Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

erxmer · #1

Nα υπολογιστούν τα κάτωθι

1) $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{ln(x+1)+e^x-cos2x}{(1-sinx)^2-e^x}}$

2) $\displaystyle{\lim_{x \to \pi/2}(sinx)^{tanx}}$

3) $\displaystyle{\lim_{x \to 0}(1+tanx)^\displaystyle{{\frac{1}{tanx}}}}$

εως 31/8

Γιώργος Απόκης · #2

Επαναφορά

#3

Οι μαθητές δεν μας τίμησαν, οπότε ...

1) Για

κοντά στο

έχουμε ότι αι χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου έχουμε σε κάθε μια από τις περιπτώσεις:

* $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(x+1)-ln1}{x}=\frac{1}{0+1}=1}$ ,

** $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-e^0}{x}=e^0=1}$ ,

*** $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos(2x)-cos0}{2x}=-2sin(2 \cdot 0)=0}$ ,

**** $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1-sinx)^2-1}{x}=2(1-sin0)(-cos0)=-2}$ .

Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα όρια για

κοντά στο

έχουμε ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(x+1)+e^x-cos(2x)}{(1-sinx)^2-e^x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(x+1)-ln1+e^x-e^0-cos(2x)+cos0}{(1-sinx)^2-1+e^0-e^x}=}$

$\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{ln(x+1)-ln1}{x}+\frac{e^x-e^0}{x}-2\frac{cos(2x)-cos0}{2x}}{\frac{(1-sinx)^2-1}{x}-\frac{e^x-e^0}{x}}=}$

$\displaystyle{=\frac{1+1-0}{-2-1}=-\frac{2}{3}}$ .

#4

2) Για κάθε

κοντά στo $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου έχουμε ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{ln(sinx)}{cosx}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{ln\sqrt{1-u^2}}{u}=}$

$\displaystyle{=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{ln\sqrt{1-u^2}-ln1}{u-0}=\frac{1}{\sqrt{1-0^2}}\frac{2 \cdot 0}{2\sqrt{1-0^2}}=0}$ ,

άρα

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(sinx)^{tanx}=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}e^{tanx \cdot ln(sinx)}=}$ .

$\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}e^{sinx \frac{ln(sinx)}{cosx}}=1}$ .

#5

3) Για

κοντά στο

και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου έχουμε ότι:

$\displaystyle{\lim{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+tanx)}{tanx}=\lim{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+tanx)-ln1}{tanx-0}=}$

$\displaystyle{=\lim{x \rightarrow 0}\frac{1}{1+tan0}\frac{1}{cos^20}}=1}$ .

Συνεπώς για

κοντά στο

, έχουμε ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}(1+tanx)^{\frac{1}{tanx}}=\lim_{x \rightarrow 0}e^\frac{ln(1+tanx)}{tanx}}=e}$ .

Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

Re: Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

Re: Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

Re: Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

Re: Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

Μέλη σε σύνδεση