Κοινή άρρητη ρίζα

#1

Αν $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \mathbb{Q}$ και $a_1b_1 \neq 0$ και οι εξισώσεις

a_1x^2+a_2x+a_3=0

και

έχουν κοινή άρρητη ρίζα, να αποδείξετε ότι

υπάρχει $t \in \mathbb{Q}^*$ ώστε b_i=ta_i, i=1,2,3

Μέχρι 21/4
άλγεβρα Α. Λυκείου

Eukleidis · #2

Έστω πως $\displaystyle{\tfrac{{{b_1}}}{{{a_1}}} = k,\tfrac{{{b_2}}}{{{a_2}}} = l,\tfrac{{{b_3}}}{{{a_3}}} = m}$ με $\displaystyle{k,l,m \in \mathbb{Q}}$ . Τότε αν

η κοινή άρρητη ρίζα ισχύει:
$\displaystyle{\left( {{a_1} - {b_1}} \right){r^2} + \left( {{a_2} - {b_2}} \right)r + \left( {{a_3} - {b_3}} \right) = 0 \Rightarrow }$
$\displaystyle{{a_1}{r^2}\left( {1 - k} \right) + {a_2}r\left( {1 - l} \right) + {a_3}\left( {1 - m} \right) = 0 \Rightarrow }$
Όμως $\displaystyle{{a_1}{r^2} = - \left( {{a_2}r + {a_3}} \right)}$
Αντικαθιστώντας:
$\displaystyle{{a_2}r\left( { - l + k} \right) + {a_3}\left( { - m + k} \right) = 0}$
Άρα πρέπει:
$\displaystyle{{a_2}\left( { - l + k} \right) = {a_3}\left( { - m + k} \right) = 0 \Rightarrow m = k = l}$
Προφανως αν $\displaystyle{{a_2} = 0}$ και $\displaystyle{{a_3} \ne 0}$ τότε m=k και το ζήτουμενο έπεται. Αντίστοιχα αν $\displaystyle{{a_3} = 0 \wedge {a_2} \ne 0}$ τότε l=k
Αν και τα δύο είναι μηδέν τότε ρ=0 άτοπο.

Καλές Γιορτές και Χρόνια Πολλά

Κοινή άρρητη ρίζα

Κοινή άρρητη ρίζα

Re: Κοινή άρρητη ρίζα

Μέλη σε σύνδεση