Ταυτότητες (Α Λυκείου) x2

erxmer · #1

1) Aν οι

είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και ισχύει οτι:

x^3+y^3+a(x^2+y^2)=y^3+z^3+a(y^2+z^2)=z^3+x^3+a(z^2+x^2)=p

να δειχθούν τα εξής
a=-(x+y+z), xy+yz+xz=0. p=2xyz

2) Να αποδειχθεί οτι [(x^2+1)(y^2+1)-4xy]^2-[2(x-y)(1-xy)]^2=[(x^2-1)(y^2-1)]^2

εως 31/12

Γιώργος Απόκης · #2

Επαναφορά

dr.tasos · #3

Για την 2) έχω ισοδύναμα
$( x^2y^2+x^2+y^2+1-4xy)^2-[2(x-y)(1-xy)]^2=[(x-1)(x+1)(y-1)(y+1)]^2 \Leftrightarrow [(1-xy)^2+(x-y)^2 ]^2-[2(x-y)(1-xy)]^2=[(xy+x-y-1)(xy+y-x-1)]^2$
Εδώ θα θέσω $1-xy=a \wedge b=x-y$ Απο δω έχω
$a^4+b^4-2a^2b^2=[(a-b)(a+b)]^2 \Leftrightarrow (a^2-b^2)^2=(a^2-b^2)^2 \Leftrightarrow 0=0$ που ισχύει .

Antonis_Z · #4

Θα απαντήσω στο 1) που έχει ξεχαστεί από το 2011.

Αφαιρούμε από την πρώτη τη δεύτερη και μετά την παραγοντοποίηση παίρνουμε (x-z)(x^2+xz+z^2+ax+az)=0

καει επειδή x διάφορο y (x^2+xz+z^2+ax+az)=0

(1).
Όμοια με αφαίρεση από την τρίτη τη δεύτερη x^2+xy+y^2+ax+ay=0

(2).
Αφαιρούμε από την (1) τη (2) και μετά την παραγοντοποίηση x+y+z+a=0

(α) που είναι το πρώτο ερώτημα.Χρησιμοποιούμε πάντα τη συνθήκη ότι οι αριθμοί x,y,z είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.
Αντικαθιστούμε στην (1) την (α) και έτσι x^2+xz+z^2-x^2-xy-xz-xz-yz-z^2=0

και μετά τις απλοποιήσεις xy+yz+xz=0

(β) που είναι το δεύτερο ερώτημα.
Αντικαθιστούμε την (α) σε όλες τις αρχικές σχέσεις και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει
-2(x^2y+xy^2+zy^2+xy^2+xz^2+yz^2)=3p

και προσθέτοντας -6xyz

η μεγάλη παρένθεση παραγοντοποιείται έτσι ώστε να εμφανίζει τον όρο (β) δηλαδή -2(x+y+z)(xy+yz+xz)=3p-6xyz

και χρησιμοποιώντας το (β) 6xyz=3p

δηλαδή

.

Ταυτότητες (Α Λυκείου) x2

Ταυτότητες (Α Λυκείου) x2

Re: Ταυτότητες (Α Λυκείου) x2

Re: Ταυτότητες (Α Λυκείου) x2

Re: Ταυτότητες (Α Λυκείου) x2

Μέλη σε σύνδεση