Τρία τετράγωνα (Α ΛΥΚ - ΓΕΩΜ)

[KARKAR]

Με βάσεις τις πλευρές , τριγώνου , σχεδιάζω στο εξωτερικό του τα τετράγωνα ,

με κέντρα . Αν είναι τα μέσα των , δείξτε ότι το , είναι επίσης τετράγωνο

Μέχρι τέλος Αυγούστου

[Mikesar]

Κατ'αρχήν φέρουμε τα τμήματα . Αυτά όμως τα τμήματα, ως διαγώνιοι τετραγώνων περιέχουν τα σημεία και αντίστοιχα, τα οποία είναι και μέσα τους.
Συνεπώς, το ενώνει τα μέσα των πλευρών του τετραπλεύρου , άρα είναι παραλληλόγραμμο. Τώρα, φέρουμε τις διαγωνίους του που τέμνονται σε σημείο . Όμως, και αφού και *. Άρα τα τρίγωνα και είναι ίσα (1), συνεπώς . Όμως, επειδή και έπεται ότι δηλαδή το παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος. Αρκεί τώρα να αποδείξουμε ότι έχει μια γωνία ορθή. Έστω δηλαδή ότι . Τότε θα πρέπει να ισχύει ότι . Όμως, αφού και αφού . Αρκεί λοιπόν να ισχύει ότι . Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ότι .
Άρα εμείς θέλουμε να ισχύει η εξής ισότητα: το οποίο αποδεικνύεται από την (1). Άρα ο ρόμβος έχει μια γωνία ορθή. Συνεπώς είναι τετράγωνο.
*Με τον ίδιο τρόπο λύνουμε αν οι διαγώνιοι τέμνονται πάνω από την

(Παρεμπιπτόντως μου άρεσε πολύ η άσκηση... Το τελευταίο βήμα παιδεύτηκα πολύ για να το βγάλω και ήθελε πολύ σκέψη! )
Θέλω να ανεβάσω και την εικόνα του νέο σχήματος αλλά στην προεπισκόπηση βγαίνει τεράστια. Αν κάποιος γνωρίζει πώς μπορώ να την μικρύνω, παρακαλώ ας μου το πει.**Απαντήθηκε, ευχαριστώ

[parmenides51]

κι εδώ