Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Φεβ 03, 2012 2:45 pm

Παρόλο που το forum δεν είναι φροντιστήριο, υπάρχουν αρκετοί μαθητές που το παρακολουθούν. Για εξάσκηση αυτών, καλό είναι να βάζουμε ασκήσεις στη δομή του τελικού διαγωνίσματος.Έτσι θα βελτιώσουμε και το φάκελο των ασκησεων μόνο για μαθητές. Στο τέλος, μπορούν όλες αυτές να γίνουν ένα ωραίο φυλλάδιο.

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η εξίσωση \displaystyle{x^2  - 4x + (2 - \lambda ) = 0,\lambda  \in R} \displaystyle{(1)}

α. Για ποιές τιμές του \displaystyle{\lambda  \in R} η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις.

β. Να βρεθεί το \displaystyle{\lambda  \in R} ώστε ο αριθμός \displaystyle{x = \sqrt[6]{{2^2 }} \cdot \sqrt {\sqrt[3]{2}} } να είναι ρίζα της \displaystyle{(1)}

γ. Αν η εξίσωση \displaystyle{(1)} έχει δύο πραγματικές ρίζες \displaystyle{x_1 ,x_2 }, να βρεθεί το \displaystyle{\lambda  \in R}, ώστε \displaystyle{\left| {x_1  + x_2  + 3x_1 x_2 } \right| < 22}

Για 2 ήμέρες από την ημέρα δημοσίευσης.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από dr.tasos » Παρ Φεβ 03, 2012 3:16 pm

a) Για να εχουμε δυο ανισες πραγματικες ριζες θελουμε \displaystyle{ \Delta > 0 } αρα \displaystyle{ \Delta = 16-4(2-l) \Leftrightarrow \Delta=16-8+4l  \Leftrightarrow \Delta = 4l+8 } πρεπει ομως \displaystyle{ 4l+8 > 0 \Leftrightarrow 4l >-8 \Leftrightarrow l > -2 \Leftrightarrow l \ in ( -2,+\infty ) }
β) το \displaystyle{ x } ισουται με \displaystyle{ x= \sqrt[6]{2^2} \cdot \sqrt[6]{2} \Leftrightarrow x= \sqrt[6]{2^2 \cdot 2} \Leftrightarrow x=\sqrt[6]{2^3} \Leftrightarrow x=\sqrt[2]{2}  } Αντικαθιστω οπου \displaystyle{ x } το \displaystyle{ \sqrt{2} } στο τριωνυμο και παιρνω
\displaystyle{  (\sqrt{2})^2-4\sqrt{2}+2-l=0 \Leftrightarrow 2+2-4\sqrt{2}-l=0 \Leftrightarrow l=4-4\sqrt{2} } που ειναι δεκτη λυση για τo \displaystyle{ l } αφου ειναι \displaystyle{ 4-4\sqrt{2} > -2 \Leftrightarow 4\sqrt{2}< 6 \Leftrightarrow 32 < 36 } που ισχυει
γ) απο Vietta παιρνω \displaystyle{ x_{1}+x_{2}=4 \wedge x_{1}x_{2}=2-l }
αντικαθιστω στην σχεση που δινεται και εχω
|4+3(2-l)| < 22 \Leftrightarrow |4+6-3l| < 22 \Leftrightarrow |10-3l|< 22 \Leftrightarrow -22<10-3l<22 \Leftrightarrow -22-10<-3l<22-10 \Leftrightarrow -32<-3l<12 \Leftrightarrow \frac{32}{3} > l > -4 \Leftrightarrow l \in (-4,\frac{32}{3}) μας μενει μονο η συναληθευση με την ανισωση του πρωτου ερωτηματος . Γραφικα ευκολα φαινονται να συναληθευουν στο \displaystyle{ l \in (-2,\frac{32}{3} ) } .
τελευταία επεξεργασία από dr.tasos σε Παρ Φεβ 03, 2012 3:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Φεβ 03, 2012 3:43 pm

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{{\left| {x - 2} \right| - \left| {3x + 4} \right|}}{{\sqrt {4 - \left| x \right|} }} + \frac{\kappa }{{\sqrt {\left| x \right| - 1} }}}

α. Να λύθούν οι ανισώσεις \displaystyle{4 - \left| x \right| > 0} και \displaystyle{\left| x \right| - 1 > 0}

β.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της \displaystyle{f}

γ.Αν το σημείο \displaystyle{A(3, - 12)} ανήκει στη γραφική παράσταση της \displaystyle{f}, να δείξετε οτι \displaystyle{\kappa  = 0}

δ. Για \displaystyle{\kappa  = 0}, να λύθεί η εξίσωση \displaystyle{f(x) = 0}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από dr.tasos » Παρ Φεβ 03, 2012 5:44 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{{\left| {x - 2} \right| - \left| {3x + 4} \right|}}{{\sqrt {4 - \left| x \right|} }} + \frac{\kappa }{{\sqrt {\left| x \right| - 1} }}}

α. Να λύθούν οι ανισώσεις \displaystyle{4 - \left| x \right| > 0} και \displaystyle{\left| x \right| - 1 > 0}

β.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της \displaystyle{f}

γ.Αν το σημείο \displaystyle{A(3, - 12)} ανήκει στη γραφική παράσταση της \displaystyle{f}, να δείξετε οτι \displaystyle{\kappa  = 0}

δ. Για \displaystyle{\kappa  = 0}, να λύθεί η εξίσωση \displaystyle{f(x) = 0}

a) \displaystyle{ |x| <  4 \Leftrightarrow -4<x < 4 \Leftrightarrow x \in ( -4,4) } και η αλλη \displaystyle{ |x| > 1 \Leftrightarrow x> 1 \vee x < -1 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-1) \cup ( 1,+\infty) } Συναληθεύουν στο \displaystyle{ x \in (-4,-1) \cup (1,4) }
b) συμφωνα με τις παραπανω το πεδιο ορισμου ειναι \displaystyle{ A= (-4,-1) \cup (1,4) }
c) εχω \displaystyle{ f(3)=-12 \Leftrightarrow -12=\frac{|3-2|-|13|}{\sqrt{1}}+\frac{k}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow -12+12=\frac{k}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow k=0 } αρα εδειχθη
d) Αφου \displaystyle{ k=0 } ευκολα η προς επιλυση εξισωση ειναι \displaystyle{ \frac{|x-2|-|3x+4|}{\sqrt{4-|x|}} \Leftrightarrow 0=|x-2|-|3x+4| \Leftrightarrow |x-2|=|3x+4|  \Leftrightarrow |x-2|^2=|3x+4|^2 \Leftrightarrow 4x^2+14x+6=0 \Leftrightarrow 2x^2+7x+3=0 } Βγαζω διακρινουσα στο τριωνυμο και ειναι \displaystyle{ \Delta=25 } αρα ειναι \displaystyle{ x_{1}=-3 \wedge x_{2}=\frac{-1}{2} } με την δευτερη λυση να αποριπτεται αφου δεν ανηκει στο πεδιο ορισμου .


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Παρ Φεβ 03, 2012 11:36 pm

ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνεται το τριώνυμο \displaystyle{x^2  + (\lambda  - 2)x + (2\lambda  - 7),\lambda  \in R}

i. Να βρείτε την διακρίνουσα \displaystyle{\Delta } του τριωνύμου και να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{\Delta  = 0}

ii. Να προσδιορίσετε τις τιμές του \displaystyle{\lambda  \in R} για την οποία η εξίσωση \displaystyle{x^2  + (\lambda  - 2)x + (2\lambda  - 7) = 0,\lambda  \in R} \displaystyle{(1)} έχει δύο ομόσημες και άνισες ρίζες

iii. Αν \displaystyle{x_1 ,x_2 } οι δύο άνισες ρίζες της \displaystyle{(1)} , τότε να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{\left| {3x_1  + 3x_2  + x_1 x_2 } \right| \le 21}

iv. Να εξετάσετε αν μπορεί η εξίσωση \displaystyle{(1)} να έχει δύο αντίθετες ρίζες .


