Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

KARKAR · #1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ,

είναι η υποτείνουσά του , και

το εμβαδόν του . Δείξτε ότι : $\displaystyle E\leq \frac{a^{2}}{4}$

Η άσκηση βρίσκεται στο φάκελο της Άλγεβρας , φυσικά όμως μπορείτε να δώσετε και γεωμετρική , ή άλλη λύση !

Έχετε χρονικό περιορισμό - η "δουλειά" πρέπει να τελειώσει ως τις 27 Σεπτεμβρίου ε.ε.

Mikesar · #2

Προφανώς $\displaystyle E = \frac{\beta\gamma}{2}$ .
Τώρα, αφού το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, ισχύει $\beta^2 + \gamma^2 = \alpha^2 \Leftrightarrow \frac{\beta^2 + \gamma^2}{4} = \frac{\alpha^2}{4}$
Αρκεί τώρα $\displaystyle E \leq \frac{\beta^2 + \gamma^2}{4} \Leftrightarrow \frac{\beta\gamma}{2} \leq \frac{\beta^2 + \gamma^2}{4} \Leftrightarrow (\beta-\gamma)^2 \geq 0$ το οποίο ισχύει.
Άρα $\displaystyle E \leq \frac{a^2}{4}$

ΝΟΤΗΣ ΚΟΥΤΣΙΚΑΣ · #3

Κύριε Θανάση ,Μιχάλη καλησπέρα σας!

Αφού α η υποτείνουσα , η ορθή γωνία είναι η Α.

Αρα από Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε $\displaystyle{{\alpha ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2}}$ (1).

Το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου είναι $\displaystyle{{\rm E} = \frac{1}{2}\beta \cdot \gamma }$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{2}\beta \cdot \gamma \le \frac{{{\alpha ^2}}}{4}}$

αρκεί $\displaystyle{2\beta \cdot \gamma \le {\alpha ^2}}$

αρκεί $\displaystyle{2\beta \cdot \gamma \le {\beta ^2} + {\gamma ^2}}$ από (1)

αρκεί $\displaystyle{0 \le {\beta ^2} + {\gamma ^2} - 2\beta \cdot \gamma }$

αρκεί $\displaystyle{0 \le {\left( {\beta - \gamma } \right)^2}}$

που ισχύει , αφού το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός.

Φιλικά:Νότης

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Νομίζω ότι λείπει η γεωμετρική λύση, είναι κρίμα να μην τεθεί και αυτή, δείχνει όλες τις διαστάσεις της άσκησης.

Τι λες ΚΑRKAR;

KARKAR · #5

Λέω ναι ...

#6

Εφόσον η ώρα είναι 11:43 το βράδυ της 26ης Σεπτεμβρίου και οι μαθητές μας πλέον ξεκουράζονται, οπότε δεν αναμένουμε μαθητική παρέμβαση ..., αφού ο Μάκης το ζητά κι αφού ο Θανάσης έκανε την αρχή

ας δώσω μια δυο διαφορετικές (γεωμετρικές) προσεγγίσεις:

: 26-9-2011 Γεωμετρία β.jpg (9.44 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

Στο ορθογώνιο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma$ το εμβαδόν του είναι $\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma } \right) = \beta \cdot \gamma$

Επίσης είναι: $\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma } \right) = 4\left( {{\rm O}{\rm A}{\rm B}} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{\alpha ^2 }}{4} \cdot \eta \mu \left( {{\rm A}{\rm O}{\rm B}} \right) = \frac{{\alpha ^2 }}{2} \cdot \eta \mu \omega$

Άρα $\displaystyle \beta \cdot \gamma = \frac{{\alpha ^2 }}{2} \cdot \eta \mu \omega$

Οπότε είναι $\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{{\alpha ^2 }}{4} \cdot \eta \mu \omega \le \frac{{\alpha ^2 }}{4}$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle \omega = 90^\circ$ δηλαδή όταν το $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

#7

Και μια ακόμα με Αναλυτική. (Μοιάζει με τις προηγούμενες αλγεβρικές των Μιχάλη και Νότη, αλλά αξίζει να το δούμε και απ' αυτή την οπτική γωνία ...)

: 26-9-2011 Γεωμετρία γ.jpg (6.49 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο

παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle {\rm B}\left( {1,\;0} \right),\;\;\Gamma \left( {0,\;\beta } \right),\;\;\beta > 0$

Τότε $\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{\beta }{2}$ . Έστω $\displaystyle \left( {{\rm B}\Gamma } \right) = \alpha$ .

Είναι $\displaystyle \alpha ^2 = \beta ^2 + 1 \Leftrightarrow \frac{{\alpha ^2 }}{4} = \frac{{\beta ^2 + 1}}{4}$ .

Οπότε: $\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) \le \frac{{\alpha ^2 }}{4}\; \Leftarrow \frac{\beta }{2} \le \frac{{\beta ^2 + 1}}{4} \Leftarrow \left( {\beta - 1} \right)^2 \ge 0$ , που ισχύει.

Το "ίσον" όταν $\displaystyle \beta = 1$ δηλαδή όταν $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ ορθογώνιο και ισοσκελές.

mathxl · #8

Μία λύση ακόμη
Το ύψος ΒΕ είναι μικρότερο ή ίσο της διαμέσου BD (υποτείνουσα). Η ισότητα επιτυγχάνεται όταν ταυτίζονται, δηλαδή όταν το αρχικό τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Καλά στα σχήματα πετάω...πάλι τέρας το έκανα. Μχμχμχμχ επίσης έβαλα και το Α στην ορθή...

Γιώργος Απόκης · #9

mathxl έγραψε:Μία λύση ακόμη
Το ύψος ΒΕ είναι μικρότερο ή ίσο της διαμέσου BD (υποτείνουσα). Η ισότητα επιτυγχάνεται όταν ταυτίζονται, δηλαδή όταν το αρχικό τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Καλά στα σχήματα πετάω...πάλι τέρας το έκανα

Με χιουμοριστική διάθεση: Μετά το σχήμα αυτό, θα έπρεπε ο τίτλος να είναι "Εμβαδό ταβανιού"

Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Re: Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Re: Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Re: Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Re: Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Re: Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Re: Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Re: Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Re: Ταβάνι εμβαδού (Α' Λυκείου - Άλγεβρα )

Μέλη σε σύνδεση