Για όλους τους Αλγεβροβηταλυκειάδες

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $3x^{3}+\kappa x^{2}+\lambda x+1=0$ , αν είναι γνωστό ότι οι αριθμοί $\kappa ,\lambda$ είναι ακέραιοι

και ότι δύο από τις τρείς άνισες ρίζες της , είναι επίσης ακέραιοι .

Stavroulitsa · #2

Καλησπέρα! Αφού ο σταθερός όρος είναι 1, τότε οι μόνες πιθανες ακεραίες ρίζες είναι το 1 και το -1. Επομένως για x=1 ισχύει:
$3x^2+\kappa x^2+\lambda x+1=0\Leftrightarrow 3+\kappa +\lambda +1=0\Leftrightarrow \kappa +\lambda +4=0$
και για x=-1 ισχύει
$3x^2+\kappa x^2+\lambda x+1=0\Leftrightarrow -3+\kappa -\lambda +1=0\Leftrightarrow \kappa -\lambda -2=0$
επομένως λύνουμε το σύστημα και έχουμε
$\begin{Bmatrix} \kappa -\lambda -2=0 & \\ \kappa +\lambda +4=0 & \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \kappa =-1 & \\ \lambda =-3 & \end{Bmatrix}$
και η εξισωση γίνεται
$3x^3-x^2-3x+1=0\Leftrightarrow x^2\left(3x-1 \right)-\left(3x-1 \right)=0\Leftrightarrow (3x-1)(x^2-1)=0$
άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι
$x=1,\; x=-1,\; x=\frac{1}{3}$

Για όλους τους Αλγεβροβηταλυκειάδες

Για όλους τους Αλγεβροβηταλυκειάδες

Re: Για όλους τους Αλγεβροβηταλυκειάδες

Μέλη σε σύνδεση