Mιγαδικοί (2ο θέμα)

erxmer · #1

Δίνεται η εξίσωση z^2-4z+8=0

και έστω

oι λύσεις της με Ιm(z_1)>0

Α) Nα βρεθούν οι ρίζες z_1, z_2

Β) Να βρεθεί το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του αριθμού $(\frac{z_2}{z_1})^{35}$

Γ) Δίνεται ο μιγαδικός w ώστε $z_1w+z_2\bar{w}=8$

Να βρεθεί ο γ.τ των εικόνων του και ο μιγαδικός αριθμός w με ελάχιστο μέτρο.

εως 30/4

gtk1994 · #2

α) Η εξίσωση έχει διακρίνουσα $\Delta =-16<0$
άρα, $z_{1,2}=\frac{4\pm 4i}{2}=2\pm 2i$ και επειδή Im(z_1)>0

έχουμε πως z_1=2+2i

,

β)Έχουμε $\frac {z_2}{z_1}=-i$
Άρα, $(-i)^{35}=-i^{35}=i$
γ)Αντικαθιστώντας τις τιμές των z_1,z_2

και κάνοντας πράξεις έχουμε :
$2(w+\bar{w})+2(w-\bar{w})i=8$
Επομένως κάνοντας την αντικάτασταση w=x+yi

βρίσκουμε πως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

είναι η ευθεία $(\varepsilon ):x-y=2$
Επίσης, παίρνοντας απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία βρίσκουμε πως το ελάχιστο μέτρο ισούται με $\sqrt 2$ .Έτσι, θεωρώντας M(a,b)

την εικόνα του μιγαδικού

με το ελάχιστο μέτρο παίρνουμε το σύστημα
$\left.\begin{matrix} \sqrt {a^2+b^2}=\sqrt 2 & \\ a-b=2 & \end{matrix}\right\}$ $\Leftrightarrow a=1 \wedge b=-1.$
Άρα, ο μιγαδικός

με το ελάχιστο μέτρο είναι ο w=1-i

Γιώργος

Υ.Γ : Ευχαριστώ τον Eukleidis για την επισήμανση σε αριθμητικό λάθος

Mιγαδικοί (2ο θέμα)

Mιγαδικοί (2ο θέμα)

Re: Mιγαδικοί (2ο θέμα)

Μέλη σε σύνδεση