Αναζήτηση μιγαδικών

[stranton]

Έστω με την ιδιότητα . Να βρείτε:
α) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο.
β) Την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μέτρο του .
γ) Τον που έχει το μικρότερο μέτρο.

Έως 5 Οκτωβρίου 2011 - Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

[mathxl]

Συγνώμη ΄δεν πρόσεξα ότι είναι μόνο για μαθητές!!

[parmenides51]

Έστω με την ιδιότητα . Να βρείτε:
α) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο.
β) Την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μέτρο του .
γ) Τον που έχει το μικρότερο μέτρο.

Με καλή καρδιά ας προσθέσω και εγώ δυο ερωτήματα:

δ) Την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μέτρο του .
ε) Τον που έχει το μεγαλύτερο μέτρο.

Έως 5 Οκτωβρίου 2011 - Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

[mathxl]

Γράφω την απάντηση που είχα δώσει

ι)
Αν ονομάσουμε την εικόνα του και του τότε από την δοθείσα έχουμε





όπου η εικόνα του

- Αν σημείο του ευθύγραμμου τμήματος τότε ισχύει η δοθείσα αφού από πυθαγόρειο

- Αν συνευθειακό και εξωτερικό σημείο του τότε ή , δηλαδή

- Αν το δεν είναι συνευθειακό των τότε από τριγωνική ανισότητα


Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των σημείων είναι το ευθύγραμμο τμήμα αφού αυτά τα σημεία και μόνο αυτά έχουν την ιδιότητα


ιι)
΄Στην ουσία αναζητούμε το μήκος του καθέτου τμήματος προς το

με

Έχουμε η οποία επιτυγχάνεται στο μιγαδικό που έχει εικόνα το ίχνος της καθέτου από το προς το
ιιι)
Ο μιγαδικός αυτός θα βρεθεί επιλύοντας το σύστημα των ευθειών
και της καθέτου προς αυτή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Λύνοντας το σύστημα λαμβάνουμε ως λύση σημείο που αντιστοιχεί στον μιγαδικό , δεκτός αφού το πραγματικό του μέρος ανήκει στο

[drosi]

Γινεται σε ευθεια να βρουμε μεγιστο μιγαδικο και μετρο ;;

[parmenides51]

Υπάρχει μέγιστη απόσταση σημείου από ευθύγραμμο τμήμα. Δεν έχουμε όλη την ευθεία στην συγκεκριμένη άσκηση.

[parmenides51]

Γινεται σε ευθεια να βρουμε μεγιστο μιγαδικο και μετρο ;;

Να προσέχεις λίγο τις διατυπώσεις σου. Δεν μιλάμε για μέγιστο μιγαδικό αλλά για μιγαδικό με μέγιστο μέτρο ή για εικόνα μιγαδικού που απέχει την μέγιστη απόσταση από ένα γεωμετρικό τόπο.

και

καλώς ήρθες

[Μάκης Χατζόπουλος]

δ) Την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μέτρο του .
ε) Τον που έχει το μεγαλύτερο μέτρο.

Έως 5 Οκτωβρίου 2011 - Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου

Ας ολοκληρώσουμε την άσκηση,

Α΄ τρόπος (Γεωμετρικά)

Προφανώς η θέση που πρέπει να πάρει η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο είναι η περίπτωση που το ταυτιστεί με το σημείο , δηλαδή γίνει , γιατί:

Στο τρίγωνο έχουμε από την γνώση των πλάγιων και κάθετων τμημάτων από την Ευκλείδεια Γεωμετρία, έχουμε:

άρα η πλευρά είναι μεγαλύτερη.

όμοια και στο τρίγωνο προκύπτει ότι , άρα η πλευρά είναι μεγαλύτερη.

Από το τρίγωνο έχουμε , άρα το απέχει περισσότερο από το οποιοδήποτε άλλο σημείο της

Β΄ τρόπος (με μελέτη συνάρτησης)

Ο φορέας τους ευθύγραμμου τμήματος είναι οπότε για το τυχαίο σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ισχύει,



Θέτουμε: έχουμε,



άρα και , ενώ

Άρα η παρουσιάζει ένα ολικό ελάχιστο στο σημείο και δύο τοπικά μέγιστα, τα και . Άρα το ολικό μέγιστο γίνεται στο σημείο , δηλαδή όταν το σημείο έχει συντεταγμένες και αντιστοιχεί στον μιγαδικό

Υπάρχει και Γ΄ τρόπος (Αλγεβρικά) που το αφήνω για άλλη στιγμή....

Σημείωση: Parm σβήνε κόκκινα!!!