5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μετά παράκληση – παράπονο μερικών «διψασμένων μαθητών» για ασκήσεις Γεωμετρίας Α’ Λυκείου θέλω να αφιερώσω σε αυτούς πέντε ακόμα ασκήσεις αφιερώνοντας τη βραδιά μου και να τους ευχαριστήσω που υπάρχουν κοντά μας στο

Υ.Σ. Παιδιά σας παρακαλώ στον ελεύθερο χρόνο σας και όχι σε βάρος των εξετάσεων των υπολοίπων μαθημάτων.

ΑΣΚΗΣΗ 6η

Στις πλευρές $\displaystyle{ BA,CA }$ τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{ D,E }$ ώστε: $\displaystyle{ BD = CE }$ . Αν $\displaystyle{ M }$ είναι το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ και $\displaystyle{ N }$ είναι το μέσο της $\displaystyle{ DE }$ να δειχθεί ότι η ευθεία $\displaystyle{ MN }$ είναι παράλληλη προς τη διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{ \hat A }$ του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$

Για σας που τόσο μου αρέσετε!!
Στάθης
Το θέμα αυτό όπως και τα υπόλοιπα που θα ακολουθήσουν ας μείνουν μέχρι τις 20 Ιουνίου και στη συνέχεια ας μεταφερθούν στο: Γεωμετρία Α' Λυκείου

#2

ΑΣΚΗΣΗ 7η

Δείξτε ότι οι προβολές της κορυφής $\displaystyle{ A }$ τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ στις εσωτερικής και εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του $\displaystyle{ \hat B,\hat C }$ είναι σημεία συνευθειακά, δηλαδή στο παρακάτω σχήμα δείξτε ότι τα σημεία $\displaystyle{ B_2 ,C_1 ,B_1 ,C_2 }$ είναι συνευθειακά.

Για σας που τόσο μου αρέσετε!!
Στάθης

#3

ΑΣΚΗΣΗ 8η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle BAC(AB = AC) }$ με $\displaystyle{ \hat A = 20^0 }$ . Από το σημείο $\displaystyle{ B }$ φέρνουμε ημιευθεία $\displaystyle{ Bx }$ (όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί) ώστε: $\displaystyle{ \widehat{xBC} = 30^0 }$ .

Εστω $\displaystyle{ D }$ είναι το σημείο τομής των ημιευθειών $\displaystyle{ Bx }$ και $\displaystyle{ AC }$ . Από το σημείο $\displaystyle{ C }$ φέρνουμε την κάθετη στην $\displaystyle{ BD }$ η οποία τέμνει την ημιευθεία $\displaystyle{ AB }$ στο σημείο $\displaystyle{ E }$ .

Αν $\displaystyle{ Z }$ είναι το σημείο τομής της ευθείας $\displaystyle{ ED }$ με την ευθεία $\displaystyle{ BC }$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle{ \widehat{BZD} = 50^0 }$

Για σας που τόσο μου αρέσετε!!
Στάθης

#4

ΑΣΚΗΣΗ 9η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle BAC(AB = AC) }$ . Έστω $\displaystyle{ O }$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του και $\displaystyle{ M }$ το συμμετρικό του $\displaystyle{ O }$ ως προς τη $\displaystyle{ AC }$ .

Θεωρούμε την ευθεία $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right)//{\rm A}{\rm B} }$ με $\displaystyle{ {\rm M} \in \left( \varepsilon \right) }$ . Αν $\displaystyle{ D = \left( \varepsilon \right) \cap BC }$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \widehat{MOD} = 90^0 }$

Στάθης

#5

ΑΣΚΗΣΗ 10η

Έστω $\displaystyle{ M }$ τυχαίο σημείο του επιπέδου τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ και $\displaystyle{ M_1 ,M_2 ,M_3 }$ τα συμμετρικά του $\displaystyle{ M }$ ως προς τα μέσα $\displaystyle{ D,E,Z }$ των πλευρών $\displaystyle{ BC,CA,AB }$ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι:

i) Οι ευθείες $\displaystyle{ AM_1 ,BM_2 ,CM_3 }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο έστω $\displaystyle{ P }$ .

ii) Η ευθεία $\displaystyle{ PM }$ διέρχεται από το κέντρο βάρους $\displaystyle{ K }$ του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$

Καλό βράδυ!!
Στάθης

Stavroulitsa · #6

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6η

Στις πλευρές $\displaystyle{ BA,CA }$ τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{ D,E }$ ώστε: $\displaystyle{ BD = CE }$ . Αν $\displaystyle{ M }$ είναι το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ και $\displaystyle{ N }$ είναι το μέσο της $\displaystyle{ DE }$ να δειχθεί ότι η ευθεία $\displaystyle{ MN }$ είναι παράλληλη προς τη διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{ \hat A }$ του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$

Για σας που τόσο μου αρέσετε!!
Στάθης
Το θέμα αυτό όπως και τα υπόλοιπα που θα ακολουθήσουν ας μείνουν μέχρι τις 20 Ιουνίου και στη συνέχεια ας μεταφερθούν στο: Γεωμετρία Α' Λυκείου

καλησπέρα! Κύριε Στάθη είχαμε ασχοληθεί ξανα με αυτην, ΕΔΩ και ΕΔΩ

Stavroulitsa · #7

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7η

Δείξτε ότι οι προβολές της κορυφής $\displaystyle{ A }$ τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ στις εσωτερικής και εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του $\displaystyle{ \hat B,\hat C }$ είναι σημεία συνευθειακά, δηλαδή στο παρακάτω σχήμα δείξτε ότι τα σημεία $\displaystyle{ B_2 ,C_1 ,B_1 ,C_2 }$ είναι συνευθειακά.

Για σας που τόσο μου αρέσετε!!
Στάθης

Θα λύσω και αυτήν.

Λοιπόν, τα ευθύγραμμα τμήματα BB_1

και

είναι διχοτόμοι παραπληροματικών γωνιών οπότε το άθροισμά τους είναι x+y=90. Επομένως το τετράπλευρο AB_2BB_1

είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο γιατί έχει τρεις ορθές, $A\hat{B_2}B=B_2\hat{B}B_1=B\hat{B_1}A=90$ , άρα οι διαγώνιοί του είναι ίσες και διχοτομούνται και MB=MB_1

τοτε το τρίγωνο BMB_1

είναι ισοσκελές και $M\hat{B}B_1=B\hat{B_1}M=B_1\hat{B}C=x$ , άρα B_2B_1//BC

. Ομοίως το τετράπλευρο AC_1CC_2

είναι ορθογώνιο και πάλι οι διαγωνιοι είναι ίσες και διχοτομούνται, άρα $A\hat{C}C_1=C_2\hat{C_1}C$ άρα C_1C_2//BC

. Προεκτείνουμε την AC_1

και τέμνει την BC στο σημείο Κ και προεκτείνουμε την AB_1

και τέμνει την BC στο σημείο Ν. Πρατηρούμε το τρίγωνο AKC είναι ισοσκελές γιατι το C_1C

είναι διχοτόμος και ύψος, άρα θα είναι C_1

μέσο της ΑΚ. Επίσης το τρίγωνο ΑΒΝ είναι ισοσκελές γιατί το B_1B

είναι διχοτόμος και ύψος, άρα θα είναι B_1

το μέσο της ΑΝ. Επομένως στο τρίγωνο ΑΚΝ τα C1 και Β1 είναι μέσα και παράλληλα στην BC, άρα τα σημεία B2, B1, C1, C2 είναι συνευθειακά.

Grigoris K. · #8

Λοιπόν έχω την εντύπωση πως έχω ασχοληθεί ξανά με τις ασκήσεις 8 και 9. Γι' αυτό θα ξεκινήσω από την 10:

i) $AMCM_2 , BMCM_1 \kappa \alpha \iota M_3AMB$ παρ/μα αφού οι διαγώνιες διχοτομούνται.

Οι AM_1 , M_3C

τέμνονται στο

. Όμως

παρ\μο

άρα ως διαγώνιες διχοτομούνται.

Επιπλέον AM_2M_1B

παρ/μο

άρα

διχοτομούνται ως διαγώνιες και συνεπώς η BM_2

διέρχεται από το μέσο της AM_1

δηλαδή το

.

Άρα οι ζητούμενες ευθείες συντρέχουν στο

.

ii) Στο νέο σχήμα φέρω το ευθ. τμήμα

. Στο $\triangle M_1AM : AD , MP$ διάμεσοι άρα τέμνονται στο

(βαρύκεντρο του τριγώνου αυτού). Άρα αρκεί νδο $I \equiv K$ .

Όμως γνωρίζουμε ότι

διέρχεται από το

με $AI = \displaystyle \frac{2}{3}AD$ (1).

Επίσης στο $\triangle ABC : AK = \displaystyle \frac{2}{3} AD$ (2).

Από (1),(2) έχουμε $I \equiv K$ και ελπίζω ότι η απόδειξη ολοκληρώθηκε αίσια.

stavros11 · #9

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle BAC(AB = AC) }$ . Έστω $\displaystyle{ O }$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του και $\displaystyle{ M }$ το συμμετρικό του $\displaystyle{ O }$ ως προς τη $\displaystyle{ AC }$ .

Θεωρούμε την ευθεία $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right)//{\rm A}{\rm B} }$ με $\displaystyle{ {\rm M} \in \left( \varepsilon \right) }$ . Αν $\displaystyle{ D = \left( \varepsilon \right) \cap BC }$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \widehat{MOD} = 90^0 }$

Στάθης

Μία προσπάθεια, αν και μπορεί να υπάρχει και πιο γρήγορη λύση:

Από το ισοσκελές $\displaystyle{ABC}$ έχουμε $\displaystyle{\hat{ABC}=\hat{ACB}}$ και $\displaystyle{MD//AB\Rightarrow \hat{ABC}=\hat{MDC}}$ (ως εντός εκτός κι επί τα αυτά). Άρα $\displaystyle{\hat{ACB}=\hat{MDC} \Rightarrow EDC}$ ισοσκελές ( $\displaystyle{ED=EC \;\;(1)}$ ).

Έστω $\displaystyle{K}$ το σημείο που η $\displaystyle{MO}$ τέμνει την $\displaystyle{AC}$ . Αφού $\displaystyle{O}$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του τριγώνου. Άρα $\displaystyle{MO}$ μεσοκάθετος $\displaystyle{AC}$ , ή $\displaystyle{K}$ μέσο $\displaystyle{AC}$ .
Τα τρίγωνα $\displaystyle{AKO}$ και $\displaystyle{MKC}$ είναι ίσα από Π-Γ-Π, αφού $\displaystyle{KM=KO}$ (από υπόθεση), $\displaystyle{\hat{MKC}=\hat{AKO}}$ (ως κατακορυφήν), $\displaystyle{AK=AC}$ ( $\displaystyle{K}$ μέσο). Άρα $\displaystyle{\hat{MCA}=\hat{LAK}}$ .

Έστω $\displaystyle{x=\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{EDC}}$ , $\displaystyle{y=\hat{LAK}=\hat{MCE}}$ και $\displaystyle{z=\hat{EMC}}$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ALC}$ έχουμε $\displaystyle{\displaystyle{x+y=90^{\circ}}\Rightarrow x=90^{\circ}-y }$ , και αφού $\displaystyle{\hat{DEC}}$ εξωτερική του τριγώνου $\displaystyle{MEC}$ , από το τρίγωνο $\displaystyle{DEC}$ έχουμε $\displaystyle{180^{\circ} -2x=y+z}$

Από αυτές τις δύο σχέσεις με αντικατάσταση έχουμε $\displaystyle{180^{\circ} -2(90^{\circ} -y)=z+y\Rightarrow 2y=z+y\Rightarrow z=y\Rightarrow \hat{EMC}=\hat{MCE}\Rightarrow MEC}$ ισοσκελές. Άρα $\displaystyle{ME=EC \;\; (2)}$

Τελικά $\displaystyle{(1),(2)\Rightarrow ME=ED\Rightarrow M}$ μέσο $\displaystyle{MD}$ .
Αφού ισχύει και $\displaystyle{K}$ μέσο $\displaystyle{MO}$ , από το γνωστό θεώρημα για το τμήμα που ενώνει τα μέσα στο τρίγωνο $\displaystyle{MOD}$ έχουμε $\displaystyle{KE//OD}$ .

Άρα προκύπτει το ζητούμενο:
$\displaystyle{\left.\begin{matrix} KE\perp MO\\ KE//OD \end{matrix}\right\}\Rightarrow DO\perp MO\Rightarrow \hat{MOD}=90^{\circ} }$

parmenides51 · #10

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle BAC(AB = AC) }$ με $\displaystyle{ \hat A = 20^0 }$ . Από το σημείο $\displaystyle{ B }$ φέρνουμε ημιευθεία $\displaystyle{ Bx }$ (όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί) ώστε: $\displaystyle{ \widehat{xBC} = 30^0 }$ .

Εστω $\displaystyle{ D }$ είναι το σημείο τομής των ημιευθειών $\displaystyle{ Bx }$ και $\displaystyle{ AC }$ . Από το σημείο $\displaystyle{ C }$ φέρνουμε την κάθετη στην $\displaystyle{ BD }$ η οποία τέμνει την ημιευθεία $\displaystyle{ AB }$ στο σημείο $\displaystyle{ E }$ .

Αν $\displaystyle{ Z }$ είναι το σημείο τομής της ευθείας $\displaystyle{ ED }$ με την ευθεία $\displaystyle{ BC }$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle{ \widehat{BZD} = 50^0 }$

Η λύση εδώ.

5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 5-10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση