1-'Αλγεβρα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων το πολυώνυμο: ${(1 + x + {x^2} + ... + {x^\nu })^2} - {x^\nu }$ ,όπου ν φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1.
( Η άσκηση είναι για τους μαθητές. Επειδή πρέπει να αφήνουμε τους μαθητές να αυτενεργούν, παρακαλώ πολύ τους συναδέλφους μαθηματικούς να μην στείλουν λύση πριν από δέκα ημέρες, δηλαδή πριν από τις 27-6-2009).

[edit:10/7/09] παράταση έως 26 Ιουλίου 2009.
grigkost

#2

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων το πολυώνυμο: ${(1 + x + {x^2} + ... + {x^\nu })^2} - {x^\nu }$ ,όπου ν φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1.
( Η άσκηση είναι για τους μαθητές. Επειδή πρέπει να αφήνουμε τους μαθητές να αυτενεργούν, παρακαλώ πολύ τους συναδέλφους μαθηματικούς να μην στείλουν λύση πριν από δέκα ημέρες, δηλαδή πριν από τις 27-6-2009).

Πολύ σοφή και συγκινητική η παραίνεση του Δασκάλου.

Προσθέτω μία μικρή παραλλαγή της άσκησης αλλάζοντας μόνο έναν όρο, τον τελευταίο μέσα στην παρένθεση. Η λύση είναι (σχεδόν) στο ίδιο μήκος κύματος, και είμαι βέβαιος ότι οι μαθητές θα χαρούν και τις δύο:

Για v άρτιος αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων το πολυώνυμο:
${(1 + x + {x^2} + ... + {x^{\nu-1} + \nu })^2} - {x^\nu }$

Φιλικά,

Μιχάλης

paganini · #3

Δεν προσπαθησε κανεις. Η λυση;

Ωmega Man · #4

Μια υπόδειξη για μαθητές,
$\displaystyle (1+x+x^2\ldots+x^n)^2-x^n=\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)^2-x^n$ .

#5

Mancar Camoran έγραψε:Μια υπόδειξη για μαθητές..,

Άς ακολουθήσουμε τήν πρόταση τού Mancar Camoran καί άς δώσουμε μιά παράταση γιά τούς μαθητές έως 26 Ιουλίου.

giannisn1990 · #6

Σύμφωνα με τις παραπάνω υποδείξεις έχουμε

$\displaystyle (1+x+x^2\ldots+x^n)^2-x^n=\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)^2-x^n=\frac{(x^{n+1}-1)^{2}-x^{n}(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}=$
$\displaystyle =\frac{x^{2n+2}-x^{n+2}-x^{n}+1}{(x-1)^{2}}=\displaystyle \frac{x^{n+2}(x^{n}-1)-(x^{n}-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{(x^{n+2}-1)(x^{n}-1)}{(x-1)^{2}}=$
$\displaystyle =\frac{(x-1)^{2} \cdot (1+x+x^{2}+...+x^{2n+1}) \cdot (1+x+x^{2}+...+x^{n-1})}{(x-1)^{2}}=$
$=(1+x+x^{2}+...+x^{2n+1}) \cdot (1+x+x^{2}+...+x^{n-1})$

Ωmega Man · #7

Γιάννη να υποθέσω ότι το 1990 στο όνομα χρήστη σου, υποδηλώνει την ημερομηνία γέννησής σου και ότι δεν είσαι μαθητής;

hsiodos · #8

Καλησπέρα

Νομίζω πως στην λύση του (μαθητή;) Γιάννη 1990 υπάρχει ένα λαθάκι σε κάποιον εκθέτη.

Υπόδειξη προς τους μαθητές

Δοκιμάστε ακόμη μια λύση θέτοντας $S = 1+x+x^2+...+x^{\nu -1}$

Γιώργος

giannisn1990 · #9

Mancar Camoran έγραψε:Γιάννη να υποθέσω ότι το 1990 στο όνομα χρήστη σου, υποδηλώνει την ημερομηνία γέννησής σου και ότι δεν είσαι μαθητής;

ναι εχεις δικιο .Απαντησα στο θεμα αυτο θεωρωντας ότι δεν υπαρχει καποια διαφορα αναμεσα σε εναν μαθητη Β Λυκειου και εναν 1η φοιτητη επάνω στις γνώσεις θεωρίας πολυωνύμων .Δεκτή κάθε άποψη ,και θα φροντίσω να μην συμβεί ξανά κάτι παρόμοιο.

Πάντα Φιλικά

Ωmega Man · #10

Γιάννη δεν τίθεται κατά την άποψη μου θέμα απολογίας γιατί και εγώ και οποιοσδήποτε μπορεί να μην προσέξει που απευθύνονται κάποια προβλήματα...απλά να είμαστε όλοι μας περισσότερο προσεκτικοί ...

Ιστοσελίδα · #11

ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ για μαθητές...

1-'Αλγεβρα

1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Re: 1-'Αλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση