Εφαρμογή στις ταυτότητες I (Γ΄ Γυμνασίου)

#1

Αν για τους αριθμούς a,b

γνωρίζετε ότι a+b=1

και

να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων

$A=\alpha ^2+\beta ^2$

$B=\alpha ^3+\beta ^3$

$\Gamma =\alpha ^4+\beta ^4$

$\Delta =\alpha ^5+\beta ^5$

$E =\alpha ^{17}+\beta ^{17}$

Έως το επόμενο Σάββατο 3 Δεκεμβρίου 2011

Pellumbi · #2

$A=\left(\alpha +\beta \right)^{2}-2\alpha\beta=1^{2}-2(-1)=1+2=3$

$B=\left(\alpha +\beta \right)^{3}-3\alpha\beta \left(a+b \right)=1^{3}-3(-1)(1)=1+3=4$

$\Gamma =(\alpha ^{2})^{2}+(\beta ^{2})^{2}=(\alpha ^{2}+\beta ^{2})^{2}-2\alpha ^{2}\beta ^{2}=3^{2}-2(-1)^{2}=9-2=7$

Για τα 2 τελευταία δεν έχω βρει λύση ακόμα , αλλά θα τα παλέψω

#3

Pellumbi έγραψε: $A=\left(\alpha +\beta \right)^{2}-2\alpha\beta=1^{2}-2(-1)=1+2=3$

$B=\left(\alpha +\beta \right)^{3}-3\alpha\beta \left(a+b \right)=1^{3}-3(-1)(1)=1+3=4$

$\Gamma =(\alpha ^{2})^{2}+(\beta ^{2})^{2}=(\alpha ^{2}+\beta ^{2})^{2}-2\alpha ^{2}\beta ^{2}=3^{2}-2(-1)^{2}=9-2=7$

Για τα 2 τελευταία δεν έχω βρει λύση ακόμα , αλλά θα τα παλέψω

Αφού σε ευχαριστήσω για τη συμμετοχή σου, ας δώσουμε μια λύση για τον υπολογισμό του $\Delta .$

Εφόσον $\alpha ^2+\beta ^2=3$ και $\alpha ^3+\beta ^3=4,$ θα είναι $(\alpha ^2+\beta ^2)(\alpha ^3+\beta ^3)=12.$

Μετά τόν πολλαπλασιασμό θα εμφανιστεί, μεταξύ των άλλων, το $\alpha ^5+\beta ^5$ δηλαδή το $\Delta .$ Συγκεκριμένα

$\alpha ^5+\alpha ^3\beta ^2+\alpha ^2\beta ^3+\alpha ^5=12$ οπότε $\Delta +\alpha ^2\beta ^2(\alpha +\beta )=12.$

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε $\Delta +(-1)^2\cdot 1=12$ οπότε $\Delta=11.$

Μένει λοιπόν αναπάντητο το ερώτημα για τον υπολογισμό του $E=\alpha ^{17}+\beta ^{17}.$

Pellumbi · #4

Θα μπορούσε να είναι κάτι τέτοιο; $\alpha ^{17}+\beta ^{17}\Rightarrow (\alpha ^{3}+\beta ^{3})^{5}(\alpha^{2} +\beta ^{2})$

#5

Pellumbi έγραψε:Θα μπορούσε να είναι κάτι τέτοιο; $\alpha ^{17}+\beta ^{17}\Rightarrow (\alpha ^{3}+\beta ^{3})^{5}(\alpha +\beta )^{2}$

Θα μπορούσε και έτσι να βρεθεί αλλά έχειο λίγο δουλειά.

Ίσως αν δοκίμαζες το $(a^{5}+b^{5})^{3}(a^{2}+b^{2}) =....$ να ήταν καλύτερα.

#6

Aς υπολογίσουμε και το

με έναν από τους πολλούς τρόπους που υπάρχουν.

Ξεκινάμε από την ισότητα $\alpha ^4+\beta ^4=7$ και υψώνουμε στο τετράγωνο οπότε $\left( \alpha ^4+\beta ^4\right) ^2=49.$
Άρα $\alpha ^8+\beta ^8+2\alpha ^4\beta ^4=49.$ Επομένως $\alpha ^8+\beta ^8+2(-1)^4=49.$ Άρα $\alpha ^8+\beta ^8=47.$

Ξεκινάμε τώρα από τις ισότητες $\alpha ^4+\beta ^4=7$ και $\alpha ^5+\beta ^5=11.$ Πολλαπλασιάζοντας $(\alpha ^4+\beta ^4)(\alpha ^5+\beta ^5)=77.$
Μετά τις πράξεις $\alpha ^9+\beta ^9+\alpha ^4\beta ^4(\alpha +\beta )=77.$ Έτσι $\alpha ^9+\beta ^9=76.$

Ας υπολογίσουμε τώρα το

Από τα προηγούμενα $(\alpha ^8+\beta ^8)(\alpha ^9+\beta ^9)=76\cdot 47.$ Επομένως $\alpha ^{17}+\beta ^{17}+\alpha ^8\beta ^8(\alpha +\beta )=3572.$

Τελικά $\alpha ^{17}+\beta ^{17}=3571.$

Εφαρμογή στις ταυτότητες I (Γ΄ Γυμνασίου)

Εφαρμογή στις ταυτότητες I (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Εφαρμογή στις ταυτότητες (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Εφαρμογή στις ταυτότητες I (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Εφαρμογή στις ταυτότητες I (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Εφαρμογή στις ταυτότητες I (Γ΄ Γυμνασίου)

Re: Εφαρμογή στις ταυτότητες I (Γ΄ Γυμνασίου)

Μέλη σε σύνδεση