Ο λόγος φέρνει λόγο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας . Με τη βοήθεια του σχήματος

: 18-3-17 O λόγος φέρνει λόγο.PNG (8.57 KiB) Προβλήθηκε 809 φορές

Η

είναι διάμετρος του ημικυκλίου ,

το κέντρο του και

το μέσον του .

Έστω

σημείο του τόξου

και

η τομή των AN,OM

.

Η

είναι διχοτόμος της $B\widehat{K}N$ και η $NE\perp KZ$ τέμνει την

στο

.

Αν δοθεί $\dfrac{AE}{EB}=\lambda$ τότε Να υπολογιστεί ,ως συνάρτηση του $\lambda$ , ο λόγος $\dfrac{\left ( BAK \right )}{\left ( NIK \right )}$ .

Εφαρμογή : Αν $\dfrac{AE}{EB}=\Phi$ (ο λόγος της χρυσής τομής ) , να εξεταστεί αν είναι $\left ( BAK \right )=\Phi ^{6}\cdot \left ( NIK \right )$ .

ώρες για τους μαθητές .. Γεωμετρία Β' Λυκείου

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ορέστης Λιγνός · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας . Με τη βοήθεια του σχήματος
18-3-17 O λόγος φέρνει λόγο.PNG
Η είναι διάμετρος του ημικυκλίου , το κέντρο του και το μέσον του .

Έστω σημείο του τόξου και η τομή των .

Η είναι διχοτόμος της $B\widehat{K}N$ και η $NE\perp KZ$ τέμνει την στο .

Αν δοθεί $\dfrac{AE}{EB}=\lambda$ τότε Να υπολογιστεί ,ως συνάρτηση του $\lambda$ , ο λόγος $\dfrac{\left ( BAK \right )}{\left ( NIK \right )}$ .

Εφαρμογή : Αν $\dfrac{AE}{EB}=\Phi$ (ο λόγος της χρυσής τομής ) , να εξεταστεί αν είναι $\left ( BAK \right )=\Phi ^{6}\cdot \left ( NIK \right )$ .

ώρες για τους μαθητές .. Γεωμετρία Β' Λυκείου

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα κύριε Γιώργο!

Έστω AK=x, NK=y

.

Η

είναι μεσοκάθετη του

, άρα

.

Επίσης, στο τρίγωνο NKI

, η

είναι διχοτόμος και ύψος, άρα NK=NI=y

.

Το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο KAB

με διατέμνουσα $\overline{EIN}$ δίνει :

$\dfrac{NA}{IB}=\lambda \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{x-y}=\lambda \,\, (1)$

(χρησιμοποιήθηκε ότι NK=NI

και ότι $\dfrac{AE}{EB}=\lambda$ ).

Από την (1)

παίρνουμε $\dfrac{x}{y}=\dfrac{\lambda+1}{\lambda-1}$ .

Όμως, $\displaystyle \dfrac{(BAK)}{(NKI)}=\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{\lambda+1}{\lambda-1}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{(BAK)}{(NKI)}=(\dfrac{\lambda+1}{\lambda-1})^2}$ .

Εφαρμογή: Θα αποδείξουμε ότι $\lambda^3=\dfrac{\lambda+1}{\lambda-1}$ , με $\lambda=\phi$ .

Είναι προφανώς $\lambda^2=\lambda+1$ .

Άρα, $\displaystyle \dfrac{\lambda+1}{\lambda-1}=\dfrac{(\lambda+1)^2}{\lambda^2-1}=\dfrac{\lambda^2+2\lambda+1}{\lambda}=\dfrac{3\lambda+2}{\lambda}$ .

Αρκεί λοιπόν $\displaystyle \lambda^3=\dfrac{3\lambda+2}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda^4=3\lambda+2 \Leftrightarrow (\lambda+1)^2=3\lambda+2 \Leftrightarrow 3\lambda+2=3\lambda+2$ ο.ε.δ.

Άρα, $\displaystyle \lambda^3=\dfrac{\lambda+1}{\lambda-1} \Leftrightarrow \lambda^6=(\dfrac{\lambda+1}{\lambda-1})^2 \Leftrightarrow \dfrac{(BAK)}{(NIK)}=\lambda^6 \Leftrightarrow \boxed{(BAK)=\phi^6 \cdot (NIK)}$ .

#3

Ορέστη η άσκηση δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη αλλά την έλυσες πολύ "επαγγελματικά" !

Γιώργος Μήτσιος · #4

Ορέστη και Νίκο χαιρετώ !

Ένα ,ακόμη

στον μοναδικό Ορέστη για την υπέροχη λύση του !

Η άσκηση τέθηκε εδώ με την προσδοκία του κατασκευαστή να λυθεί και για επιπλέον σκοπό :
ενδεχομένως να φανεί χρήσιμη ..και αλλού ..

Φιλικά , Γιώργος .

#5

Η λύση μου όπως την είχα γράψει πριν αναρτήσει ο Ορέστης τη δική του.

Επειδή το τρίγωνο BAK

είναι ισοσκελές, η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας της κορυφής

είναι παράλληλη στη βάση . Εδώ λοιπόν KZ//AB

.

$\dfrac{{(BAK)}}{{(NIK)}} = \dfrac{{2(OAK)}}{{2(NKZ)}} = {(\dfrac{{OA}}{{KZ}})^2} = {(\dfrac{{OA}}{{OE}})^2}\,\,\,(1)$ αφού προφανώς $\vartriangle OAK \approx \vartriangle ZKN$ .

Έστω $\dfrac{{OA}}{{OE}} = \dfrac{k}{1} \Leftrightarrow \dfrac{{OA + OE}}{{OA - OE}} = \dfrac{{k + 1}}{{k - 1}} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{k + 1}}{{k - 1}}$ και άρα $\dfrac{{k + 1}}{{k - 1}} = \lambda \Leftrightarrow \boxed{k = \dfrac{{\lambda + 1}}{{\lambda - 1}}}$

και ή (1)

δίδει $\boxed{\dfrac{{(BAK)}}{{(NIK)}} = {{(\dfrac{{\lambda + 1}}{{\lambda - 1}})}^2}}$ .

: Ο λόγος φέρνει λόγο.png (23.4 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Επειδή $\varphi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{\varphi + 1}}{{\varphi - 1}} = 2 + \sqrt 5 \hfill \\ {\varphi ^3} = 2 + \sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ άρα

$\dfrac{{(BAK)}}{{(NIK)}} = {(\dfrac{{\varphi + 1}}{{\varphi - 1}})^2} = {\varphi ^6} \Rightarrow \boxed{(BAK) = {\varphi ^6}(NIK)}$

Ο λόγος φέρνει λόγο

Ο λόγος φέρνει λόγο

Re: Ο λόγος φέρνει λόγο

Re: Ο λόγος φέρνει λόγο

Re: Ο λόγος φέρνει λόγο

Re: Ο λόγος φέρνει λόγο

Μέλη σε σύνδεση