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από dr.tasos » Σάβ Φεβ 04, 2012 1:50 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνεται το τριώνυμο \displaystyle{x^2  + (\lambda  - 2)x + (2\lambda  - 7),\lambda  \in R}

i. Να βρείτε την διακρίνουσα \displaystyle{\Delta } του τριωνύμου και να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{\Delta  = 0}

ii. Να προσδιορίσετε τις τιμές του \displaystyle{\lambda  \in R} για την οποία η εξίσωση \displaystyle{x^2  + (\lambda  - 2)x + (2\lambda  - 7) = 0,\lambda  \in R} \displaystyle{(1)} έχει δύο ομόσημες και άνισες ρίζες

iii. Αν \displaystyle{x_1 ,x_2 } οι δύο άνισες ρίζες της \displaystyle{(1)} , τότε να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{\left| {3x_1  + 3x_2  + x_1 x_2 } \right| \le 21}

iv. Να εξετάσετε αν μπορεί η εξίσωση \displaystyle{(1)} να έχει δύο αντίθετες ρίζες .

a) \displaystyle{ \Delta_{1}=l^2+4-4l-8l+28 \Leftrightarrow l^2-12l+32=0 \Leftrightarrow l^2-4l-8l+32=0 \Leftrightarrow l(l-4)-8(l-4)=0 \Leftrightarrow (l-8)(l-4)=0  \Leftrightarrow l=4 \vee l=8 }
b) Πρεπει \displaystyle{ \Delta > 0 \wedge x_{1}x_{2} > 0 \Leftrightarrow 2l-7> 0 \wedge l^2-12l+36-4> 0 \Leftrightarrow l> \frac{7}{2} \wedge (l-8)(l-4) > 0 \Leftrightarrow l \in ( \frac{7}{2},+\infty) \wedge (-\infty,4) \cup ( 8,+\infty) } που συναληθευουν στο \displaystyle{ l \in (\frac{7}{2},4) \cup (8,+\infty) }
c) \Delta =(l-8)(l-4) > 0 \Leftrightarrow l \in ( -\infty,4) \cup (8,+\infty) \quad (1) \displaystyle{ . 
 } 6-3l+2l-7|  \leq 21 \Leftrightarrow |l+1| \leq 21 \Leftrightarrow l \in [-22,20] που συναληθευουν με την (1)στο l \in [-22,4) \cup (8,20]
d) S=0 \Leftrightarrow 2-l=0 \Leftrightarrow l=2που ειναι δεκτη .


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Κυρ Φεβ 05, 2012 12:54 pm

ΑΣΚΗΣΗ 4

Για τους αριθμούς \displaystyle{\alpha ,\beta } ισχύει η σχέση \displaystyle{\alpha ^2  + \beta ^2  - 4\alpha  + 6\beta  + 13 = 0}

α. Να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R}

Για τους αριθμούς \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R} που βρήκατε στο α) ερώτημα

β. Να μετατρέψετε το κλάσμα \displaystyle{A = \frac{{15}}{{\sqrt {\alpha  - \beta }  \cdot (\sqrt \alpha   + \beta )}}} σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{{\rm B} = \sqrt { - \beta  + \alpha \sqrt \alpha  }  - \sqrt { - \beta  - \alpha \sqrt \alpha  } }

δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{\Delta  = \sqrt {\alpha \sqrt[3]{\alpha }}  \cdot \sqrt[3]{\alpha } - \beta }


ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται η εξίσωση \displaystyle{x^2  - 2\lambda x + \lambda (\lambda  + 3) = 0} \displaystyle{(1)}

α. Να βρείτε για ποίες τιμές του \displaystyle{\lambda  \in R} η εξίσωση \displaystyle{(1)} έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις

β.Έστω \displaystyle{S} και \displaystyle{P} το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{(1)}. Άν ισχύει \displaystyle{P - S = 12}, να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda  \in R}

Για την τιμή του \displaystyle{\lambda  \in R} που βρήκατε στο β) ερώτημα,τότε:

γ. Να υπολογίσετε την παράσταση \displaystyle{A = \frac{{x_1 }}{{x_2 }} + \frac{{x_2 }}{{x_1 }}}

δ. Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού, με ρίζες τους αριθμούς \displaystyle{x_1 ^2 x_2 } και \displaystyle{x_2 ^2 x_1 }
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Τετ Φεβ 08, 2012 1:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από dr.tasos » Τρί Φεβ 07, 2012 6:26 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4

Για τους αριθμούς \displaystyle{\alpha ,\beta } ισχύει η σχέση \displaystyle{\alpha ^2  + \beta ^2  - 4\alpha  + 6\beta  + 13 = 0}

α. Να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R}

Για τους αριθμούς \displaystyle{\alpha ,\beta  \in R} που βρήκατε στο α) ερώτημα

β. Να μετατρέψετε το κλάσμα \displaystyle{A = \frac{{15}}{{\sqrt {\alpha  - \beta }  \cdot (\sqrt \alpha   + \beta )}}} σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{{\rm B} = \sqrt { - \beta  + \alpha \sqrt \alpha  }  - \sqrt { - \beta  - \alpha \sqrt \alpha  } }

δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{\Delta  = \sqrt {\alpha \sqrt[3]{\alpha }}  \cdot \sqrt[3]{\alpha } - \beta }



a) \displaystyle{ (a-2)^2+(b+3)^2=0 \Leftrightarrow a=2 \wedge b=-3 }
b) \displaystyle{ A=\frac{15}{\sqrt{5}(\sqrt{2}-3)} \Leftrightarrow A=\frac{15\sqrt{5}(\sqrt{2}+3)}{5(2-9)} \Leftrightarrow A=\frac{15\sqrt{10}+45\sqrt{5}}{-35} \Leftrightarrow A=\frac{15(\sqrt{10}+3\sqrt{5})}{-5 \cdot 7} \Leftrightarrow A=\frac{-3(\sqrt{10}+3\sqrt{5})}{7} }

c) \displaystyle{ B^2=-b+a\sqrt{a}-b-a\sqrt{a}-2\sqrt{b^2-a^3}  \Leftrightarrow B^2=-2b-2\sqrt{1}=6-2 \Leftrightarrow B^2=4 \Leftrightarrow B=2 } το \displaystyle{ -2 } αποριπτεται αφου η αριστερη ποσοτητα ειναι μεγαλυτερη απο την δεξια .

d) \displaystyle{ \Leftrightarrow D=\sqrt{\sqrt[3]{2^4}} \cdot \sqrt[3]{2}+3 \Leftrightarrow D=2+3=5 }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από dr.tasos » Τρί Φεβ 07, 2012 7:20 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:

ΑΣΚΗΣΗ 5


Δίνεται η εξίσωση \displaystyle{x^2  - 2\lambda x + \lambda (\lambda  + 3) = 0} \displaystyle{(1)}

α. Να βρείτε για ποίες τιμές του \displaystyle{\lambda  \in R} η εξίσωση \displaystyle{(1)} έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις

β.Έστω \displaystyle{S} και \displaystyle{P} το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{(1)}. Άν ισχύει \displaystyle{P - S = 12}, να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda  \in R}

Για την τιμή του \displaystyle{\lambda  \in R} που βρήκατε στο β) ερώτημα,τότε:

γ. Να υπολογίσετε την παράσταση \displaystyle{A = \frac{{x_1 }}{{x_2 }} + \frac{{x_2 }}{{x_1 }}}

δ. Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού, με ρίζες τους αριθμούς \displaystyle{x_1 ^2 x_2 } και \displaystyle{x_2 ^2 x_1 }



α) Βγαζω διακρινουσα στο τριωνυμο που απαιτω να ειναι θετικη και παιρνω

\displaystyle{ \Delta=4l^2-4l^2-12l  \Leftrightarrow -12l> 0 \Leftrightarrow l<0 }

b) \displaystyle{ l(l+3)-2l=12 \Leftrightarrow l^2+l-12=0 \Leftrightarrow l=3 \vee l=-4 } Η δευτερη δεκτη η πρωτη αποριπτεται λογω περιοσμων που εχουν τεθει στο α ερωτημα .


