5Α-Άλγεβρα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να βρείτε τους αριθμούς $\lambda \in R$ , για τους οποίους η εξίσωση: ${x^2} - 2\lambda x + 4 = 0$ έχει ρίζες πραγματικές και είναι λύσεις της ανίσωσης: ${x^2} - 3x + 2 > 0$ .

Έως 20 Φεβρουαρίου 2011. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου.

Α.Κυριακόπουλος · #2

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να βρείτε τους αριθμούς $\lambda \in R$ , για τους οποίους η εξίσωση: ${x^2} - 2\lambda x + 4 = 0$ έχει ρίζες πραγματικές και είναι λύσεις της ανίσωσης: ${x^2} - 3x + 2 > 0$ .

Έως 20 Φεβρουαρίου 2011. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου.

Η προθεσμία ήταν μέχρι 20/2/2011.
ΛΥΣΗ.Η διακρίνουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι: $\Delta = 4{\lambda ^2} - 16 = 4({\lambda ^2} - 4).$ Ονομάζομε ${x_1}$ και ${x_2}$ τις ρίζες της, οπότε: ${x_1} + {x_2} = 2\lambda$ (1) και ${x_1}{x_2} = 4$ (2). Τα ζητούμενα συμβαίνουν αν, και μόνο αν:
$\left\{ \begin{array}{l} \Delta \ge 0 \\ x_1^2 - 3{x_1} + 2 > 0 \\ x_2^2 - 3{x_2} + 2 > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\lambda ^2} - 4 \ge 0 \\ \left( {x_1^2 - 3{x_1} + 2} \right) + \left( {x_2^2 - 3{x_2} + 2} \right) > 0 \\ \left( {x_1^2 - 3{x_1} + 2} \right)\left( {x_2^2 - 3{x_2} + 2} \right) > 0 \\ \end{array} \right.$ ( πράξεις κτλ.)
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\lambda ^2} \ge 4 \\ {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - 3({x_1} + {x_2}) + 4 > 0 \\ {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) + 5{x_1}{x_2} - 6({x_1} + {x_2}) + 2{({x_1} + {x_2})^2} + 4 > 0 \\ \end{array} \right.$
[λόγω των (1) και (2),πράξεις κτλ.]
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| \lambda \right| \ge 2 \\ 2{\lambda ^2} - 3\lambda - 2 > 0 \\ 2{\lambda ^2} - 9\lambda + 10 > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {\lambda \ge 2{\rm{ }}\dot \eta {\rm{ }}\lambda {\rm{ }} \le - 2} \right) \\ \left( {\lambda < - \frac{1}{2}{\rm{ }}\dot \eta {\rm{ }}\lambda > 2} \right) \\ \left( {\lambda < 2{\rm{ }}\dot \eta {\rm{ }}\lambda > \frac{5}{2}} \right) \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {\lambda \le - 2{\rm{ }}\dot \eta {\rm{ }}\lambda > \frac{5}{2}} \right)}$
Άρα οι ζητούμενες τιμές του λ είναι: $\lambda \le 2$ και $\lambda > \frac{5}{2}$

5Α-Άλγεβρα

5Α-Άλγεβρα

Re: 5Α-Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση