Ισότητα από ισότητα (Α' Άλγεβρα)

Γιώργος Απόκης · #1

Αν

είναι διαφορετικοί ανά δύο, μη μηδενικοί πραγματικοί με : $\displaystyle{\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}$ , να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{b+a}{b-a}+\frac{b+c}{b-c}=2}$

(Μέχρι 27/01/12)

dr.tasos · #2

Και μια λυση : πολζω την πρωτη με $\displaystyle{ abc }$ και εχω ισοδυναμα
$\displaystyle{ 2ac=ab+bc \quad (1) }$
Και παω στην δευτερη
$(a+b)(b-c)+(b+c)(b-a)=2(b-a)(b-c) \Leftrightarrow ab-ac+b^2+b^2-bc-ab-cb-ac=2(b^2-bc-ab+ac) \Leftrightarrow -2ac=2ac-2(bc+ab) \Leftrightarrow -2ac=2ac-4ac \Leftrightarrow -2ac=-2ac \Leftrightarrow 0=0$ Που ισχυει αρα απεδειχθη.

kanenas · #3

$2=\frac{b}{a}+\frac{b}{c}$

Θέτω $\frac{b}{a}=x$ και $\frac{b}{c}=y$

$\frac{b+a}{b-a}=\frac{\frac{b}{a}+\frac{a}{a}}{\frac{b}{a}-\frac{a}{a}}=\frac{x+1}{x-1}$ (1)

Ομοίως $\frac{b+c}{b-c}=...=\frac{y+1}{y-1}$

Όμως y=2-x

,άρα $\frac{y+1}{y-1}=\frac{3-x}{1-x}=-\frac{3-x}{x-1}$ (2)

(1)+(2)=2

#4

Μια ακόμα προσέγγιση:

Οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί a, b, c

είναι διαδοχικοί όροι Αρμονικής Προόδου, οπότε

$\displaystyle \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b} = \omega$

Είναι $\displaystyle \frac{{b + a}}{{b - a}} + \frac{{b + c}}{{b - c}} = \frac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}} + \frac{{\frac{1}{c} + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{c} - \frac{1}{b}}} = - \frac{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}{\omega } + \frac{{\frac{1}{c} + \frac{1}{b}}}{\omega } = \frac{{\frac{1}{c} - \frac{1}{a}}}{\omega } = \frac{{2\omega }}{\omega } = 2$

Γιώργος Απόκης · #5

Μετά τις ωραιότατες λύσεις, προσθέτω κι εγώ μία...

Από τη δοσμένη σχέση έχουμε : $\displaystyle{\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\Rightarrow}\frac{b}{2}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\Rightarrow b=\frac{2}{\frac{c+a}{ac}}\Rightarrow b=\frac{2ac}{c+a}}$ . Αντικαθιστούμε στο 1ο μέλος της ζητούμενης :

$\displaystyle{\frac{\frac{2ac}{c+a}+a}{\frac{2ac}{c+a}-a}+\frac{\frac{2ac}{c+a}+c}{\frac{2ac}{c+a}-c}=\frac{\frac{2ac+ac+a^2}{c+a}}{\frac{2ac-ac-a^2}{c+a}}+\frac{\frac{2ac+c^2+ac}{c+a}}{\frac{2ac-c^2-ac}{c+a}}=\frac{3ac+a^2}{ac-a^2}+\frac{3ac+c^2}{ac-c^2}=\frac{a(3c+a)}{a(c-a)}+\frac{c(3a+c)}{-c(c-a)}=\frac{3c+a}{c-a}-\frac{3a+c}{c-a}=\frac{2(c-a)}{c-a}=2}$ .

Ισότητα από ισότητα (Α' Άλγεβρα)

Ισότητα από ισότητα (Α' Άλγεβρα)

Re: Ισότητα από ισότητα (Α' Άλγεβρα)

Re: Ισότητα από ισότητα (Α' Άλγεβρα)

Re: Ισότητα από ισότητα (Α' Άλγεβρα)

Re: Ισότητα από ισότητα (Α' Άλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση