Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Γιώργος Απόκης · #1

[Αν και ελαφρώς.. εκτός ύλης από φέτος!]

Αν x_1,x_2

οι ρίζες της εξίσωσης (m-1)x^2-(m+1)x+(m-2)=0

, να βρεθουν οι τιμές της παραμέτρου $m\ne 1$

ώστε η παράσταση x_1^2+x_2^2+x_1x_2

να παίρνει τιμές στο διάστημα (1,2)

.

(Μέχρι 08/02/12)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Γιώργος Απόκης · #2

Eπαναφέρω με μια μικρή βοήθεια:

Έστω $\displaystyle{A=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\overset{Vietta}=\left(\frac{m+1}{m-1}\right)^2-2\cdot\frac{m-2}{m-1}=\dots}$

Πρέπει : $1<A<2\Leftrightarrow \begin{cases} A>1\\A<2 \end{cases}\dots$

Ch.Chortis · #3

Καλημέρα στους αγαπητούς φίλους του mathematica.Επιλέγω να απαντήσω σε αυτό το θέμα γιατί με εχει βασανίσει.Δεν έχω βρεί ακόμη λύση ΑΛΛΑ θα σας περιγράψω τις σκέψεις μου.Χρησιμοποιώντας τους τύπους Vietta καταλήγω στο οτι: $\displaystyle x^2_1+x^2_2+x_1x_2= (\frac {m+1} {m-1})^2 -\frac{m-2} {m-1}$ .Χρησιμοποιώντας τώρα τους περιορισμούς έχω: $\displaystyle (\frac {m+1} {m-1})^2- \frac {m-2} {m-1} > 1 \leftrightarrow \frac {(m+1)^2} {(m-1)^2} - \frac {m-2} {m-1} > 1 \leftrightarrow (m+1)^2-(m-1)(m-2) > (m-1)^2 \leftrightarrow 5m-1 > m^2-2m+1 \leftrightarrow 0> m^2-7m+2 (1)$ . Επίσης: $\displaystyle (\frac {m+1} {m-1})^2 + \frac {m-2} {m-1} < 2 \leftrightarrow 5m-1< 2(m^2-2m+1) \leftrightarrow 5m-1 <2m^2 -4m+2 \leftrightarrow 2m^2-9m+3> 0(2)$ . Παίρνοντας τώρα τις διακρίνουσες των ανισώσεων (1) και (2) ( D(1)=41

,

) βρίσκουμε οτι οι λύσεις τους συγκλίνουν σε δύο διαστήματα: $\displaystyle \frac{7+\sqrt{41}} {2}> m_1 > \frac {9+\sqrt{57}} {4}$ και $\displaystyle \frac {9-\sqrt{57}} {4} > m_2 >\frac {7-\sqrt{41}} {2}$ .ΟΜΩΣ οι λύσεις που βρήκαμε, θα πρέπει να ικανοποιούν και την εξίσωση: (m-1)x^2-(m+1)+(m-2)=0(3)

η οποία έχει διακρίνουσα: $\displaystyle D(3)=[-(m+1)]^2-4 (m-1) (m-2) >0 \leftrightarrow (m+1)^2 -4(m^2-3m+2) >0 \leftrightarrow m^2+2m+1-4m^2+12m-8 > 0 \leftrightarrow -3m^2+14m-7>0 \leftrightarrow 3m^2-14m+7<0(4)$ .Για να έχει λύση στους πραγματικούς η (3) θα πρέπει: $\displaystyle \frac{14+\sqrt{112}} {6} >m > \frac{14-\sqrt{112}} {6}$ αφού D(4)=112

,λύση που δε συμβαδίζει με τις άλλες δύο ως προς m.Συνεπώς,τουλάχιστον στους πραγματικούς αριθμούς,δεν υπάρχει τέτοια παράμετρος m που να επαληθεύει τις απαιτήσεις σας Κ.Απόκη.Έγινε διόρθωση.Θα μπορούσε κάποιος να μου πει αν η απάντησή μου ειναι σωστή;Άμα υπάρχει πρόβλημα τη διορθώνω εκ νέου.Ελπίζω να μη δημιούργησα πρόβλημα

Γιώργος Απόκης · #4

Έχει δίκιο ο Ch.Chortis. Η απάντηση είναι αυτή...

parmenides51 · #5

Ch.Chortis έγραψε:ΣΗΜΕΙΩΣΗ:δε ξέρω γιατί μου βγάζει λάθος στη formula

Καλησπέρα, έγραψες

Κώδικας: Επιλογή όλων

\frac {9-\sqrt{57}} {4} > m_2 > \frac {7-\sqrt{41} {2}

ενώ έπρεπε να γράψεις

Κώδικας: Επιλογή όλων

\frac {9-\sqrt{57}} {4} > m_2 > \frac {7-\sqrt{41}} {2}

ιδού $\displaystyle{\frac {9-\sqrt{57}} {4} > m_2 > \frac {7-\sqrt{41}} {2}}$

κοινώς, ξέχασες να κλείσεις την αγκύλη του αριθμητή στο δεύτερο κλάσμα

Γιώργος Απόκης · #6

Ch.Chortis έγραψε:Έγινε διόρθωση.Θα μπορούσε κάποιος να μου πει αν η απάντησή μου ειναι σωστή;Άμα υπάρχει πρόβλημα τη διορθώνω εκ νέου.Ελπίζω να μη δημιούργησα πρόβλημα

Ακριβώς αυτή είναι η απάντηση...

Ch.Chortis · #7

Σας ευχαριστώ παρα, μα παρα πολύ για τις επισημάνσεις σας,Κ.parmenides και Κ.Γιώργο

.Για πρώτη φορά πάντως που χρησιμοποίησα LATEX, πιστεύω πως καλά τα πήγα

.

Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Re: Εξίσωση και ανίσωση (Α' Άλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση