Τόπος από εσωτερικό γινόμενο (Β' Κατ)

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται το σημείο A(a,b)

με $ab\ne 0$ και ο πραγματικός

. Να βρεθεί o γεωμετρικός τόπος των σημείων

για τα οποία ισχύει η σχέση : $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{OM}^2$ .

(Mέχρι 30/03/12)

JimVerman · #2

Επαναφορά

Γιώργος Απόκης · #3

Έστω

, τότε είναι : $\overrightarrow{OM}=(x,y),\overrightarrow{MA}=(a-x,b-y)$ και η σχέση γίνεται :

$\displaystyle{\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{OM}^2\Leftrightarrow x(a-x)+y(b-y)=k(x^2+y^2)\Leftrightarrow ax-x^2+by-y^2=kx^2+ky^2\Leftrightarrow (k+1)x^2+(k+1)y^2-ax-by=0}$ (1)

$\bullet$ Aν k=-1

, τότε η (1) γίνεται : $\displaystyle{-ax-by=0\overset{b\ne 0}\Leftrightarrow y=-\frac{a}{b}x}$ και παριστάνει ευθεία.

$\bullet$ Aν $k\ne -1$ , τότε η (1) γίνεται : $\displaystyle{x^2+y^2-\frac{a}{k+1}x-\frac{b}{k+1}y=0}$ και παριστάνει κύκλο με κέντρο :

$\displaystyle{K\left(\frac{a}{2k+2},\frac{b}{2k+2}\right)}$ και ακτίνα $\displaystyle{r=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{a}{k+1}\right)^2+\left(\frac{b}{k+1}\right)^2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2|k+1|}}}$

Edit: Είχα "φάει" κάποια x,y στην προτελευταία γραμμή! Ευχαριστώ Ζωή...

Τόπος από εσωτερικό γινόμενο (Β' Κατ)

Τόπος από εσωτερικό γινόμενο (Β' Κατ)

Re: Τόπος από εσωτερικό γινόμενο (Β' Κατ)

Re: Τόπος από εσωτερικό γινόμενο (Β' Κατ)

Μέλη σε σύνδεση