Μοναδικό ακρότατο

#1

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c

για τους οποίους η συνάρτηση:

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+3$ να έχει για x=1

μοναδικό ακρότατο το

Μέχρι 20 Δεκεμβρίου 2011- Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

freyia · #2

Καλησπέρα. $f{'}(x)=3ax^2+2bx+c$ . Αν $a\neq 0$ τότε η παράγωγος είναι τριώνυμο . Αν στο τριώνυμο αυτό η διακρίνουσα είναι μικρότερη από το μηδέν, τότε δεν υπάρχουν ρίζες και άρα ούτε και ακρότατα.
Αν η διακρίνουσα είναι ίση με μηδέν, τότε υπάρχει μία ρίζα (διπλή) που όμως δεν αποτελεί θέση τοπικού ακροτάτου, αφού η f{'}

δεν αλλάζει πρόσημο αριστερά και δεξιά της ρίζας.
Αν τέλος είναι η διακρίνουσα θετική, τότε εύκολα προκύπτει ότι θα υπάρχουν δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων, που όμως αυτό έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση.
Άρα πρέπει να είναι a=0

, και επομένως f{'}(x)=2bx+c

. Τώρα πρέπει: f{'}(1)=0

και

δηλαδή

και

. Αν λύσουμε αυτό το σύστημα, βρίσκουμε
c=2

,

και επαληθεύουμε ότι για τις τιμές αυτές, το σημείο M(1,4)

είναι ακρότατο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Μοναδικό ακρότατο

Μοναδικό ακρότατο

Re: Μοναδικό ακρότατο

Μέλη σε σύνδεση