Εύρεση παραμέτρου (Α' Άλγεβρα)

Γιώργος Απόκης · #1

Να βρεθουν οι τιμές της παραμέτρου

ώστε η σχέση $\displaystyle{-3<\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}<2}$ να ισχύει για κάθε πραγματικό

.

(Μέχρι 08/02/12)

dr.tasos · #2

το $\displaystyle{ x^2-x+1 }$ είναι της μορφής $\displaystyle{ a^2-ab+b^2> 0 }$ που ειναι θετικο για καθε $\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}-\left\{ 0\right\} }$
Έτσι μπορώ να πολλαπλασιάσω με $\displaystyle{ x^2-x+1 }$ άρα η ανίσωση γίνεται ισοδύναμα $\displaystyle{ -3(x^2-x+1) < x^2+ax-2<2(x^2-x+1) }$ Για την αριστερή $\displaystyle{ -3x^2+3x-3 < x^2+ax-2 \Leftrightarrow 0 < 4x^2-3x+ax+1 \Leftrightarrow 4x^2+x(a-3)+1 }$ Βγάζω διακρίνουσα η οποία απαιτώ να είναι αρνητική για να ισχύει για κάθε $\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }$ αρα έχω $\displaystyle{ \Delta _{1}=(a-3)^2-16 \Leftrightarrow \Delta _{1}=a^2+9-6a-7 \Leftrightarrow \Delta_{1}=a^2-7a+a-7 \Leftrightarrow \Delta_{1}=a(a+1)-7(a+1) \Leftrightarrow \Delta_{1}=(a+1)(a-7) }$ όμως πρεπει $\displaystyle{ \Delta_{1} < 0 \Leftrightarrow (a+1)(a-7) <0 \Leftrightarrow a \in (-1,7) \quad (1) }$
Για την δεξιά τώρα
$\displaystyle{ x^2+ax-2 < 2x^2-2x+2 \Leftrightarrow -x^2+ax+2x-4 < 0 \Leftrightarrow x^2-ax-2x+4 > 0 \Leftrightarrow x^2-x(a+2)+4 > 0 }$ Για να ισχύει όμως για κάθε $\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }$ απαιτώ η διακρίνουσα να είναι αρνητική άρα είναι $\displaystyle{ \Delta_{2}=a^2+4a+4-16 \Leftrightarrow \Delta_{2}=a^2+4a-12 \Leftrightarrow \Delta_{2}=a^2+6a-2a-12 \Leftrightarrow \Delta_{2}=a(a+6)-2(a+6) \Leftrightarrow \Delta_{2}=(a-2)(a-6) }$ Ομως πρεπει $\displaystyle{ \Delta_{2} < 0 \Leftrightarrow (a-2)(a-6) <0 \Leftrightarrow a \in (-6,2) \quad (2) }$ Συναληθεύω τις $\displaystyle{ (1) }$ και $\displaystyle{ (2) }$ και έχω ότι $\displaystyle{ a \in (-1,2) }$

Εύρεση παραμέτρου (Α' Άλγεβρα)

Εύρεση παραμέτρου (Α' Άλγεβρα)

Re: Εύρεση παραμέτρου (Α' Άλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση