Πλευρές τριγώνου

#1

Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνονται παρακάτω:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} AB = 3\sqrt 3 \cdot 2^{\nu - 1} \\ B\Gamma = 2^{\nu + 2} - 2^{\nu + 1} +2^{\nu} \\ A\Gamma = 2^{\nu + 1} - 2^\nu + 2^{\nu - 1} \\ \end{array} }$

με ν θετικό ακέραιο αριθμό.

1)Να προσδιορίσετε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του

2)Να βρείτε το ν αν η περίμετρος του τριγώνου είναι $\displaystyle{ 3(3 + \sqrt 3 ) }$

Μέχρι 31/01/2011

chris · #2

Γειά σου Χρήστο!!

Για τις δοθείσες πλευρές διαδοχικά έχουμε:
$\displaystyle AB=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2^{\nu}\;,\;BC=4\cdot 2^{\nu}-2\cdot 2^{\nu}+2^{\nu}=3\cdot 2^{\nu}\;,\;AC=\frac{3}{2}\cdot 2^{\nu}$

A)
Επομένως είναι:
$\displaystyle AB^2=\frac{27}{4}\cdot 2^{2\nu}\;,\;BC^2=9\cdot 2^{2\nu}\;,\;AC^2=\frac{9}{4}\cdot 2^{2\nu}$

και
$\displaystyle AB^2+AC^2=\frac{27}{4}\cdot 2^{2\nu}+\frac{9}{4}\cdot 2^{2\nu}=9\cdot 2^{2\nu}=BC^2$
δηλαδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με $\angle{A}=90^{o}$

Επίσης BC=2AC

και άρα $\angle{B}=30^{o},\angle{C}=60^{o}$

B)
$\displaystyle 3\left(3+\sqrt{3} \right)=AB+AC+BC=2^{\nu}\cdot \left(\frac{3\sqrt{3}+9}{2} \right)=3\cdot 2^{\nu-1}\left(3+\sqrt{3} \right)\Rightarrow 2^{\nu-1}=2^0\Rightarrow \nu=1$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Ευχαριστώ για τη λύση Χρήστο!

Όχι, είμαι ''large'' τύπος έτσι κι αλλιώς.

Είμαι της άποψης ''με το πάσο σας!'', όσον αφορά τα παιδιά...

stavros11 · #4

Την είχα προσπαθήσει το πρωί με νόμο των συνημιτόνων και μου είχε βγει για την A $\cos{A}=0$ , αλλά είχα ξεχάσει ότι $\cos{\frac{\pi}{2}}=0$ και έψαχνα να βρω το λάθος...

Έστω:
$\displaystyle{a=B\Gamma =2^n(4-2+1)=3\cdot 2^n}$
$\displaystyle{b=A\Gamma =2^{n-1}(4-2+1)=3\cdot 2^{n-1}}$
$\displaystyle{c=AB=3\sqrt{3}\cdot 2^{n-1}}$

Από το νόμο των συνημιτόνων ισχύει:
$\displaystyle{a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\Rightarrow \cos{A}=-\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc}\Rightarrow \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$

Άρα
$\displaystyle{\cos{A}=\frac{9\cdot4^{n-1}+27\cdot4^{n-1}-9\cdot4^n}{2\cdot9\sqrt{3}\cdot4^{n-1}}=\frac{4^{n-1}+3\cdot4^{n-1}-4^n}{2\sqrt{3}\cdot4^{n-1}}}$

Όμως
$\displaystyle{4^{n-1}+3\cdot4^{n-1}-4^n=4\cdot4^{n-1}-4^n=4^n-4^n=0}$ , άρα $\cos{A}=0$ και αφού $A\in (0,\pi)$ , $\wedge{A}=90^{\circ}$ , άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Stavroulitsa · #5

Καλησπέρα! Κύριε Χρήστο Χρόνια Πολλά για τη γιορτή σας! δεν είχα ιντερνετ αυτες τις μέρες και είδατε τι καλούς φίλους που έχω;

"τα πάντα καθαρίζουν", όπως λέει και η κυρία Φωτεινή... (Κυρια Φωτεινή

γεια σας και Χρόνια Πολλά!!! σας πεθύμησα!!! )
εγώ λοιπόν θα πάω ανάποδα την άσκηση

2.
$AB+B\Gamma +\Gamma A=3(3+\sqrt{3})\Leftrightarrow 3\sqrt{3}\cdot 2^{n-1}+2^{n+2}-2^{n+1}+2^n+2^{n+1}-2^n+2^{n-1}=3(3+\sqrt{3})\Leftrightarrow 2^{n-1}\cdot 3\sqrt{3}+8\cdot 2^{n-1}+2^{n-1}=3(3+\sqrt{3})\Leftrightarrow 2^{n-1}\cdot 3(3+\sqrt{3})= 3(3+\sqrt{3})\Leftrightarrow 2^{n-1}=2^{0}\Leftrightarrow n=1$

1. άρα πάμε στις πλευρές όπου η κάθε πλευρά ισούται με
$AB=2^{n-1}\cdot 3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
$B\Gamma =2^{n+2}-2^{n+1}+2^n=6$
$\Gamma A=2^{n+1}-2^n+2^{n-1}=3$
άρα από το Πυθαγόριο Θεώρημα ή με το νόμο των συνημιτόνων βγαίνει πως είναι ορθογώνιο...
πχ.
$A\Gamma ^2+AB^2=3^2+\left(3\sqrt{3} \right)^2=36=B\Gamma ^2$
αν και βέβαια το παραπάνω ισχύει για n=1, για οποιαδηποτε τιμή του ν με προλαβαν οι καλοί οι φίλοι...

Πλευρές τριγώνου

Πλευρές τριγώνου

Re: Πλευρές τριγώνου

Re: Πλευρές τριγώνου

Re: Πλευρές τριγώνου

Re: Πλευρές τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση