Άθροισμα τετραγώνων ριζών (Α' 'Αλγεβρα)

Γιώργος Απόκης · #1

Να βρεθούν οι τιμές του

ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης :

(2a-3)x^2+(a-1)x-3a+4=0

να ισούται με

.

(Μέχρι 09/02/12)

dr.tasos · #2

Θα ειναι $\displaystyle{ \Delta=(5a-7)^2 > 0 , \forall x \in \mathbb{R}-\left\{0 \right\} }$

Απο Vietta εχω $\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=\frac{1-a}{2a-3} \wedge x_{1}x_{2}=\frac{4-3a}{2a-3} }$

Η υποθεση λεει οτι $\displaystyle{ x_{1}^2+x_{2}^2=5 \Leftrightarrow \frac{a-1}{2a-3}^2+2\frac{3a-4}{2a-3} =5 \Leftrightarrow -7a^2+24a-20=0 }$ που δινει ριζες

$\displaystyle{a_{1}=2 \wedge a_{2}=\frac{10}{7} }$ .

Γιώργος Απόκης · #3

dr.tasos έγραψε:Θα ειναι $\displaystyle{ \Delta=(5a-7)^2 > 0 , \forall x \in \mathbb{R}-\left\{0 \right\} }$

Απο Vietta εχω $\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=\frac{1-a}{2a-3} \wedge x_{1}x_{2}=\frac{4-3a}{2a-3} }$

Η υποθεση λεει οτι $\displaystyle{ x_{1}^2+x_{2}^2=5 \Leftrightarrow \frac{a-1}{2a-3}^2+2\frac{3a-4}{2a-3} =5 \Leftrightarrow a^2+12a^2-4a^2-34a+12a+16= 0 \Leftrightarrow (3a-4)=0 \Leftrightarrow a=\frac{4}{3} }$ Τιμη που ειναι δεκτη .

Tάσο καλημέρα. Σωστά σκέφτηκες να πάρεις τους τύπους Vietta, όμως κάποιο αριθμητικό έχει γίνει προς το τέλος...

Ένας τρόπος να "σώσουμε" το λάθος είναι να κάνουμε μια επαλήθευση. Αν αντικαταστήσουμε $\displaystyle{a=\frac{4}{3}}$ στην αρχική :

$\displaystyle{\left(\frac{8}{3}-3\right)x^2+\left(\frac{4}{3}-1\right)x-3\cdot\frac{4}{3}+4=0\Leftrightarrow -\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x=0\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow x=0~\acute{\eta}~x=1}$

ρίζες που έχουν άθροισμα τετραγώνων ίσο με

και όχι

...

Γιώργος Απόκης · #4

dr.tasos έγραψε:Θα ειναι $\displaystyle{ \Delta=(5a-7)^2 > 0 , \forall x \in \mathbb{R}-\left\{0 \right\} }$

Απο Vietta εχω $\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=\frac{1-a}{2a-3} \wedge x_{1}x_{2}=\frac{4-3a}{2a-3} }$

Η υποθεση λεει οτι $\displaystyle{ x_{1}^2+x_{2}^2=5 \Leftrightarrow \frac{a-1}{2a-3}^2+2\frac{3a-4}{2a-3} =5 \Leftrightarrow -7a^2+24a-20=0 }$ που δινει ριζες $\displaystyle{a_{1}=2 \wedge a_{2}=\frac{10}{7} }$ .

Σωστά Τάσο! Και η (σωτήρια πολλές φορές) επαλήθευση:

$\bullet$ Για a=2

έχουμε την εξίσωση x^2-x-2=0

με ρίζες

και

που έχουν άθροισμα τετραγώνων ίσο με

.

$\bullet$ Για $\displaystyle{a=\frac{10}{7}}$ έχουμε την εξίσωση $\displaystyle{-\frac{1}{7}x^2+\frac{3}{7}x-\frac{2}{7}=0}\Leftrightarrow x^2-3x+2=0$ με ρίζες

και

που έχουν

άθροισμα τετραγώνων ίσο με

.

Άθροισμα τετραγώνων ριζών (Α' 'Αλγεβρα)

Άθροισμα τετραγώνων ριζών (Α' 'Αλγεβρα)

Re: Άθροισμα τετραγώνων ριζών (Α' 'Αλγεβρα)

Re: Άθροισμα τετραγώνων ριζών (Α' 'Αλγεβρα)

Re: Άθροισμα τετραγώνων ριζών (Α' 'Αλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση