Ισοσκελές σε ορθογώνιο (Α' Γεωμετρία)

Γιώργος Απόκης · #1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC~(A=90^{o})$ , η διάμεσος

τέμνει τη διχοτόμο

στο

.

α) Αν $\hat B=54^{o}$ , να δείξετε ότι AE=EZ

.

β) Αν AE=EZ

, να εξετάσετε αν $\hat B=54^{o}$ .

(Μέχρι 25/3/12)

vakan · #2

Για το α):
Εφόσον το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο ισχύει: $A\hat{C}B + A\hat{B}C = 90^\circ\Rightarrow A\hat{C}B = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$

Η

είναι διχοτόμος της $A\hat{C}B$ ,οπότε: $A\hat{C}Z = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ(1)$
Επίσης είναι $D\hat{A}B = D\hat{B}A = 54^\circ$ καθώς η

είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα,ενώ: $C\hat{A}D + D\hat{A}B = 90^\circ\Rightarrow C\hat{A}D = 36^\circ(2)$

Η $A\hat{Z}E$ είναι εξωτερική του τριγώνου CAZ

οπότε ισχύει ότι:

$A\hat{Z}E = A\hat{C}Z + C\hat{A}Z \overset{(1)}= 18^\circ + C\hat{A}Z \overset{(2)}= 54^\circ\Rightarrow Z\hat{A}E = A\hat{Z}E$
Άρα το τρίγωνο AZE

είναι ισοσκελές,επομένως AE = ZE

Για το β):
Το τρίγωνο AZE

είναι ισοσκελές,ενώ η

είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα,επομένως:

$Z\hat{A}E = A\hat{Z}E = C\hat{B}A$

Επίσης η $A\hat{Z}E$ είναι εξωτερική του τριγώνου CAZ

,επομένως:

$A\hat{Z}E = C\hat{A}D + A\hat{C}Z\Rightarrow A\hat{B}C = C\hat{A}D + A\hat{C}Z\overset{C\hat{A}D + D\hat{A}B = 90^\circ}\Rightarrow A\hat{B}C = 90^\circ - A\hat{B}C + A\hat{C}Z\overset{A\hat{C}Z = \frac{A\hat{C}B}{2}}\Rightarrow 2A\hat{B}C = 90^\circ + \frac{A\hat{C}B}{2}\overset{A\hat{C}B = 90^\circ - A\hat{B}C}\Rightarrow \frac{5A\hat{B}C}{2} = 135^\circ\Rightarrow A\hat{B}C = \frac{270^\circ}{5} = 54^\circ$

Γιώργος Απόκης · #3

vakan!

Ισοσκελές σε ορθογώνιο (Α' Γεωμετρία)

Ισοσκελές σε ορθογώνιο (Α' Γεωμετρία)

Re: Ισοσκελές σε ορθογώνιο (Α' Γεωμετρία)

Re: Ισοσκελές σε ορθογώνιο (Α' Γεωμετρία)

Μέλη σε σύνδεση