Εξίσωση με ... ριζικά

apotin · #1

Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + ... + \sqrt {{4^{1006}}x + 3} } } } - \sqrt x - 1 = 0}$

έως 4 Ιανουαρίου 2012 - Άλγεβρα Β' Λυκείου

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Antonis_Z · #2

Καλή χρονιά!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

gavrilos · #3

Την "ξετρύπωσα" και μου άρεσε ας δώσω μια πλήρη λύση.

Έστω $\displaystyle{\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+...+\sqrt{4^{1006}+3}}}}=S_{1}}$ .

Είναι $\displaystyle{S_{1}-1=\sqrt{x}}$ .

Θα ισχύει επίσης $\displaystyle{S_{1}^{2}-1=\sqrt{4x}}$ .

Έστω $\displaystyle{\sqrt{4x+\sqrt{16x+....+\sqrt{4^{1006}x+3}}}=S_{1}^{2}-x=S_{2}}$ .

Θα είναι $\displaystyle{S_{2}^{2}-1=\sqrt{16x}}$ .

Μ' αυτήν την παρατήρηση καταλήγουμε στην ισότητα $\displaystyle{\sqrt{4^{1005}+\sqrt{4^{1006}x+3}}-1=\sqrt{4^{1005}x}}$ .(δεν μπόρεσα να το αποδείξω καλύτερα αυτό)

Πολλαπλασιάζοντας με τη συζυγή του πρώτου μέλους παίρνουμε $\displaystyle{\sqrt{4^{1006}x+3}-1=2\sqrt{4^{1005}x}}$ .

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία παίρνουμε $\displaystyle{4^{1006}x+2=4^{1006}x+2\sqrt{4^{1006}x}}$ .

Από εδώ εύκολα παίρνουμε $\displaystyle{x=\frac{1}{4^{1006}}$ .

Εdit:Είχα ξεχάσει έναν άσσο στο τέλος που άλλαζε λίγο το αποτέλεσμα.Ευχαριστώ τον apotin.

Εξίσωση με ... ριζικά

Εξίσωση με ... ριζικά

Re: Εξίσωση με ... ριζικά

Re: Εξίσωση με ... ριζικά

Μέλη σε σύνδεση