Ευθεία και κύκλος

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση (C): x^2+y^2+kx+y-1=0

και η ευθεία με εξίσωση $(\epsilon): y=kx,$ με $k\in\mathbb{R}.$
Να δείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος τέμνονται σε δύο σημεία A , B

και να βρείτε τον

αν $(AB)=\sqrt{6}.$

Μέχρι 5 Φεβρουαρίου 2011 - Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

gtk1994 · #2

Λύνοντας το σύστημα:

${\left.\begin{matrix} x^2+y^2+kx+y-1=0& \\ y=kx& \end{matrix}\right\}$
(αντικαθιστώντας στην πρώτη, όπου y=kx βρίσκουμε διακρίνουσα ως προς x μεγαλύτερη του μηδενός, αρά έχουμε 2 πραγματικές ρίζες, άρα και δύο σημεία τομής)

βρίσκουμε ότι τα 2 σημεία τομής Α και Β είναι

$A=(\frac{-k+\sqrt{2k^{2}+1}}{k^2+1},\frac{-k^2+k\sqrt{2k^2+1}}{k^2+1})$

$B=(\frac{-k-\sqrt{2k^{2}+1}}{k^2+1},\frac{-k^2-k\sqrt{2k^2+1}}{k^2+1})$
και

$\vec{AB}=(\frac{2\sqrt{2k^2+1}}{k^2+1},\frac{2k\sqrt{2k^2+1}}{k^2+1})$
Άρα, από την εξίσωση
$\left|\vec{AB} \right|=\sqrt{6}$
βρίσκουμε ότι k=1

ή

Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς

Γιώργος

Ιστοσελίδα · #3

Πολύ σωστά. (Μια αλλαγή στις συντεταγμένες των σημείων A , B

για να είναι σωστές οι συντεταγμένες του $\overrightarrow{AB}$ )

Εναλλακτικά, αν $K(-\frac{k}{2},-\frac{1}{2})$ το κέντρο του κύκλου και η ακτίνα του $r=\dfrac{\sqrt{k^2+5}}{2},$ μπορούμε να βρούμε το απόστημα της χορδής AB,

το $KM=\dfrac{|1-k^2|}{2\sqrt{k^2+1}}$
Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο KMA

και βρίσκουμε το

Ευθεία και κύκλος

Ευθεία και κύκλος

Re: Ευθεία και κύκλος

Re: Ευθεία και κύκλος

Μέλη σε σύνδεση