Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #1

Παρόλο που το forum δεν είναι φροντιστήριο, υπάρχουν αρκετοί μαθητές που το παρακολουθούν. Για εξάσκηση αυτών, καλό είναι να βάζουμε ασκήσεις στη δομή του τελικού διαγωνίσματος.Έτσι θα βελτιώσουμε και το φάκελο των ασκησεων μόνο για μαθητές. Στο τέλος, μπορούν όλες αυτές να γίνουν ένα ωραίο φυλλάδιο.

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2 - 4x + (2 - \lambda ) = 0,\lambda \in R}$ $\displaystyle{(1)}$

α. Για ποιές τιμές του $\displaystyle{\lambda \in R}$ η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις.

β. Να βρεθεί το $\displaystyle{\lambda \in R}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{x = \sqrt[6]{{2^2 }} \cdot \sqrt {\sqrt[3]{2}} }$ να είναι ρίζα της $\displaystyle{(1)}$

γ. Αν η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο πραγματικές ρίζες $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$ , να βρεθεί το $\displaystyle{\lambda \in R}$ , ώστε $\displaystyle{\left| {x_1 + x_2 + 3x_1 x_2 } \right| < 22}$

Για 2 ήμέρες από την ημέρα δημοσίευσης.

dr.tasos · #2

a) Για να εχουμε δυο ανισες πραγματικες ριζες θελουμε $\displaystyle{ \Delta > 0 }$ αρα $\displaystyle{ \Delta = 16-4(2-l) \Leftrightarrow \Delta=16-8+4l \Leftrightarrow \Delta = 4l+8 }$ πρεπει ομως $\displaystyle{ 4l+8 > 0 \Leftrightarrow 4l >-8 \Leftrightarrow l > -2 \Leftrightarrow l \ in ( -2,+\infty ) }$
β) το $\displaystyle{ x }$ ισουται με $\displaystyle{ x= \sqrt[6]{2^2} \cdot \sqrt[6]{2} \Leftrightarrow x= \sqrt[6]{2^2 \cdot 2} \Leftrightarrow x=\sqrt[6]{2^3} \Leftrightarrow x=\sqrt[2]{2} }$ Αντικαθιστω οπου $\displaystyle{ x }$ το $\displaystyle{ \sqrt{2} }$ στο τριωνυμο και παιρνω
$\displaystyle{ (\sqrt{2})^2-4\sqrt{2}+2-l=0 \Leftrightarrow 2+2-4\sqrt{2}-l=0 \Leftrightarrow l=4-4\sqrt{2} }$ που ειναι δεκτη λυση για τo $\displaystyle{ l }$ αφου ειναι $\displaystyle{ 4-4\sqrt{2} > -2 \Leftrightarow 4\sqrt{2}< 6 \Leftrightarrow 32 < 36 }$ που ισχυει
γ) απο Vietta παιρνω $\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=4 \wedge x_{1}x_{2}=2-l }$
αντικαθιστω στην σχεση που δινεται και εχω
$|4+3(2-l)| < 22 \Leftrightarrow |4+6-3l| < 22 \Leftrightarrow |10-3l|< 22 \Leftrightarrow -22<10-3l<22 \Leftrightarrow -22-10<-3l<22-10 \Leftrightarrow -32<-3l<12 \Leftrightarrow \frac{32}{3} > l > -4 \Leftrightarrow l \in (-4,\frac{32}{3})$ μας μενει μονο η συναληθευση με την ανισωση του πρωτου ερωτηματος . Γραφικα ευκολα φαινονται να συναληθευουν στο $\displaystyle{ l \in (-2,\frac{32}{3} ) }$ .

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #3

ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{\left| {x - 2} \right| - \left| {3x + 4} \right|}}{{\sqrt {4 - \left| x \right|} }} + \frac{\kappa }{{\sqrt {\left| x \right| - 1} }}}$

α. Να λύθούν οι ανισώσεις $\displaystyle{4 - \left| x \right| > 0}$ και $\displaystyle{\left| x \right| - 1 > 0}$

β.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$

γ.Αν το σημείο $\displaystyle{A(3, - 12)}$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{\kappa = 0}$

δ. Για $\displaystyle{\kappa = 0}$ , να λύθεί η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = 0}$

dr.tasos · #4

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{\left| {x - 2} \right| - \left| {3x + 4} \right|}}{{\sqrt {4 - \left| x \right|} }} + \frac{\kappa }{{\sqrt {\left| x \right| - 1} }}}$

α. Να λύθούν οι ανισώσεις $\displaystyle{4 - \left| x \right| > 0}$ και $\displaystyle{\left| x \right| - 1 > 0}$

β.Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{f}$

γ.Αν το σημείο $\displaystyle{A(3, - 12)}$ ανήκει στη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{\kappa = 0}$

δ. Για $\displaystyle{\kappa = 0}$ , να λύθεί η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = 0}$

a) $\displaystyle{ |x| < 4 \Leftrightarrow -4<x < 4 \Leftrightarrow x \in ( -4,4) }$ και η αλλη $\displaystyle{ |x| > 1 \Leftrightarrow x> 1 \vee x < -1 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-1) \cup ( 1,+\infty) }$ Συναληθεύουν στο $\displaystyle{ x \in (-4,-1) \cup (1,4) }$
b) συμφωνα με τις παραπανω το πεδιο ορισμου ειναι $\displaystyle{ A= (-4,-1) \cup (1,4) }$
c) εχω $\displaystyle{ f(3)=-12 \Leftrightarrow -12=\frac{|3-2|-|13|}{\sqrt{1}}+\frac{k}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow -12+12=\frac{k}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow k=0 }$ αρα εδειχθη
d) Αφου $\displaystyle{ k=0 }$ ευκολα η προς επιλυση εξισωση ειναι $\displaystyle{ \frac{|x-2|-|3x+4|}{\sqrt{4-|x|}} \Leftrightarrow 0=|x-2|-|3x+4| \Leftrightarrow |x-2|=|3x+4| \Leftrightarrow |x-2|^2=|3x+4|^2 \Leftrightarrow 4x^2+14x+6=0 \Leftrightarrow 2x^2+7x+3=0 }$ Βγαζω διακρινουσα στο τριωνυμο και ειναι $\displaystyle{ \Delta=25 }$ αρα ειναι $\displaystyle{ x_{1}=-3 \wedge x_{2}=\frac{-1}{2} }$ με την δευτερη λυση να αποριπτεται αφου δεν ανηκει στο πεδιο ορισμου .

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #5

ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{x^2 + (\lambda - 2)x + (2\lambda - 7),\lambda \in R}$

i. Να βρείτε την διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta }$ του τριωνύμου και να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\Delta = 0}$

ii. Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\displaystyle{\lambda \in R}$ για την οποία η εξίσωση $\displaystyle{x^2 + (\lambda - 2)x + (2\lambda - 7) = 0,\lambda \in R}$ $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο ομόσημες και άνισες ρίζες

iii. Αν $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$ οι δύο άνισες ρίζες της $\displaystyle{(1)}$ , τότε να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{\left| {3x_1 + 3x_2 + x_1 x_2 } \right| \le 21}$

iv. Να εξετάσετε αν μπορεί η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ να έχει δύο αντίθετες ρίζες .

dr.tasos · #6

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{x^2 + (\lambda - 2)x + (2\lambda - 7),\lambda \in R}$

i. Να βρείτε την διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta }$ του τριωνύμου και να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\Delta = 0}$

ii. Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\displaystyle{\lambda \in R}$ για την οποία η εξίσωση $\displaystyle{x^2 + (\lambda - 2)x + (2\lambda - 7) = 0,\lambda \in R}$ $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο ομόσημες και άνισες ρίζες

iii. Αν $\displaystyle{x_1 ,x_2 }$ οι δύο άνισες ρίζες της $\displaystyle{(1)}$ , τότε να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{\left| {3x_1 + 3x_2 + x_1 x_2 } \right| \le 21}$

iv. Να εξετάσετε αν μπορεί η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ να έχει δύο αντίθετες ρίζες .

a) $\displaystyle{ \Delta_{1}=l^2+4-4l-8l+28 \Leftrightarrow l^2-12l+32=0 \Leftrightarrow l^2-4l-8l+32=0 \Leftrightarrow l(l-4)-8(l-4)=0 \Leftrightarrow (l-8)(l-4)=0 \Leftrightarrow l=4 \vee l=8 }$
b) Πρεπει $\displaystyle{ \Delta > 0 \wedge x_{1}x_{2} > 0 \Leftrightarrow 2l-7> 0 \wedge l^2-12l+36-4> 0 \Leftrightarrow l> \frac{7}{2} \wedge (l-8)(l-4) > 0 \Leftrightarrow l \in ( \frac{7}{2},+\infty) \wedge (-\infty,4) \cup ( 8,+\infty) }$ που συναληθευουν στο $\displaystyle{ l \in (\frac{7}{2},4) \cup (8,+\infty) }$
c) $\Delta =(l-8)(l-4) > 0 \Leftrightarrow l \in ( -\infty,4) \cup (8,+\infty) \quad (1)$ $\displaystyle{ . }$ $6-3l+2l-7| \leq 21 \Leftrightarrow |l+1| \leq 21 \Leftrightarrow l \in [-22,20]$ που συναληθευουν με την (1)

στο $l \in [-22,4) \cup (8,20]$
d) $S=0 \Leftrightarrow 2-l=0 \Leftrightarrow l=2$ που ειναι δεκτη .

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #7

ΑΣΚΗΣΗ 4

Για τους αριθμούς $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\alpha ^2 + \beta ^2 - 4\alpha + 6\beta + 13 = 0}$

α. Να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

Για τους αριθμούς $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ που βρήκατε στο α) ερώτημα

β. Να μετατρέψετε το κλάσμα $\displaystyle{A = \frac{{15}}{{\sqrt {\alpha - \beta } \cdot (\sqrt \alpha + \beta )}}}$ σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{{\rm B} = \sqrt { - \beta + \alpha \sqrt \alpha } - \sqrt { - \beta - \alpha \sqrt \alpha } }$

δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{\Delta = \sqrt {\alpha \sqrt[3]{\alpha }} \cdot \sqrt[3]{\alpha } - \beta }$

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2 - 2\lambda x + \lambda (\lambda + 3) = 0}$ $\displaystyle{(1)}$

α. Να βρείτε για ποίες τιμές του $\displaystyle{\lambda \in R}$ η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις

β.Έστω $\displaystyle{S}$ και $\displaystyle{P}$ το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{(1)}$ . Άν ισχύει $\displaystyle{P - S = 12}$ , να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{\lambda \in R}$

Για την τιμή του $\displaystyle{\lambda \in R}$ που βρήκατε στο β) ερώτημα,τότε:

γ. Να υπολογίσετε την παράσταση $\displaystyle{A = \frac{{x_1 }}{{x_2 }} + \frac{{x_2 }}{{x_1 }}}$

δ. Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού, με ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle{x_1 ^2 x_2 }$ και $\displaystyle{x_2 ^2 x_1 }$

dr.tasos · #8

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4

Για τους αριθμούς $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\alpha ^2 + \beta ^2 - 4\alpha + 6\beta + 13 = 0}$

α. Να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

Για τους αριθμούς $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ που βρήκατε στο α) ερώτημα

β. Να μετατρέψετε το κλάσμα $\displaystyle{A = \frac{{15}}{{\sqrt {\alpha - \beta } \cdot (\sqrt \alpha + \beta )}}}$ σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{{\rm B} = \sqrt { - \beta + \alpha \sqrt \alpha } - \sqrt { - \beta - \alpha \sqrt \alpha } }$

δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{\Delta = \sqrt {\alpha \sqrt[3]{\alpha }} \cdot \sqrt[3]{\alpha } - \beta }$

a) $\displaystyle{ (a-2)^2+(b+3)^2=0 \Leftrightarrow a=2 \wedge b=-3 }$
b) $\displaystyle{ A=\frac{15}{\sqrt{5}(\sqrt{2}-3)} \Leftrightarrow A=\frac{15\sqrt{5}(\sqrt{2}+3)}{5(2-9)} \Leftrightarrow A=\frac{15\sqrt{10}+45\sqrt{5}}{-35} \Leftrightarrow A=\frac{15(\sqrt{10}+3\sqrt{5})}{-5 \cdot 7} \Leftrightarrow A=\frac{-3(\sqrt{10}+3\sqrt{5})}{7} }$

c) $\displaystyle{ B^2=-b+a\sqrt{a}-b-a\sqrt{a}-2\sqrt{b^2-a^3} \Leftrightarrow B^2=-2b-2\sqrt{1}=6-2 \Leftrightarrow B^2=4 \Leftrightarrow B=2 }$ το $\displaystyle{ -2 }$ αποριπτεται αφου η αριστερη ποσοτητα ειναι μεγαλυτερη απο την δεξια .

d) $\displaystyle{ \Leftrightarrow D=\sqrt{\sqrt[3]{2^4}} \cdot \sqrt[3]{2}+3 \Leftrightarrow D=2+3=5 }$

dr.tasos · #9

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2 - 2\lambda x + \lambda (\lambda + 3) = 0}$ $\displaystyle{(1)}$

α. Να βρείτε για ποίες τιμές του $\displaystyle{\lambda \in R}$ η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις

β.Έστω $\displaystyle{S}$ και $\displaystyle{P}$ το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{(1)}$ . Άν ισχύει $\displaystyle{P - S = 12}$ , να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{\lambda \in R}$

Για την τιμή του $\displaystyle{\lambda \in R}$ που βρήκατε στο β) ερώτημα,τότε:

γ. Να υπολογίσετε την παράσταση $\displaystyle{A = \frac{{x_1 }}{{x_2 }} + \frac{{x_2 }}{{x_1 }}}$

δ. Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού, με ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle{x_1 ^2 x_2 }$ και $\displaystyle{x_2 ^2 x_1 }$

α) Βγαζω διακρινουσα στο τριωνυμο που απαιτω να ειναι θετικη και παιρνω

$\displaystyle{ \Delta=4l^2-4l^2-12l \Leftrightarrow -12l> 0 \Leftrightarrow l<0 }$

b) $\displaystyle{ l(l+3)-2l=12 \Leftrightarrow l^2+l-12=0 \Leftrightarrow l=3 \vee l=-4 }$ Η δευτερη δεκτη η πρωτη αποριπτεται λογω περιοσμων που εχουν τεθει στο α ερωτημα .

c) $\displaystyle{ A=\frac{x_{1}^2+x_{2}^2}{x_{1}x_{2}} \Leftrightarrow A=\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{2l^2-6l}{l^2+3l} \Leftrightarrow A=\frac{32+24}{4}=\frac{56}{4}=4 }$

δ) $\displaystyle{ S=-32 \wedge P=64 }$ αρα ειναι η $\displaystyle{ x^2+32-64=0 }$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #10

ΑΣΚΗΣΗ 6

α. Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{x^2 + 3x - 10 < 0}$

β. Για τις τιμές του $\displaystyle{x}$ που βρήκατε στο α) ερώτημα να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{\alpha = 2\left| {x + 5} \right| - 3\left| {x - 2} \right| + 5\left| {x - 4} \right|}$

γ. Για την τιμή του $\displaystyle{\alpha }$ που βρήκατε στο β) ερώτημα να υπολογίσετε την παράσταση
$\displaystyle{B = \sqrt[3]{{3 + \sqrt[4]{{a + 1}}}} \cdot \sqrt[3]{{3 - \sqrt[4]{{a + 1}}}} \cdot \sqrt[3]{2}}$

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{\left| { - x^2 + x - 2} \right| - 4}}{{x^2 - 6x + 8}}}$

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού $\displaystyle{A}$ της συνάρτησης $\displaystyle{f}$

β. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει $\displaystyle{ - x^2 + x - 2 < 0}$

γ. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ απλοποιείται στη μορφή $\displaystyle{f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 4}},x \inA}$

δ. Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{x \cdot f(x) > - \frac{{f(5)}}{2}}$

μεχρι 12/2/2012

dr.tasos · #11

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6

α. Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{x^2 + 3x - 10 < 0}$

β. Για τις τιμές του $\displaystyle{x}$ που βρήκατε στο α) ερώτημα να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{\alpha = 2\left| {x + 5} \right| - 3\left| {x - 2} \right| + 5\left| {x - 4} \right|}$

γ. Για την τιμή του $\displaystyle{\alpha }$ που βρήκατε στο β) ερώτημα να υπολογίσετε την παράσταση
$\displaystyle{B = \sqrt[3]{{3 + \sqrt[4]{{a + 1}}}} \cdot \sqrt[3]{{3 - \sqrt[4]{{a + 1}}}} \cdot \sqrt[3]{2}}$

a)
$\displaystyle{ \Delta=49 }$ αρα $\displaystyle{ x_{1}=-5 \wedge x_{2}=2 }$
Από ένα πινακακι προσήμων προκύπτει ότι η ανίσωση αληθεύει για κάθε $\displaystyle{ x \in (-2,5) \Leftrightarrow -5<x<2 }$
β) $\displaystyle{ x-2< 0 \quad \Rightarrow |x-2|=2-x \quad (1) }$
$\displaystyle{ x-5> 0 \Rightarrow |x-5|=x-5 \quad (2) }$
$\displaystyle{ x-4 < -2<0 \Rightarrow |x-4|=4-x \quad (3) }$
Άρα με την βοήθεια αυτών των σχέσεων η $\displaystyle{ a }$ γινεται :
$\displaystyle{a=2x+10+3x-6-5x+20 \Leftrightarrow a=24 }$
c) $\displaystyle{ B=\sqrt[3]{3+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{3-\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2} \Leftrightarrow B=\sqrt[3}{2^2} \cdot \sqrt[3]{2} \Leftrightarrow B=\sqrt[3]{2^3}=2 }$

dr.tasos · #12

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{\left| { - x^2 + x - 2} \right| - 4}}{{x^2 - 6x + 8}}}$

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού $\displaystyle{A}$ της συνάρτησης $\displaystyle{f}$

β. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει $\displaystyle{ - x^2 + x - 2 < 0}$

γ. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ απλοποιείται στη μορφή $\displaystyle{f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 4}},x \inA}$

δ. Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{x \cdot f(x) > - \frac{{f(5)}}{2}}$

μεχρι 12/2/2012

α ) Πρεπει $\displaystyle{ x^2-6x+8 \ne 0 \Leftrightarrow x^2-2x-4x+8 \ne 0 \Leftrightarrow x(x-2)-4(x-2) \ne 0 \Leftrightarrow (x-4)(x-2) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 4 \wedge x \ne 2 }$
b) $\displaystyle{ -x^2+x-2 <0 \Leftrightarrow x^2-x+2 >0 \Leftrightarrow 2x^2-2x+4 >0 (x-1)^2+x^2+3 > 0 }$ που ισχυει για καθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$
c) αφου εχω αποδειξει οτι $\displaystyle{ -x^2+x-2 <0 }$ για καθε $\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }$ τοτε η ποσοτητα στο απολυτο ειναι αρνητικη αρα θα ειναι :
$f(x)=\frac{x^2-x+2-4}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)= \frac{x^2-x-2}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)=\frac{x-2x+x-2}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)=\frac{x(x-2)+x-2}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-4)(x-2)} \Leftrightarrow f(x)=\frac{x+1}{x-4}$
d) $\displaystyle{ \frac{x^2+4x-12}{x-4} > 0 }$ Η οποια αληθευει για καθε $\displaystyle{ x \in(-6,2) \cup (4,+\infty) }$

#13

ΑΣΚΗΣΗ 8: Να λυθε'ι η ανίσωση

$\displaystyle{(x^{2}-4x+3)(x^{2}-6x)\leq 5(4x-x^{2}-3)}$

dr.tasos · #14

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8: Να λυθε'ι η ανίσωση

$\displaystyle{(x^{2}-4x+3)(x^{2}-6x)\leq 5(4x-x^{2}-3)}$

$(x-3)(x-1)(x)(x-6) \leq -5(x-1)(x-3) \Leftrightarrow (x-3)(x-1)[x^2-5x-x+5] \leq 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3)(x-1)(x-5) \leq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x-3)(x-5) \leq 0 }$ από εδώ με ένα πινακάκι προκύπτει ότι $\displaystyle{ x \in [3,5]\cup \left\{ 1 \right\}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #15

ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{(\lambda + 1){x^2} - (3\lambda - 2)x + (\lambda + 1) = 0}$ $\displaystyle{(1)}$

α. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{\lambda = 5}$

β. Aν $\displaystyle{\lambda > 4}$ να δείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο ρίζες.

