κάθε συγκεκριμένο παράδειγμα θα ανήκε δικαιωματικά σε άλλο «φάκελο» του φόρουμ.

[polysot]

Δες και εδώ, τα σχετικά με την απόδειξη.