Γνωστή σύνθεση, άγνωστη συνάρτηση (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

parmenides51 · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x),g(x)}$ με σύνθεση $\displaystyle{(f\circ g)(x)=4-lnx}$ για $\displaystyle{x>0}$ .
(α) Να βρείτε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)}$ εαν :

i) $\displaystyle{f(x)=e^x+2}$
ii) $\displaystyle{f(x)=ln(x-2)}$ με $\displaystyle{x>2}$

(β) Να βρείτε την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ εαν :

i) $\displaystyle{g(x)=e^x+2}$
ii) $\displaystyle{g(x)=ln(x-2)}$ με $\displaystyle{x>2}$

εως 17 Νοέμβρη 2011

edit: Μείωσα τα ερωτήματα

pito · #2

Μιας και πέρασε η προθεσμία παραθέτω μια λύση:

a) i)Αν $f(x)=e^{x}+2$ τότε $(f(g(x))=e^{g(x)}+2=4-lnx\Rightarrow e^{g(x)}=2-lnx$ . Όμως $e^{g(x)}>0\Rightarrow 2-lnx>0\Rightarrow lnx<2\Rightarrow lnx<lne^{2}\Rightarrow x<e^{2}$ (αφού η lnx

είναι γνησίως αύξουσα) . Άρα $g(x)=ln(2-lnx), x\in (0,e^{2})$

ii)Αν f(x)=ln(x-2)

με $x\in (2,+\propto )$ τότε $f(g(x))=ln(g(x)-2)=4-lnx\Rightarrow g(x)-2=e^{4-lnx}+2\Rightarrow g(x)=\frac{e^{4}}{x}+2$
, $x\in (0,+\propto )$

β)
i) Αν $g(x)=e^{x}+2\Rightarrow f(g(x))=f(e^{x}+2)=4-lnx$ . Τότε θέτω $t=e^{x}+2\Rightarrow e^{x}=t-2$ . Όμως $e^{x}>0\Rightarrow t-2>0\Rightarrow t>2\Rightarrow x=ln(t-2)$ . Αλλά πρέπει $x>0\Rightarrow ln(t-2)>0\Rightarrow ln(t-2)>ln1\Rightarrow t>3, f(t)=4-ln(ln(t-2)), t\in (3,+\propto )$

ii) Αν g(x)=ln(x-2), x>2, f(g(x))=f(ln(x-2))=4-lnx

, θέτω $ln(x-2)=t\Rightarrow x-2=e^{t}\Rightarrow x=e^{t}+2 ( x>2)$ . Έτσι $f(t)=4-ln(e^{t}+2), t\in R$

Γνωστή σύνθεση, άγνωστη συνάρτηση (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Γνωστή σύνθεση, άγνωστη συνάρτηση (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: Γνωστή σύνθεση, άγνωστη συνάρτηση (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Μέλη σε σύνδεση