c) \displaystyle{ A=\frac{x_{1}^2+x_{2}^2}{x_{1}x_{2}} \Leftrightarrow A=\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{2l^2-6l}{l^2+3l} \Leftrightarrow A=\frac{32+24}{4}=\frac{56}{4}=4 }

δ) \displaystyle{ S=-32 \wedge P=64 } αρα ειναι η \displaystyle{ x^2+32-64=0 }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τετ Φεβ 08, 2012 1:05 am

ΑΣΚΗΣΗ 6

α. Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{x^2  + 3x - 10 < 0}

β. Για τις τιμές του \displaystyle{x} που βρήκατε στο α) ερώτημα να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{\alpha  = 2\left| {x + 5} \right| - 3\left| {x - 2} \right| + 5\left| {x - 4} \right|}

γ. Για την τιμή του \displaystyle{\alpha } που βρήκατε στο β) ερώτημα να υπολογίσετε την παράσταση
\displaystyle{B = \sqrt[3]{{3 + \sqrt[4]{{a + 1}}}} \cdot \sqrt[3]{{3 - \sqrt[4]{{a + 1}}}} \cdot \sqrt[3]{2}}


ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{{\left| { - x^2  + x - 2} \right| - 4}}{{x^2  - 6x + 8}}}

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού \displaystyle{A} της συνάρτησης \displaystyle{f}

β. Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle{x \in R} ισχύει \displaystyle{ - x^2  + x - 2 < 0}

γ. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης \displaystyle{f} απλοποιείται στη μορφή \displaystyle{f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 4}},x \inA}

δ. Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{x \cdot f(x) >  - \frac{{f(5)}}{2}}

μεχρι 12/2/2012


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από dr.tasos » Πέμ Φεβ 09, 2012 2:19 am

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6

α. Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{x^2  + 3x - 10 < 0}

β. Για τις τιμές του \displaystyle{x} που βρήκατε στο α) ερώτημα να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{\alpha  = 2\left| {x + 5} \right| - 3\left| {x - 2} \right| + 5\left| {x - 4} \right|}

γ. Για την τιμή του \displaystyle{\alpha } που βρήκατε στο β) ερώτημα να υπολογίσετε την παράσταση
\displaystyle{B = \sqrt[3]{{3 + \sqrt[4]{{a + 1}}}} \cdot \sqrt[3]{{3 - \sqrt[4]{{a + 1}}}} \cdot \sqrt[3]{2}}



a)
\displaystyle{ \Delta=49 } αρα \displaystyle{ x_{1}=-5 \wedge x_{2}=2 }
Από ένα πινακακι προσήμων προκύπτει ότι η ανίσωση αληθεύει για κάθε \displaystyle{ x \in (-2,5) \Leftrightarrow -5<x<2 }
β) \displaystyle{ x-2< 0 \quad  \Rightarrow |x-2|=2-x \quad (1) }
\displaystyle{ x-5> 0 \Rightarrow |x-5|=x-5 \quad (2) }
\displaystyle{ x-4 < -2<0 \Rightarrow |x-4|=4-x \quad (3) }
Άρα με την βοήθεια αυτών των σχέσεων η \displaystyle{ a } γινεται :
\displaystyle{a=2x+10+3x-6-5x+20 \Leftrightarrow a=24 }
c) \displaystyle{ B=\sqrt[3]{3+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{3-\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2} \Leftrightarrow B=\sqrt[3}{2^2} \cdot \sqrt[3]{2} \Leftrightarrow B=\sqrt[3]{2^3}=2 }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από dr.tasos » Πέμ Φεβ 09, 2012 3:24 am

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{{\left| { - x^2  + x - 2} \right| - 4}}{{x^2  - 6x + 8}}}

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού \displaystyle{A} της συνάρτησης \displaystyle{f}

β. Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle{x \in R} ισχύει \displaystyle{ - x^2  + x - 2 < 0}

γ. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης \displaystyle{f} απλοποιείται στη μορφή \displaystyle{f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 4}},x \inA}

δ. Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{x \cdot f(x) >  - \frac{{f(5)}}{2}}

μεχρι 12/2/2012


α ) Πρεπει \displaystyle{ x^2-6x+8 \ne 0 \Leftrightarrow x^2-2x-4x+8 \ne 0 \Leftrightarrow x(x-2)-4(x-2) \ne 0 \Leftrightarrow (x-4)(x-2) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 4 \wedge x \ne 2 }
b) \displaystyle{ -x^2+x-2 <0 \Leftrightarrow x^2-x+2 >0 \Leftrightarrow 2x^2-2x+4 >0  (x-1)^2+x^2+3 > 0  }που ισχυει για καθε \displaystyle{x \in \mathbb{R} }
c) αφου εχω αποδειξει οτι \displaystyle{ -x^2+x-2 <0 } για καθε \displaystyle{ x \in \mathbb{R} } τοτε η ποσοτητα στο απολυτο ειναι αρνητικη αρα θα ειναι :
f(x)=\frac{x^2-x+2-4}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)= \frac{x^2-x-2}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)=\frac{x-2x+x-2}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)=\frac{x(x-2)+x-2}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)=\frac{x+1}{x-4}
d) \displaystyle{ \frac{x^2+4x-12}{x-4} > 0 } Η οποια αληθευει για καθε \displaystyle{ x \in(-6,2) \cup (4,+\infty) }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4134
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Φεβ 09, 2012 7:09 am

ΑΣΚΗΣΗ 8: Να λυθε'ι η ανίσωση

\displaystyle{(x^{2}-4x+3)(x^{2}-6x)\leq 5(4x-x^{2}-3)}


dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από dr.tasos » Σάβ Φεβ 11, 2012 12:06 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8: Να λυθε'ι η ανίσωση

\displaystyle{(x^{2}-4x+3)(x^{2}-6x)\leq 5(4x-x^{2}-3)}


(x-3)(x-1)(x)(x-6) \leq -5(x-1)(x-3) \Leftrightarrow (x-3)(x-1)[x^2-5x-x+5] \leq 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3)(x-1)(x-5) \leq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x-3)(x-5) \leq 0 } από εδώ με ένα πινακάκι προκύπτει ότι \displaystyle{ x \in [3,5]\cup \left\{ 1 \right\}


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Σάβ Φεβ 25, 2012 9:43 pm

ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνεται η εξίσωση \displaystyle{(\lambda  + 1){x^2} - (3\lambda  - 2)x + (\lambda  + 1) = 0} \displaystyle{(1)}

α. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{(1)} για \displaystyle{\lambda  = 5}

β.\displaystyle{\lambda  > 4} να δείξετε οτι η εξίσωση \displaystyle{(1)} έχει δύο ρίζες.

γ. Να βρεθεί η τιμή του \displaystyle{\lambda  \in R} για την οποία η εξίσωση \displaystyle{(1)} έχει δύο ρίζες τις \displaystyle{{\rho _1},{\rho _2}} για τις οποίες ισχύει \displaystyle{\frac{1}{{{\rho _1}}} + \frac{1}{{{\rho _2}}} = \frac{{16}}{7}}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από dr.tasos » Σάβ Φεβ 25, 2012 10:14 pm

α) \displaystyle{ 6x^2-13x+6=0 }
\displaystyle{\Delta=25 } αρα \displaystyle{ x_{1}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2} , x_{2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} }
b) \displaystyle{ \Delta=9l^2+4-12l-4(l^2+1+2l)=9l^2-4l^2+4-4-12l-8l=5l^2-20l>0 } Απαιτώ \displaystyle{ \Delta > 0 }

