9Α-Άλγεβρα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Για τους πραγματικούς αριθμούς x,y

και

, ισχύουν: $x+y+z={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2$ . Να αποδείξετε ότι: $x{{\left( 1-x \right)}^{2}}=y{{\left( 1-y \right)}^{2}}=z{{\left( 1-z \right)}^{2}}$ .

Έως 5/1/2012-Άλγεβρα Α΄ Λυκείου.

kanenas · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

JimVerman · #3

Είναι: $x+y+z=2\Leftrightarrow \left(x+y+z \right)^{2}=2^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=4\Leftrightarrow 2+2xy+2yz+2zx=4\Leftrightarrow 2\left(xy+yz+zx \right)=2\Leftrightarrow \boxed{xy+yz+zx=1} \: \mathbf{\left(1 \right)}$ .

Επίσης: $\boxed {x+y+z=2}$ , οπότε είναι: x+y=2-z

,

και

.

Άρα από την $\mathbf{\left(1 \right)}$ έχουμε: $xy=2-yz-zx\Leftrightarrow xy=1-z(y+x)\Leftrightarrow xy=1-z(2-z)\Leftrightarrow xy=1-2z+z^{2}\Leftrightarrow xy=(1-z)^{2}\Leftrightarrow xyz=z(1-z)^{2}$ και κυκλικά $xyz=y(1-y)^{2}$ , $xyz=x(1-x)^{2}$ .

Δηλαδή $x(1-x)^{2}=y(1-y)^{2}=z(1-z)^{2}$ .

$A\pi o\delta \varepsilon \acute{\iota }\chi \theta \eta \kappa \varepsilon$

mathxl · #4

Καλημέρα. Μία ερώτηση προς τους φίλους kanenas, JimVerman: Είστε μαθητές;

JimVerman · #5

Προσωπικά, ναι.

mathxl · #6

Πολύ ωραία λύση Δημήτρη(;), αξίζει να μην είναι μέσα σε hide!

kanenas · #7

mathxl έγραψε:Καλημέρα. Μία ερώτηση προς τους φίλους kanenas, JimVerman: Είστε μαθητές;

Όχι, για αυτό και το έβαλα σε hide.
Δεν είμαι σίγουρος για τη δεοντολογία που πρέπει να ακολουθείται σε αυτά τα θέματα, αν υπάρχει θέμα σβήνω την απάντηση.

Eagle · #8

Αλλη μια λύση(την βάζω σε hide διότι γίνεται χρήση τύπων Vieta για πολυώνυμα):

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Α.Κυριακόπουλος · #9

kanenas έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$xy+yz+xz= \frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}= \frac{2^2-2}{2}=1$

$x+y+z=2 \Leftrightarrow z=2-x-y$

$xy+yz+xz=1 \Leftrightarrow xy+y(2-x-y)+x(2-x-y)=1 \Leftrightarrow$

$2y+2x-y^2-x^2-xy=1 \Leftrightarrow 2y+2x+2z-y^2-x^2-z^2-xy=1+2z-z^2 \Leftrightarrow$

$2(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)-xy=1+2z-z^2 \Leftrightarrow$

$2-xy=1+2z-z^2 \Leftrightarrow (x-1)^2=yz$

Ομοίως και

Άρα

Αγαπητέ συνάδελφε kanenas θέλω να επισημάνω τα εξής:
1) Δεν είναι σωστό να λύνονται από καθηγητές ασκήσεις που προορίζονται για τους μαθητές. Δεν έχει σημασία αν η λύση είναι μέσα σε hide ή όχι. Δεν υπάρχει διαφορά. Στο χώρο μας υπάρχουν άλλες ασκήσεις και μάλιστα πολλές που είναι για καθηγητές.
2) Το δεύτερο μέλος της τελευταίας ισοδυναμίας(!!!)πρέπει να γίνει: ${{\left( z-1 \right)}^{2}}=xy$ .
3) Ο λόγος όμως που γράφω αυτό το μήνυμα είναι κυρίως ο εξής:
Από τις ισοδυναμίες που γράφεις χρειάζονται, μόνον οι δεξιά συνεπαγωγές ( $\displaystyle{\Rightarrow }$ ). Οι αριστερές συνεπαγωγές $\displaystyle{(\Leftarrow )}$ δεν έχουν καμία σχέση με την απόδειξη που κάνεις. Το ότι ισχύουν δεν είναι αρκετός λόγος για να τις γράψεις, γιατί και άλλες προτάσεις ισχύουν αλλά δεν τις γράφεις. Θα μου πεις τι σχέση έχουν οι άλλες προτάσεις. Οι σχέση τους με την απόδειξη που κάνεις δεν διαφέρει από εκείνη των δεξιά συνεπαγωγών( και στις δύο περιπτώσεις ισχύουν, αλλά δεν χρησιμοποιούνται στην απόδειξη).
Βλέπε και εδώ (παράγραφος 2,4, σελ.5).
• Όταν κάνουμε την απόδειξη μιας πρότασης, δεν γράφουμε όλα όσα ισχύουν στα μαθηματικά, άλλα από αυτά που ισχύουν εκείνα που χρειαζόμαστε για να κάνουμε την απόδειξη. Όταν λέμε περισσότερα απ' όσα πρέπει τα παραπανίσια με την κοινή λογική λέμε ότι είναι περιττά. Στα μαθηματικά όμως όταν σε μια απόδειξη γράφουμε περισσότερα από αυτά που απαιτεί η απόδειξη που κάνουμε, δείχνει ότι δεν τα έχουμε καλά στο μυαλό μας και ότι δεν ξέρουμε τι σημαίνει απόδειξη στα μαθηματικά.
Αυτά που έγραψες εσύ είναι περισσότερα, ακριβέστερα διπλάσια από αυτά που χρειάζονται για να κάνεις την απόδειξη που θέλεις, αφού οι αριστερές συνεπαγωγές δεν χρειάζονται. Και όχι μόνον οι ισοδυναμίες που έγραψες δεν είναι μια καλύτερη απόδειξη, αλλά θα έλεγα επιεικώς ότι δεν είναι μια καλή απόδειξη. Ένα άτομο που όταν έχει να κάνει μια δουλειά διπλασιάζει, χωρίς κανένα λόγο, τον κόπο που απαιτεί η δουλειά αυτή δεν λέμε ότι είναι λάθος του; Τα παραπανίσια λοιπόν είναι λάθος να τα γράφoυμε και επομένως μια τέτοια απόδειξη, από πλευράς Μαθηματικής Λογικής, είναι λανθασμένη.
• Πέρα από αυτά, υπάρχει και κάτι άλλο που είναι περισσότερο σημαντικό. Όταν ένας προσπαθεί να αποδείξει μια πρόταση με ισοδυναμίες, υπάρχει περίπτωση οι συνεπαγωγές που χρειάζονται να ισχύουν, αλλά μία από τις αντίστροφες συνεπαγωγές να μην ισχύει. Τότε δεν θα κάνει την απόδειξη της πρότασης χωρίς λόγο, γιατί η συνεπαγωγή που δεν ισχύει δεν χρειάζεται στην απόδειξη που κάνει . Και φυσικά αν γράψει μια ισοδυναμία που δεν ισχύει θα έχει κάνει λάθος.
• Είναι σημαντικό λοιπόν να μην γράφουμε ισοδυναμίες εκεί που δεν χρειάζονται. Την μεγαλύτερη ευθύνη βέβαια την έχουν τα σχολικά βιβλία, τα οποία κάνουν το ίδιο πράγμα και περνάνε λανθασμένα μηνύματα στους μαθητές και όχι μόνο . Για παράδειγμα, ο μαθητής Jim Verman, φαίνεται ότι από τις λύσεις που βλέπει έχει σχηματίσει την πεποίθηση ότι την απόδειξη μιας πρότασης πρέπει οπωσδήποτε να την κάνει με ισοδυναμίες. Έτσι λοιπόν ξεκινάει τη λύση της παραπάνω άσκησης ως εξής:
$x+y+z=2\Leftrightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}={{2}^{2}}$
Η αριστερή όμως συνεπαγωγή δεν ισχύει και έτσι έχει κάνει λάθος. Το σημαντικό όμως είναι ότι η λανθασμένη αριστερή συνεπαγωγή που έχει γράψει δεν του χρειάζεται στην απόδειξη που θέλει να κάνει!!!

JimVerman έγραψε:Είναι: $x+y+z=2\Leftrightarrow \left(x+y+z \right)^{2}=2^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=4\Leftrightarrow 2+2xy+2yz+2zx=4\Leftrightarrow 2\left(xy+yz+zx \right)=2\Leftrightarrow \boxed{xy+yz+zx=1} \: \mathbf{\left(1 \right)}$ .

Επίσης: $\boxed {x+y+z=2}$ , οπότε είναι: , και .

Άρα από την $\mathbf{\left(1 \right)}$ έχουμε: $xy=2-yz-zx\Leftrightarrow xy=1-z(y+x)\Leftrightarrow xy=1-z(2-z)\Leftrightarrow xy=1-2z+z^{2}\Leftrightarrow xy=(1-z)^{2}\Leftrightarrow xyz=z(1-z)^{2}$ και κυκλικά $xyz=y(1-y)^{2}$ , $xyz=x(1-x)^{2}$ .

Δηλαδή $x(1-x)^{2}=y(1-y)^{2}=z(1-z)^{2}$ .

$A\pi o\delta \varepsilon \acute{\iota }\chi \theta \eta \kappa \varepsilon$

kanenas · #10

Σας ευχαριστώ για τις επισημάνσεις

#11

ΕΥΤΥΧΩΣ που γράφει την άποψή του δημόσια ο Αντώνης Κυριακόπουλος για το θέμα με τις ισοδυναμίες, για να μην υπάρχει το άγχος στους μαθητές μας (και κυρίως στους υποψήφιους των Πανελλαδικών) για το αν πρέπει σε κάθε βήμα να να βάζουν ισοδυναμία ή συνεπαγωγή,( ακόμα και αν δεν μας ενδιαφέρει το αντίστροφο της κάθε πρότασης), φοβούμενοι μήπως τους αφαιρεθούν μονάδες. Είναι ένα θέμα που αρκετές φορές το είχα αντιμετωπίσει στο παρελθόν.

Ιωάννου Δημήτρης

Ιστιαία Ευβοίας

9Α-Άλγεβρα

9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Re: 9Α-Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση