Και πάλι Vietta ! (Α' Άλγεβρα)

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η εξίσωση $\sqrt{a}x^2+(\sqrt{a}+b)x+b=0$ με $a>0,~b\ne \sqrt{a}$ .

α) Να αποδείξετε ότι έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες για όλες τις τιμές των a,b

.

β) Αν x_1,x_2

οι ρίζες, να αποδείξετε ότι ισχύει : x_1+x_2+x_1x_2=-1

.

γ) Αν μία ρίζα είναι ο αριθμός $-\sqrt{a}$ , να δείξετε ότι b=a

και να βρείτε την άλλη ρίζα.

(Μέχρι 21/02/12)

dr.tasos · #2

a) $\displaystyle{ \Delta=a+b^2-2\sqrt{a}b \Leftrightarrow \Delta = (\sqrt{a}-b)^2 > 0 }$ άρα έχει δύο άνισες και πραγματικές ρίζες στο $\displaystyle{ \mathbb{R}$
b) $-\frac{\sqrt{a}+b}{\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=1 \Leftrightarrow \frac{-\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=-1 \Leftrightarrow -1=-1$ που ισχύει
c) $a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}b+b=0 \Leftrightarrow \sqrt{a}(a-b)-(a-b)=0 \Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)(a-b)=0$ που απο εδώ προκύπτει ότι a=b

Και η αλλη ρίζα είναι $x_{1}+x_{2}=-\frac{\sqrt{a}-b}{\sqrt{a}} \Leftrightarrow x_{1}-\sqrt{b}=\frac{-\sqrt{b}-b}{\sqrt{b}} \Leftrightarrow x_{1}\sqrt{b}+\sqrt{b}=0 \Leftrightarrow \sqrt{b}(x_{1}+1)= 0$ Όμως $b \ne 0$ άρα $x_{1}=-1$

Και πάλι Vietta ! (Α' Άλγεβρα)

Και πάλι Vietta ! (Α' Άλγεβρα)

Re: Και πάλι Vietta ! (Α' Άλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση