4 Ανισες ρίζες υπό..."προυποθέσεις"

chris · #1

Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle x^2+a|x|=bx-1$ έχει τέσσερις άνισες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν $\displaystyle a+|b|+2<0$ .

Mikesar · #2

Α) Για

η δεδομένη εξίσωση γράφεται ως εξής:
$x^2 + ax - bx + 1 = 0 \Leftrightarrow x^2 + (a-b)x + 1 = o$
Και έχει Διακρίνουσα $\Delta = (a-b)^2 - 4 \Leftrightarrow \Delta = (a-b-2)(a-b+2)$
Για να έχει δύο άνισες ρίζες η δεδομένη εξίσωση, πρέπει να έχει Διακρίνουσα μεγαλύτερη του μηδενός, συνεπώς οι δύο παρενθέσεις πρέπει να είναι ομόσημες. Έτσι έχουμε τις περιπτώσεις:
a - b - 2>0

και

, δηλαδή

, αφού

(1η περίπτωση) ή
a - b - 2<0

και

, δηλαδή

, αφού

(2η περίπτωση)
Έστω x_1 , x_2

οι άνισες ρίζες της εξίσωσης. Αρχικά υποθέσαμε x>0

άρα $x_1 , x_2>0 \Leftrightarrow x_1 + x_2 > 0$ (1) Από τον τύπο του Vieta, έχουμε $x_1 + x_2 = -\frac{\beta}{\alpha} \Leftrightarrow x_1 + x_2 = b - a$ (2). Έτσι, από τις (1) και (2) εύκολα προκύπτει ότι $b - a>0 \Leftrightarrow a - b<0$ (3)
Έστω ότι ισχύει η πρώτη περίπτωση. Τότε $a - b - 2>0 \Leftrightarrow a - b>2$ Το οποίο είναι άτοπο σύμφωνα με το (3). Στην 2η περίπτωση διαπιστώνουμε ότι a - b<-2

το οποίο μπορεί να αληθεύει.

Β) Για x<0

η δεδομένη εξίσωση γράφεται ως εξής:
$x^2 - ax - bx + 1 = 0 \Leftrightarrow x^2 - (a+b)x + 1 = 0$
Και έχει Διακρίνουσα $\Delta = (a+b+2)(a+b-2)$
Ομοίως, όπως για x>0

έτσι και τώρα έχουμε τις περιπτώσεις:
a + b - 2>0

(1η περίπτωση)
a + b + 2<0

(2η περίπτωση)
Τώρα όμως, x_3 , x_3<0

άρα από τον τύπο του Vieta έχουμε a + b<0

Με τον ίδιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι στην 1η περίπτωση οδηγούμαστε σε άτοπο ενώ η 2η μπορεί να αληθεύει.

Άρα, από τις Α και Β η εξίσωση της εκφώνησης έχει 4 άνισες ρίζες αν και μόνο αν ισχύει:
a - b + 2<0

και

δηλαδή

για κάθε $a , b \in R$

4 Ανισες ρίζες υπό..."προυποθέσεις"

4 Ανισες ρίζες υπό..."προυποθέσεις"

Re: 4 Ανισες ρίζες υπό..."προυποθέσεις"

Μέλη σε σύνδεση