Παράλληλη προς χορδή (Β-ΓΕΩΜ)

KARKAR · #1

Έστω κύκλος (O , R)

και μεταβλητή χορδή $\displaystyle AB$ . Οι ημιευθείες OA , OB

, τέμνουν την εφαπτομένη στο μέσο του $\displaystyle\overset{\frown}{AB}$

στα σημεία S , T

. Υπολογίστε τη γωνία $\phi$ αν : α) ST = 2AB

, β)

Υπάρχει περίπτωση το τόξο $\displaystyle\overset{\frown}{AB}$ , να γίνει ισόμηκες με το τμήμα

;

Ίσως βοηθήσει και το "Άγιο Πνεύμα" (13/6)

Γιώργος Απόκης · #2

Επαναφορά

#3

Ας δώσω μια απάντηση στην όμορφη άσκηση του Θανάση, μετά από αρκετές ημέρες αναμονής...

: 02-2-2012 Γεωμετρία β.jpg (20.57 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

Τα τρίγωνα $\displaystyle SOT,\;AOB$ είναι όμοια, αφού η εφαπτόμενη

στο μέσο

του τόξου $\displaystyle \mathop {AB}\limits^ \cap$ είναι κάθετη στην ακτίνα

, που είναι προέκταση του αποστήματος

.

α) Οπότε $\displaystyle \frac{{ST}}{{AB}} = 2 \Rightarrow \frac{{OM}}{{OK}} = 2 \Rightarrow OK = \frac{R}{2}$ οπότε $\displaystyle AB = \lambda _3$ δηλαδή η επίκεντρη γωνία είναι $\displaystyle 120^\circ$

β) $\displaystyle \frac{{\left( {OST} \right)}}{{\left( {AOB} \right)}} = 2 \Rightarrow \frac{{OM}}{{OK}} = \sqrt 2 \Rightarrow OK = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}$ οπότε $\displaystyle AB = \lambda _4$ δηλαδή η επίκεντρη γωνία είναι $\displaystyle 90^\circ$

γ) Έστω

ακτίνια το τόξο $\displaystyle \mathop {AB}\limits^ \cap$ οπότε $\displaystyle \widehat{AOK} = \frac{x}{2}$ σε ακτίνια με $\displaystyle 0 < x < \pi$

$\displaystyle ST = 2SM = 2R \cdot \varepsilon \phi \frac{x}{2}$
$\displaystyle S_{AB} = ST \Leftrightarrow x \cdot R = 2R \cdot \varepsilon \phi \frac{x}{2} \Leftrightarrow \varepsilon \phi \frac{x}{2} = \frac{x}{2}$ που είναι αδύνατη στο $\displaystyle \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$

: 02-2-2012 Γεωμετρία.jpg (30.04 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

Πράγματι, αν $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi }{2}$ , τότε από το σχήμα προκύπτει ότι
$\displaystyle {\rm{(}}{\rm O}{\rm A}{\rm M}) < E\mu \beta {\rm{(\tau o\mu }}\,{\rm O}{\rm A}{\rm M}) < {\rm{(}}\,{\rm O}{\rm A}{\rm T})$ oπότε έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot {\rm{\eta \mu }}x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot {\rm{\varepsilon \phi }}x \Leftrightarrow {\rm{\eta \mu }}x < x < \varepsilon \phi x$

Παρατηρήστε ότι η τεχνική απόδειξης της ανισότητας περιέχεται αυτούσια στο Βιβλίο Γ΄ Θετικής Κατεύθυνσης, στο Κεφάλαιο των ορίων (απόδειξη τριγωνομετρικών ορίων)

Παράλληλη προς χορδή (Β-ΓΕΩΜ)

Παράλληλη προς χορδή (Β-ΓΕΩΜ)

Re: Παράλληλη προς χορδή (Β-ΓΕΩΜ)

Re: Παράλληλη προς χορδή (Β-ΓΕΩΜ)

Μέλη σε σύνδεση