\displaystyle{ l^2-4l>0 \Leftrightarrow l(l-4)>0 } Αρα για \displaystyle{ l \in (4,+\infty ) } έχει θετική διακρίνουσα αρα και δύο ανισες ρίζες

c) \displaystyle{ 7(r_{1}+r_{2})=16r_{1}r_{2} } Απο την εξίσωση μου θα πάρω ευκολα \displaystyle{ S=\frac{3l-2}{l+1} \wedge P=1 } άρα θα είναι
\displaystyle{ 21l-14=16l+16 \Leftrightarrow 5l=30 \Leftrightarrow l=6 }

Edit : Με αφορμη την δημοσιευση του Chortis απο κατω βλεπω πως παρασυρθηκα στο α και έφαγα εναν ασο.
τελευταία επεξεργασία από dr.tasos σε Σάβ Φεβ 25, 2012 10:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Ch.Chortis » Σάβ Φεβ 25, 2012 10:48 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9
Δίνεται η εξίσωση \displaystyle (\lambda  + 1){x^2} - (3\lambda  - 2)x + (\lambda  + 1) = 0} \displaystyle{(1)}
α. Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{(1)} για \displaystyle{\lambda  = 5}
β.\displaystyle{\lambda  > 4} να δείξετε οτι η εξίσωση \displaystyle{(1)} έχει δύο ρίζες.
γ. Να βρεθεί η τιμή του \displaystyle{\lambda  \in R} για την οποία η εξίσωση \displaystyle{(1)} έχει δύο ρίζες τις \displaystyle{{\rho _1},{\rho _2}} για τις οποίες ισχύει \displaystyle \frac {1} {\rho _1} + \frac{1} {\rho _2} = \frac {16} {7}

a Αντικαθστούμε την τιμή του \lambda στην (1) βρίσκουμε: \displaystyle 6x^2-13x+6=0 η διακρίνουσα της οποίας είναι η: \displaystyle D=(-13)^2-4*6*6=169-144=25 και τελικά οι λύσεις της: \displaystyle x_1= \frac {13+ \sqrt {25}} {2*6}=\frac {13+5} {12}=\frac {18} {12}=\frac {3} {2} και: \displaystyle x_2=\frac {13-5} {12}=\frac {8} {12}=\frac {2} {3}.b Βρίσκουμε τη διακρίνουσα της (1) δηλαδή: \displaystyle D(1)=(3\lambda -2)^2-4(\lambda +1) (\lambda +1)=9\lambda^2-12\lambda +4-4(\lambda^2+2\lambda +1)=5\lambda^2-20\lambda=5\lambda(\lambda-4) \geq 0 το οποίο προφανώς μηδενίζεται για \displaystyle \lambda=0,\lambda=4 και θετικές για \displaystyle \lambda >4.c Έχουμε από Vietta: \displaystyle  \rho_1+\rho_2=\frac {3\lambda -2} {\lambda +1}, \rho_1 \rho_2=\frac {\lambda +1} {\lambda +1}=1.Η σχέση που μας δίνετε να βρούμε γράφετε και έτσι: \displaystyle \frac {\rho_1+ \rho_2} {\rho_1 \rho_2}=\frac {16} {7} \Leftrightarrow \frac {3\lambda -2} {\lambda +1} =\frac {16} {7} \Leftrightarrow 7(3\lambda -2)=16{\lambda +1} \Leftrightarrow 21\lambda -16\lambda =16+14 \Leftrightarrow \lambda =\frac {30} {5}=6.Έγινε διόρθωση.Ευχαριστώ τον Κύριο ΚΑΤΣΙΠΟΔΑ για τα ΠΜ του.
τελευταία επεξεργασία από Ch.Chortis σε Κυρ Φεβ 26, 2012 12:13 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Μάκης Χατζόπουλος » Σάβ Φεβ 25, 2012 11:19 pm

Το τελευταίο θέμα που θέσαμε πέρυσι στις εξετάσεις του Ιουνίου στο σχολείο της Ζακύνθου!
***********************************************************************************************************************************************************************************************************

Άσκηση 10
Έστω η συνάρτηση f\left( x \right) = \left( {\left| x \right| + \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\left| x \right| - \sqrt {x + 1} } \right)

Δ1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και αποδείξτε ότι: f\left( x \right) = {x^2} - x - 1

Δ2. Να δείξετε ότι η εξίσωση f\left( x \right) = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες τις οποίες και να υπολογίσετε.

