Α ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Αν a,b,c διάφοροι μεταξύ τους αριθμοί και $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$

να αποδείξετε ότι: $\frac{a}{\left(b-c \right)^{2}}+\frac{b}{\left(c-a \right)^{2}}+\frac{c}{\left(a-b \right)^{2}}=0$

Μέχρι 10-2-11

Ιωάννου Δημήτρης

ΚωσταςΚ · #2

μήπως δίνεται και κάποια ακόμη σχέση?

#3

ΚωσταςΚ έγραψε:μήπως δίνεται και κάποια ακόμη σχέση?

Όχι Κώστα. Δεν χρειάζεται άλλο τίποτα. Είναι λίγο δυσκολούτσικη βέβαια, αλλά με λίγη προσπάθεια θα την λύσεις.
(Αν όχι, θα δώσω υπόδειξη)

#4

Επειδή μέχρι τώρα δεν έχει δοθεί λύση στο θέμα, δίνω μια μικρή βοήθεια:
Πολλαπλασιάστε τα μέλη της υπόθεσης πρώτα με 1/(b-c) , ύστερα ξανα με........

#5

Δεν δόθηκε λύση και η προθεσμία έχει περάσει. Δίνω λοιπόν την λύση:

$\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\Rightarrow \frac{a}{(b-c)^{2}}=-\frac{b}{(c-a).(b-c)}-\frac{c}{(a-b).(b-c)}$
Όμοια έχουμε:
$\frac{b}{(c-a)^{2}}=-\frac{a}{(b-c).(c-a)}-\frac{c}{(a-b).(c-a)}$

$\frac{c}{(a-b)^{2}}=-\frac{a}{(a-b).(b-c)}-\frac{b}{(a-b).c-a)}$

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

$\frac{a}{(b-c)^{2}}+\frac{b}{(c-a)^{2}}+\frac{c}{(a-b)^{2}}=-\frac{a(a-b)+c(b-c)+b(a-b)+c(c-a)+a(c-a)+b(b-c)}{(a-b).(b-c).(c-a)}=-\frac{(a+b)(a-b)+(b-c)(b+c)+(c-a)(c+a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} =-\frac{a^{2}-b^{2}+b^{2}-c^{2}+c^{2}-a^{2}}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση