παράγωγοι (συνδυαστική)

erxmer · #1

Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=ln(1+\sqrt{1+x^2}), g(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})}$

1) Nα μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία

2) Να δειχθεί οτι η εξίσωση g(x)=x δεν εχει λύση για χ>0

3) Δείξτε οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=(1-x+x^2)^{2x+1}+(1+x+x^2)^{2x+1}}$ έχει παράγοντα το πολυώνυμο
$\displaystyle{(e^{f(x)}-1)^2}$

4) Nα βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(tana)=g(tana)-2ln3, x\in (0, \pi)$

εως 31/3

Stavroulitsa · #2

erxmer έγραψε:Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=ln(1+\sqrt{1+x^2}), g(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})}$

1) Nα μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία

2) Να δειχθεί οτι η εξίσωση g(x)=x δεν εχει λύση για χ>0

3) Δείξτε οτι το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)=(1-x+x^2)^{2x+1}+(1+x+x^2)^{2x+1}}$ έχει παράγοντα το πολυώνυμο
$\displaystyle{(e^{f(x)}-1)^2}$

4) Nα βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(tana)=g(tana)-2ln3, x\in (0, \pi)$

εως 31/3

Καλησπέρα!

Λύση:
1. έχουμε
$f\left(x \right)=ln\left(1+\sqrt{1+x^{2}} \right)\Rightarrow f'\left(x \right)=\frac{1}{1+\sqrt{1+x^{2}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot 2x=\frac{x}{\left(1+\sqrt{1+x^{2}} \right)\cdot \sqrt{1+x^{2}}}$
και
$\left(1+\sqrt{1+x^{2}} \right)\cdot \sqrt{1+x^{2}}>0$
άρα $f'\left(0 \right)=0$ και
για κάθε x<0

είναι $f'\left(x \right)<0$ άρα και

φθίνουσα
και για κάθε x>0

είναι $f'\left(x \right)>0$ άρα και

αύξουσα

2. έστω
$g\left(x \right)=x\Leftrightarrow ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}} \right)-x=0$
θέτουμε $h\left(x \right)=ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}} \right)-x$ τότε
$h\left(x \right)=ln\left(x+\sqrt{1+x^{2}} \right)-x\Rightarrow h'\left(x \right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\cdot \left(1+\frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot 2x \right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^{2}}+x}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}>0$
επομένως για κάθε $x\in \Re$ είναι $g'\left(x \right)>0$ άρα και

αύξουσα
άρα έχει μοναδική ρίζα που είναι η προφανής, δηλαδή για x=0

είναι $h\left(0 \right)=0$
όμως εμείς έχουμε πως x>0

και για αυτό το διάστημα $h\left(x \right)\neq 0$ άρα και $g\left(x \right)\neq x$ .

3. έχουμε
$\left(e^{f\left(x \right)}-1 \right)^{2}=\left(e^{ln\left(1+\sqrt{1+x^{2}} \right)} -1\right)^{2}=\left(1+\sqrt{1+x^{2}}-1 \right)^{2}=x^{2}+1$
και στο $P\left(x \right)$ έχουμε
$P(x)=(1-x+x^{2} )^{2x+1}+(1+x+x^{2})^{2x+1}=(1-x+x^{2}+1+x+x^{2} )\left[(1-x+x^{2} )^{2x}-(1-x+x^{2} )^{2x-1}(1+x+x^{2} )+...-(1+x+x^{2} )^{2x-1}(1-x+x^{2})+(1+x+x^{2} )^{2x} \right]=2(x^{2} +1)\left[(1-x+x^{2} )^{2x}+(1+x+x^{2} )^{2x} \right]=2(e^{f(x)}-1)^{2}\left[(1-x+x^{2})^{2x}+(1+x+x^{2})^{2x} \right]$

4. θέτουμε όπου

το

και
$f\left(tanx \right)=g\left(tanx \right)-2ln3\Leftrightarrow ln\left(1+\sqrt{1+tan^{2}x} \right)=ln\left(tanx+\sqrt{1+tan^{2}x} \right)-ln9\Leftrightarrow ln\left(1+\sqrt{\frac{cos^{2}x+sin^{2}x}{cos^{2}x}} \right)=ln\left(\frac{sinx}{cosx}+ \sqrt{\frac{cos^{2}x+sin^{2}x}{cos^{2}x}} \right)-ln9\Leftrightarrow ln\left(\frac{cosx+1}{cosx} \right)-ln\left(\frac{sinx+1}{cosx} \right)+ln9=0\Leftrightarrow ln\left(cosx+1 \right)-ln\left(cosx \right)-ln\left(sinx+1 \right)+ln\left(cosx \right)+ln9=0\Leftrightarrow ln\left(cosx+1 \right)-ln\left(sinx+1 \right)+ln9=0$
θέτουμε $\phi \left(x \right)=ln\left(cosx+1 \right)-ln\left(sinx+1 \right)+ln9$ και θα είναι
$\phi \left(x \right)=ln\left(cosx+1 \right)-ln\left(sinx+1 \right)+ln9\Leftrightarrow \phi '\left(x \right)=\frac{1}{cosx+1}\cdot \left(-sinx \right)-\frac{1}{sinx+1}\cdot cosx=\frac{\left(sinx+1 \right)\left(-sinx \right)-\left(cosx+1 \right)cosx}{\left(cosx+1 \right)\left(sinx+1 \right)}=-\frac{sin^{2}x+sinx+cos^{2}x+cosx}{\left(cosx+1 \right)\left(sinx+1 \right)}=-\frac{1+cosx+sinx}{\left(cosx+1 \right)\left(sinx+1 \right)}$
και για κάθε $x\in \left(0,\pi \right)$ είναι $(cosx+1 \right)\left(sinx+1 \right)\neq 0$
και για
$1+sinx+cosx=0\Leftrightarrow 1+sinx+\sqrt{1-sin^{2}x}=0\Leftrightarrow \sqrt{1-sin^{2}x}=-1-sinx\Leftrightarrow 1-sin^{2}x=1+sin^{2}x+2sinx\Leftrightarrow 2sin^{2}x+2sinx=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow sinx\left(sinx+1 \right)=0$
όμως για κάθε $x\in \left(0,\pi \right)$ είναι $sinx\left(sinx+1 \right)\neq 0$
άρα η $\phi '\left(x \right)$ έχει σταθερό πρόσημο στο $\left(0,\pi \right)$ άρα και η ρίζα της εξίσωσης είναι μοναδική.

παράγωγοι (συνδυαστική)

παράγωγοι (συνδυαστική)

Re: παράγωγοι (συνδυαστική)

Μέλη σε σύνδεση