γ. Να βρεθεί η τιμή του $\displaystyle{\lambda \in R}$ για την οποία η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο ρίζες τις $\displaystyle{{\rho _1},{\rho _2}}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{\frac{1}{{{\rho _1}}} + \frac{1}{{{\rho _2}}} = \frac{{16}}{7}}$

dr.tasos · #16

α) $\displaystyle{ 6x^2-13x+6=0 }$
$\displaystyle{\Delta=25 }$ αρα $\displaystyle{ x_{1}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2} , x_{2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} }$
b) $\displaystyle{ \Delta=9l^2+4-12l-4(l^2+1+2l)=9l^2-4l^2+4-4-12l-8l=5l^2-20l>0 }$ Απαιτώ $\displaystyle{ \Delta > 0 }$

$\displaystyle{ l^2-4l>0 \Leftrightarrow l(l-4)>0 }$ Αρα για $\displaystyle{ l \in (4,+\infty ) }$ έχει θετική διακρίνουσα αρα και δύο ανισες ρίζες

c) $\displaystyle{ 7(r_{1}+r_{2})=16r_{1}r_{2} }$ Απο την εξίσωση μου θα πάρω ευκολα $\displaystyle{ S=\frac{3l-2}{l+1} \wedge P=1 }$ άρα θα είναι
$\displaystyle{ 21l-14=16l+16 \Leftrightarrow 5l=30 \Leftrightarrow l=6 }$

Edit : Με αφορμη την δημοσιευση του Chortis απο κατω βλεπω πως παρασυρθηκα στο α και έφαγα εναν ασο.

Ch.Chortis · #17

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle (\lambda + 1){x^2} - (3\lambda - 2)x + (\lambda + 1) = 0}$ $\displaystyle{(1)}$
α. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{\lambda = 5}$
β. Aν $\displaystyle{\lambda > 4}$ να δείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο ρίζες.
γ. Να βρεθεί η τιμή του $\displaystyle{\lambda \in R}$ για την οποία η εξίσωση $\displaystyle{(1)}$ έχει δύο ρίζες τις $\displaystyle{{\rho _1},{\rho _2}}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle \frac {1} {\rho _1} + \frac{1} {\rho _2} = \frac {16} {7}$

a Αντικαθστούμε την τιμή του $\lambda$ στην (1)

βρίσκουμε: $\displaystyle 6x^2-13x+6=0$ η διακρίνουσα της οποίας είναι η: $\displaystyle D=(-13)^2-4*6*6=169-144=25$ και τελικά οι λύσεις της: $\displaystyle x_1= \frac {13+ \sqrt {25}} {2*6}=\frac {13+5} {12}=\frac {18} {12}=\frac {3} {2}$ και: $\displaystyle x_2=\frac {13-5} {12}=\frac {8} {12}=\frac {2} {3}$ .b Βρίσκουμε τη διακρίνουσα της (1)

δηλαδή: $\displaystyle D(1)=(3\lambda -2)^2-4(\lambda +1) (\lambda +1)=9\lambda^2-12\lambda +4-4(\lambda^2+2\lambda +1)=5\lambda^2-20\lambda=5\lambda(\lambda-4) \geq 0$ το οποίο προφανώς μηδενίζεται για $\displaystyle \lambda=0,\lambda=4$ και θετικές για $\displaystyle \lambda >4$ .c Έχουμε από Vietta: $\displaystyle \rho_1+\rho_2=\frac {3\lambda -2} {\lambda +1}, \rho_1 \rho_2=\frac {\lambda +1} {\lambda +1}=1$ .Η σχέση που μας δίνετε να βρούμε γράφετε και έτσι: $\displaystyle \frac {\rho_1+ \rho_2} {\rho_1 \rho_2}=\frac {16} {7} \Leftrightarrow \frac {3\lambda -2} {\lambda +1} =\frac {16} {7} \Leftrightarrow 7(3\lambda -2)=16{\lambda +1} \Leftrightarrow 21\lambda -16\lambda =16+14 \Leftrightarrow \lambda =\frac {30} {5}=6$ .Έγινε διόρθωση.Ευχαριστώ τον Κύριο ΚΑΤΣΙΠΟΔΑ για τα ΠΜ του.

Μάκης Χατζόπουλος · #18

Το τελευταίο θέμα που θέσαμε πέρυσι στις εξετάσεις του Ιουνίου στο σχολείο της Ζακύνθου!
***********************************************************************************************************************************************************************************************************

Άσκηση 10
Έστω η συνάρτηση $f\left( x \right) = \left( {\left| x \right| + \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\left| x \right| - \sqrt {x + 1} } \right)$

Δ1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και αποδείξτε ότι: $f\left( x \right) = {x^2} - x - 1$

Δ2. Να δείξετε ότι η εξίσωση $f\left( x \right) = 0$ έχει δύο ρίζες ετερόσημες τις οποίες και να υπολογίσετε.

Δ3. Να λυθεί η εξίσωση $f\left( {{x^2}} \right) = 11$ ,όπου x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Δ4. Αν ${x_1},{x_2}$ οι λύσεις της εξίσωσης του ερωτήματος Δ2, να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων

i. $A = {\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_1}} \right)^{2012}} \cdot {\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_2}} \right)^{2012}}$

ii. $\displaystyle\frac{1}{{\sqrt[{4024}]{A} - 3}} + \frac{1}{{\sqrt[{4024}]{A} + 3}}$

dr.tasos · #19

a) $\displaystyle{ x+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1 \Leftrightarrow D_{f}=[-1,+\infty) }$ Με διαφορα τετραγώνων ευκολα καταληγω στο οτι $\displaystyle{ f(x)=|x|^2-(x+1)=x^2-x-1}$
b) $\displaystyle{ \Delta=5>0 }$ άρα δυο ρίζες και ανισες με $\displaystyle{ x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} }$
c) $\displaystyle{ 11=x^4-x^2-1 \Leftrightarrow x^4-x^2-12=0 }$ θέτω $\displaystyle{ x^2=y \geq 0 }$ παίρνω $\displaystyle{ y^2-y-12=0 \Leftrightarrow y_{1}=4 \wedge y_{2}=-3 }$ απόριψη της δευτερης και έχω $\displaystyle{ x^2=4 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2 }$

d)
$A=(2\sqrt{2}+\sqrt{2} \frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2012} \cdot (2\sqrt{2}+\sqrt{2}\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2012} \Leftrightarrow A=(\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}}{2})^{2012} \cdot (\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{5}}{2})^{2012} \Leftrightarrow A=(10)^{2012}$ $B=\frac{\sqrt{10}-3+\sqrt{10}+3}{7}=\frac{2\sqrt{10}}{7}}$

Μάκης Χατζόπουλος · #20

dr.tasos έγραψε: d)
$A=(2\sqrt{2}+\sqrt{2} \frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2012} \cdot (2\sqrt{2}+\sqrt{2}\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2012} \Leftrightarrow A=(\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}}{2})^{2012} \cdot (\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{5}}{2})^{2012} \Leftrightarrow A=(10)^{2012}$

$B=\frac{\sqrt{10}-3+\sqrt{10}+3}{7}=\frac{2\sqrt{10}}{7}}$

Νομίζω ότι αυτός είναι φάκελος Δημήτρης - Τάσος! Τάσο πολύ σωστά, δίνω μια διαφορετική προσέγγιση (αυτή είχαμε κατά νου όταν θέσαμε την άσκηση) στο ερώτημα Δ4, (i) υποερώτημα,

$\begin{array}{l} A = {\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_1}} \right)^{2012}} \cdot {\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_2}} \right)^{2012}} \\ \\ = {\left[ {\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_1}} \right)\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_2}} \right)} \right]^{2012}} \\ \\ = {\left( {8 + 4{x_1} + 4{x_2} + 2{x_1}{x_2}} \right)^{2012}} \\ \\ = {\left[ {8 + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2}} \right]^{2012}} \\ \\ = {\left( {8 + 4 \cdot 1 - 2} \right)^{2012}} \\ \\ = {10^{2012}} \\ \end{array}$

Θυμάμαι ότι τότε είχα προτείνει και τις εξής διατυπώσεις (αλλά επειδή το 4ο θέμα θεωρήθηκε δύσκολο, το κάναμε πιο "ελαφρύ"):

Α΄ διατύπωση:
Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει η παράσταση $A = {\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_1}} \right)^{2012}} \cdot {\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_2}} \right)^{2012}}$

Β΄ διατύπωση
Βρείτε τον φυσικό αριθμό

, αν ισχύει ${\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_1}} \right)^n} \cdot {\left( {2\sqrt 2 + \sqrt 2 {x_2}} \right)^n} = 100$

Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Re: Ασκήσεις άλγεβρας Ά λυκείου

Μέλη σε σύνδεση