Δ3. Να λυθεί η εξίσωση f\left( {{x^2}} \right) = 11 ,όπου x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Δ4. Αν {x_1},{x_2} οι λύσεις της εξίσωσης του ερωτήματος Δ2, να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων

i. A = {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_1}} \right)^{2012}} \cdot {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_2}} \right)^{2012}}

ii. \displaystyle\frac{1}{{\sqrt[{4024}]{A} - 3}} + \frac{1}{{\sqrt[{4024}]{A} + 3}}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 428
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από dr.tasos » Κυρ Φεβ 26, 2012 12:36 am

a)\displaystyle{ x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1 \Leftrightarrow D_{f}=[-1,+\infty) } Με διαφορα τετραγώνων ευκολα καταληγω στο οτι \displaystyle{ f(x)=|x|^2-(x+1)=x^2-x-1}
b) \displaystyle{ \Delta=5>0 } άρα δυο ρίζες και ανισες με \displaystyle{ x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} }
c) \displaystyle{ 11=x^4-x^2-1 \Leftrightarrow x^4-x^2-12=0 } θέτω \displaystyle{ x^2=y  \geq 0 } παίρνω \displaystyle{ y^2-y-12=0 \Leftrightarrow y_{1}=4 \wedge y_{2}=-3 } απόριψη της δευτερης και έχω \displaystyle{ x^2=4 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2 }


d)
A=(2\sqrt{2}+\sqrt{2} \frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2012} \cdot (2\sqrt{2}+\sqrt{2}\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2012} \Leftrightarrow A=(\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}}{2})^{2012} \cdot (\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{5}}{2})^{2012} \Leftrightarrow A=(10)^{2012}B=\frac{\sqrt{10}-3+\sqrt{10}+3}{7}=\frac{2\sqrt{10}}{7}}


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Φεβ 26, 2012 7:32 am

dr.tasos έγραψε:d)
A=(2\sqrt{2}+\sqrt{2} \frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2012} \cdot (2\sqrt{2}+\sqrt{2}\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2012} \Leftrightarrow A=(\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}}{2})^{2012} \cdot (\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{5}}{2})^{2012} \Leftrightarrow A=(10)^{2012}

B=\frac{\sqrt{10}-3+\sqrt{10}+3}{7}=\frac{2\sqrt{10}}{7}}


Νομίζω ότι αυτός είναι φάκελος Δημήτρης - Τάσος! Τάσο πολύ σωστά, δίνω μια διαφορετική προσέγγιση (αυτή είχαμε κατά νου όταν θέσαμε την άσκηση) στο ερώτημα Δ4, (i) υποερώτημα,

\begin{array}{l}
 A = {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_1}} \right)^{2012}} \cdot {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_2}} \right)^{2012}} \\ 
  \\ 
  = {\left[ {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_1}} \right)\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_2}} \right)} \right]^{2012}} \\ 
  \\ 
  = {\left( {8 + 4{x_1} + 4{x_2} + 2{x_1}{x_2}} \right)^{2012}} \\ 
  \\ 
  = {\left[ {8 + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2}} \right]^{2012}} \\ 
  \\ 
  = {\left( {8 + 4 \cdot 1 - 2} \right)^{2012}} \\ 
  \\ 
  = {10^{2012}} \\ 
 \end{array}

Θυμάμαι ότι τότε είχα προτείνει και τις εξής διατυπώσεις (αλλά επειδή το 4ο θέμα θεωρήθηκε δύσκολο, το κάναμε πιο "ελαφρύ"):

Α΄ διατύπωση:
Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει η παράσταση A = {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_1}} \right)^{2012}} \cdot {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_2}} \right)^{2012}}

Β΄ διατύπωση
Βρείτε τον φυσικό αριθμό n, αν ισχύει {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_1}} \right)^n} \cdot {\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 2 {x_2}} \right)^n} = 100


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης