Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Κυρ Απρ 08, 2012 2:05 pm

Είμαι χαρούμενος που στο forum συμμετέχουν μαθητές που μόνοι τους ζητούν να δημοσιεύουμε ασκήσεις σε σχολικό επίπεδο για αυτούς.
Έτσι, μετά από μήνυμα μαθητή, ξεκινώ την δημοσίευση με ασκήσεις γεωμετρίας (σε όλη την ύλη) για την Α΄Λυκειου.Θα παρακαλούσα και άλλα μέλη να προτείνουν στην παρούσα δημοσίευση ασκήσεις για τους μικρούς και υπέροχους μαθητές μας.

Επειδή η συλλογή απευθύνεται κυρίως σε μαθητές ή συναδέλφους που θέλουν να οργανώσουν την επανάληψη για τις εξετάσεις, θα πρότεινα ευγενικά τους θεματοδότες, όπου αυτό είναι δυνατόν, να δίνουν τα ζητούμενα σε μορφή ερωτημάτων, όπως περίπου στις εξετάσεις.

Φυσικά, υπάρχουν και πολλές ωραίες ασκήσεις που αν κάποιος τις τεμαχίσει, χάνουν τη γοητεία τους, είτε διότι πρέπει να δοθεί η βοηθητική γραμμή, είτε διότι πρέπει να υποδειχθεί η κατεύθυνση για τη λύση τους . Αυτές λοιπόν τις ασκήσεις ας τις αφήσουμε με ένα ερώτημα, όπως κάναμε παλιότερα και στις εξετάσεις στα σχολεία.

Ως κριτήριο για την επιλογή των ασκήσεων ας έχουμε αυτό το ερώτημα :

'' Θα την έκανα αυτή την άσκηση σε ένα μαθητή μου που πάει για τις εξετάσεις, αν είναι μέτριος και πάνω ; ''


Άσκηση 1

Έστω τρίγωνο \displaystyle{\text{AB}\Gamma } με \displaystyle{\text{B}\Gamma =2\text{AB}} και \displaystyle{\text{AM}} η διάμεσος του. Ονομάζουμε \displaystyle{\text{K}} το μέσο του \displaystyle{\text{BM}} και έστω \displaystyle{\Lambda } το μέσο της πλευράς \displaystyle{\text{AB}}.

i. Να αποδείξετε οτι \displaystyle{\Lambda \widehat{\text{M}}\text{A}=\text{M}\widehat{\text{A}}\Gamma }

ii. Αν \displaystyle{\Theta } είναι το σημείο τομής των \displaystyle{\text{AK},\text{M}\Lambda }, να δείξετε οτι \displaystyle{\text{A}\Theta =2\Theta \text{K}}

iii. Η \displaystyle{\text{AM}} είναι διχοτόμος της \displaystyle{\text{K}\widehat{\text{A}}\Gamma }
ασκηση 1.png
ασκηση 1.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 2530 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ σε Δευ Απρ 09, 2012 8:38 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
mathlete23
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Δευ Μάιος 03, 2010 7:11 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από mathlete23 » Κυρ Απρ 08, 2012 4:41 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Άσκηση 1
Έστω τρίγωνο \displaystyle{\text{AB}\Gamma } με \displaystyle{\text{B}\Gamma =2\text{AB}} και \displaystyle{\text{AM}} η διάμεσος του. Ονομάζουμε \displaystyle{\text{K}} το μέσο του \displaystyle{\text{BM}} και έστω \displaystyle{\Lambda } το μέσο της πλευράς \displaystyle{\text{AB}}.

i. Να αποδείξετε οτι \displaystyle{\Lambda \widehat{\text{M}}\text{A}=\text{M}\widehat{\text{A}}\Gamma }

ii. Αν \displaystyle{\Theta } είναι το σημείο τομής των \displaystyle{\text{AK},\text{M}\Lambda }, να δείξετε οτι \displaystyle{\text{A}\Theta =2\Theta \text{K}}

iii. Η \displaystyle{\text{AM}} είναι διχοτόμος της \displaystyle{\text{K}\widehat{\text{A}}\Gamma }
ασκηση 1.png


edit
πρόσθεσα την εκφώνηση της άσκησης
παρακαλώ οι απαντήσεις να είναι γραμμένες σε LaTeX
και ο mathlete23 να διορθώσει τη δημοσίευσή του

Φωτεινή
τελευταία επεξεργασία από mathlete23 σε Κυρ Απρ 08, 2012 6:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Κυρ Απρ 08, 2012 5:00 pm

Άσκηση 2

Δίνεται ευθεία \displaystyle{(\varepsilon )} και πάνω στην \displaystyle{(\varepsilon )} τα σημεία \displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma } τέτοια ώστε \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 2\alpha } και \displaystyle{{\rm B}\Gamma  = \alpha }.
Προς το ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία \displaystyle{(\varepsilon )} θεωρούμε τα ισόπλευρα τριγωνα \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta } και \displaystyle{{\rm B}\Gamma {\rm E}}. Φέρνουμε την \displaystyle{\Delta {\rm E}} , η οποία τέμνει την \displaystyle{(\varepsilon )} στο \displaystyle{{\rm Z}}.
Επίσης, φέρνουμε το ύψος \displaystyle{{\rm B}{\rm H} \bot \Delta {\rm A}}

Να αποδείξετε οτι:
i. \displaystyle{{\rm B}{\rm E}//{\rm A}\Delta }

ii. \displaystyle{\Delta {\rm H}{\rm B}{\rm E}} ορθογώνιο

iii. \displaystyle{{\rm B}} μέσο της \displaystyle{{\rm A}{\rm Z}}

ask2.png
ask2.png (4.6 KiB) Προβλήθηκε 2475 φορές


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
JimVerman
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από JimVerman » Κυρ Απρ 08, 2012 5:14 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Άσκηση 1
Έστω τρίγωνο \displaystyle{\text{AB}\Gamma } με \displaystyle{\text{B}\Gamma =2\text{AB}} και \displaystyle{\text{AM}} η διάμεσος του. Ονομάζουμε \displaystyle{\text{K}} το μέσο του \displaystyle{\text{BM}} και έστω \displaystyle{\Lambda } το μέσο της πλευράς \displaystyle{\text{AB}}.

i. Να αποδείξετε οτι \displaystyle{\Lambda \widehat{\text{M}}\text{A}=\text{M}\widehat{\text{A}}\Gamma }

ii. Αν \displaystyle{\Theta } είναι το σημείο τομής των \displaystyle{\text{AK},\text{M}\Lambda }, να δείξετε οτι \displaystyle{\text{A}\Theta =2\Theta \text{K}}

iii. Η \displaystyle{\text{AM}} είναι διχοτόμος της \displaystyle{\text{K}\widehat{\text{A}}\Gamma }
ασκηση 1.png


i) \left.\begin{matrix}
\Lambda \; \mu \acute{\varepsilon }\sigma o\; \tau o\upsilon  \; AB\\ 
M \; \mu \acute{\varepsilon }\sigma o \; \tau o\upsilon \; B\Gamma 
\end{matrix}\right\}
\Rightarrow \Lambda M\parallel A\Gamma \Rightarrow \boxed{\Lambda \hat{M}A=M\hat{A}\Gamma} \; \left ( \varepsilon \nu \tau \acute{o}\varsigma \; \varepsilon \nu \alpha \lambda \lambda \acute{\alpha } \xi \; \mu \varepsilon \; \tau \acute{\varepsilon }\mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \; \tau \eta \nu \; AM\right )

ii) AK, \; M\Lambda \; \delta \iota \acute{\alpha }\mu \varepsilon \sigma o\iota \; \sigma \tau o \; \overset{\bigtriangleup }{ABM}\Rightarrow \Theta \; \beta \alpha \rho \acute{\upsilon }\kappa \varepsilon \nu \tau \rho o\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A\Theta =\frac{2}{3} \cdot AK\\ 
\Theta K=\frac{1}{3} \cdot AK
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
AK=\frac{3}{2} \cdot A\Theta \\ 
AK=3 \cdot \Theta K
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \frac{3}{2} \cdot A\Theta =3 \cdot \Theta K\Rightarrow \boxed{A\Theta =2 \cdot \Theta K}

iii) E\acute{\iota }\nu \alpha \iota \; \overset{\bigtriangleup }{AKM}=\overset{\bigtriangleup }{AM\Lambda } \; \alpha \varphi o\acute{\upsilon }: \; \begin{Bmatrix}
1) \; KM=A\Lambda \; \left ( \mu \iota \sigma \acute{\alpha } \; \acute{\iota }\sigma \omega \nu \; \varepsilon \upsilon \vartheta \upsilon \gamma \rho \acute{\alpha }\mu \mu \omega \nu \; \tau \mu \eta \mu \acute{\alpha }\tau \omega \nu \right )\\ 
2) \; A\hat{M}K=\Lambda \hat{A}M \; \left [ \overset{\bigtriangleup }{ABM} \; \iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \acute{\varepsilon }\varsigma \; \left ( AB=BM\Leftarrow B\Gamma =2 \cdot AB \right ) \right ]\\ 
3)AM \; \kappa o\iota \nu \acute{\eta }
\end{Bmatrix}\Rightarrow
\Rightarrow \left ( \Pi -\Gamma -\Pi  \right )\Rightarrow A\hat{M}\Lambda =K\hat{A}M.

A\lambda \lambda \acute{\alpha } \; \kappa \alpha \iota  \; A\hat{M}\Lambda =M\hat{A}\Gamma , \; \acute{\alpha }\rho \alpha \; M\hat{A}\Gamma=K\hat{A}M\Rightarrow \boxed{AM \; \delta \iota \chi o\tau \acute{o} \mu o\varsigma \; \tau \eta \varsigma \; K\hat{A}\Gamma }.
τελευταία επεξεργασία από JimVerman σε Κυρ Απρ 08, 2012 5:24 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


\textsc{Dimitris V.}
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Φωτεινή » Κυρ Απρ 08, 2012 5:22 pm

Άσκηση 3

Αν σε τρίγωνο \vartriangle ABC ισχύουν a=2c και \hat B=2\hat C ,να αποδείξετε ότι είναι ορθογώνιο


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Φωτεινή » Κυρ Απρ 08, 2012 5:35 pm

Άσκηση 4

Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC,~~\hat A=120^o και AD,BE,CZ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του .

Να αποδείξετε ότι : E\hat DZ=90^o


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
JimVerman
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από JimVerman » Κυρ Απρ 08, 2012 6:03 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Άσκηση 2

Δίνεται ευθεία \displaystyle{(\varepsilon )} και πάνω στην \displaystyle{(\varepsilon )} τα σημεία \displaystyle{{\rm A},{\rm B},\Gamma } τέτοια ώστε \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 2\alpha } και \displaystyle{{\rm B}\Gamma  = \alpha }.
Προς το ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία \displaystyle{(\varepsilon )} θεωρούμε τα ισόπλευρα τριγωνα \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta } και \displaystyle{{\rm B}\Gamma {\rm E}}. Φέρνουμε την \displaystyle{\Delta {\rm E}} , η οποία τέμνει την \displaystyle{(\varepsilon )} στο \displaystyle{{\rm Z}}.
Επίσης, φέρνουμε το ύψος \displaystyle{{\rm B}{\rm H} \bot \Delta {\rm A}}

Να αποδείξετε οτι:
i. \displaystyle{{\rm B}{\rm E}//{\rm A}\Delta }

ii. \displaystyle{\Delta {\rm H}{\rm B}{\rm E}} ορθογώνιο

iii. \displaystyle{{\rm B}} μέσο της \displaystyle{{\rm A}{\rm Z}}

ask2.png


i) A\hat{\Delta }B=A\hat{B}\Delta =60^{\circ} \; \left ( \overset{\bigtriangleup }{A\Delta B} \; \iota \sigma \acute{o}\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o \right )
E\hat{B}\Gamma =60^{\circ} \; \left ( \overset{\bigtriangleup }{EB\Gamma } \; \iota \sigma \acute{o}\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o\right )

'A\rho \alpha \; \kappa \alpha \iota \; \Delta \hat{B}E=60^{\circ}.

E\acute{\iota }\nu \alpha \iota \; \tau \varepsilon \lambda \iota \kappa \acute{\alpha }: \; A\hat{\Delta }B=\Delta \hat{B}E=60^{\circ} \; \left ( \acute{\iota }\sigma \varepsilon \varsigma \; \varepsilon \nu \tau \acute{o}\varsigma \; \varepsilon \nu \alpha \lambda \lambda \acute{\alpha }\xi \; \gamma \omega \nu \acute{\iota }\varepsilon \varsigma \right ) \Rightarrow
\Rightarrow \boxed{A\Delta \parallel BE}

ii) \overset{\bigtriangleup }{AB\Delta } \; \iota \sigma \acute{o}\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o\Rightarrow BH \; \delta \iota \acute{\alpha }\mu \varepsilon \sigma o\varsigma \Rightarrow \Delta H=\frac{A\Delta }{2}\Rightarrow \Delta H=BE

A\lambda \lambda \acute{\alpha } \; \kappa \alpha \iota \; \Delta H\parallel BE, \; o\pi \acute{o}\tau \varepsilon \; \Delta H\parallel =BE\Rightarrow \Delta HBE \; \pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda \acute{o}\gamma \rho \alpha \mu \mu o

'O\mu \omega \varsigma \; B\hat{H}\Delta =90^{\circ}\Rightarrow \boxed{\Delta HBE \; o\rho \vartheta o\gamma \acute{\omega }\nu \iota o}

iii) \Delta HBE \; o\rho \vartheta o\gamma \acute{\omega }\nu \iota o\Rightarrow B\hat{E}\Delta =90^{\circ}\Rightarrow B\hat{E}Z=90^{\circ}\Rightarrow B\hat{E}\Gamma +\Gamma \hat{E}Z=90^{\circ}\Rightarrow
\Rightarrow 60^{\circ}+\Gamma \hat{E}Z=90^{\circ}\Rightarrow \Gamma \hat{E}Z=30^{\circ}

E\pi \acute{\iota }\sigma \eta \varsigma \; B\hat{\Gamma }E =60^{\circ} \; \left ( \overset{\bigtriangleup }{EB\Gamma } \; \iota \sigma \acute{o}\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o\right )\Rightarrow E\hat{\Gamma }Z=120^{\circ}
O\pi \acute{o}\tau \varepsilon \; \Gamma \hat{Z}E=30^{\circ}
E\pi o\mu \acute{\varepsilon }\nu \omega \varsigma \; E\hat{\Gamma }Z \; \iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \acute{\varepsilon }\varsigma \; \mu \varepsilon \; E\Gamma =\Gamma Z\Rightarrow B\Gamma =\Gamma Z

B\Gamma +\Gamma Z=2\alpha =AB, \; \delta \eta \lambda \alpha \delta \acute{\eta } \; \boxed{B \; \mu \acute{\varepsilon }\sigma o \; \tau o\upsilon \; AZ}


\textsc{Dimitris V.}
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από orestisgotsis » Κυρ Απρ 08, 2012 6:20 pm

Φωτεινή έγραψε:Άσκηση 3

Αν σε τρίγωνο \vartriangle ABC ισχύουν a=2c και \hat B=2\hat C ,να αποδείξετε ότι είναι ορθογώνιο



Στο τρίγωνο ABC φέρνω τη διάμεσο AM και τη διχοτόμο BE. Τότε BM=BA=c και \widehat{BMA}=\widehat{BAM}=\varphi.

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABM η διχοτόμος BE θα είναι και ύψος, άρα BE μεσοκάθετος του AM\Rightarrow EM=EA\Rightarrow \widehat{AME}=\widehat{MAE}

Το τρίγωνο CEB είναι ισοσκελές, αφού \widehat{EBM}=\widehat{C}, οπότε EM ύψος ως διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου CEB.

Είναι \widehat{EBM}=\widehat{AME}=\widehat{C}
(οξείες με πλευρές κάθετες).

Έστω D=BE\cap AM, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο BDM\Rightarrow \widehat{C}+\widehat{\varphi }={{90}^{0}}, άρα

\widehat{A}=\widehat{BAM}+\widehat{MAE}=\widehat{\varphi }+\widehat{C}={{90}^{0}}


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Απρ 08, 2012 11:09 pm

Δίνω και γω μια άσκηση στην ωραία αυτή πρωτοβουλία του Δημήτρη.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Στην πλευρά AC ισόπλευρου τριγώνου ABC παίρνουμε σημείο D.Η διχοτόμος της γωνίας ABD

τέμνει την παράλληλη από το A προς την BC στο σημείο E. Στην προέκταση της AC παίρνουμε τμήμα CZ=AE.Να αποδείξετε ότι :

α) Τα τρίγωνα ABE,BCZ είναι ίσα.

β) Η γωνία EBZ είναι ίση με 60^0.

γ) BD=AE+CD

δ) Το τρίγωνο BEZ είναι ισόπλευρο.

ε) ZA=AE+AB

στ) Τα σημεία A,E,Z,B είναι ομοκυκλικά.


Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8666
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από KARKAR » Δευ Απρ 09, 2012 12:41 am

Άσκηση 6
Στις πλευρές AB , AC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνω τμήματα AS=x και AT=y .

Οι προβολές P , Q των σημείων S , T επί της BC , δημιουργούν το τμήμα PQ=z .

Δείξτε ότι το z είναι ο αριθμητικός μέσος των x και y .
Συνημμένα
Αριθμητικός  μέσος.png
Αριθμητικός μέσος.png (6.69 KiB) Προβλήθηκε 2264 φορές


Άβαταρ μέλους
JimVerman
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από JimVerman » Δευ Απρ 09, 2012 1:00 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνω και γω μια άσκηση στην ωραία αυτή πρωτοβουλία του Δημήτρη.

ΑΣΚΗΣΗ 5

(...) Στην προέκταση της AC παίρνουμε τμήμα CZ=AE. (...)


Προς το μέρος του A ή του C;


\textsc{Dimitris V.}
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από parmenides51 » Δευ Απρ 09, 2012 1:27 am

Η διατύπωση
στην προέκταση της \displaystyle{AC}
σημαίνει προς το μέρος του \displaystyle{C}


Εκτός κι αν αναφέρεται κάτι διαφορετικό στην εκφώνηση,
δεχόμαστε πως προεκτείνουμε στην κατεύθυνση του δεύτερου γράμματος όταν προεκτείνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα.


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από pana1333 » Δευ Απρ 09, 2012 2:40 am

Δίνω μια έμπνευση μου, αν και λίγο πολύ μάλλον "τετριμμένη", κατάλληλη για εξετάσεις.....

Αποσύρθηκε η άσκηση 7 λόγω λάθους
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Δευ Απρ 10, 2017 9:17 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8666
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από KARKAR » Δευ Απρ 09, 2012 8:48 am

Άσκηση 8
Ρόμβος ABCD , έχει \widehat {A}=30^0 . Σχεδιάζω στο εξωτερικό του το ισόπλευρο τρίγωνο ABE .

Φέρω την ED και την EC , η οποία τέμνει την προέκταση της AB στο Z .

1) Δείξτε ότι η EB είναι η διχοτόμος της γωνίας \widehat {CED}

2) Δείξτε ότι : \displaystyle CZ=\frac{DE}{2}
Συνημμένα
Ρόμβος  και ισόπλευρο.png
Ρόμβος και ισόπλευρο.png (9.43 KiB) Προβλήθηκε 2200 φορές


Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Antonis_Z » Δευ Απρ 09, 2012 12:07 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 8
Ρόμβος ABCD , έχει \widehat {A}=30^0 . Σχεδιάζω στο εξωτερικό του το ισόπλευρο τρίγωνο ABE .

Φέρω την ED και την EC , η οποία τέμνει την προέκταση της AB στο Z .

1) Δείξτε ότι η EB είναι η διχοτόμος της γωνίας \widehat {CED}

2) Δείξτε ότι : \displaystyle CZ=\frac{DE}{2}


1)Λόγω του κύκλου (A,AD) είναι \angle DEB=DAB/2=15.
Λόγω της παραλληλίας είναι CB\perp AE και έστω Z' το σημείο τομής της CB με τη DE.Το Z' είναι προφανώς το μέσο της DE.
\angle CAB=15(προφανές λόγω της διαγωνίου).\vartriangle CBA=CBE(αφού το C ανήκει στη μεσοκάθετο του AE).Από αυτή την ισότητα έχουμε \angle CEB=15.Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

2)Είναι προφανές ότι \angle BCE=15(γιατί ΒC=BE) και \angle ZAZ'=15(αφού Z' μέσο της DE και γων.DAB=30).Το τετράπλευρο ACZZ' είναι εγγράψιμο(από τις 2 ισότητες πάνω) άρα \angle Z'ZA=ACB=15 άρα το τρίγωνο \vartriangle AZ'Z είναι ισοσκελές.
Επομένως DE/2=DZ'=AZ'=Z'Z=CZ(γιατί \angle CZ'Z=15 λόγω του εγγραψίμου=>το τρίγωνο CZZ' είναι ισοσκελές).
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τετ Απρ 11, 2012 2:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Αντώνης Ζητρίδης
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από orestisgotsis » Δευ Απρ 09, 2012 12:36 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 6
Στις πλευρές AB , AC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , παίρνω τμήματα AS=x και AT=y .

Οι προβολές P , Q των σημείων S , T επί της BC , δημιουργούν το τμήμα PQ=z .

Δείξτε ότι το z είναι ο αριθμητικός μέσος των x και y .



Φέρνουμε το ύψος AD και τις παράλληλες προς την BC από τα S,\,\,T. Από τα σχηματιζόμενα ορθογώνια τρίγωνα ASE και ATZ, τα οποία έχουν \displaystyle{\frac{\widehat{A}}{2}={{30}^{0}} έχουμε:

\displaystyle{PD=SE=\frac{x}{2} και \displaystyle{DQ=TZ=\frac{y}{2}.

Άρα \displaystyle{PQ=PD+DQ=\frac{x+y}{2}.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από socrates » Δευ Απρ 09, 2012 2:31 pm

Άσκηση 9
Θεωρούμε τραπέζιο ABCD με AD\parallel BC και AD>BC. Έστω E το μέσο της διαγωνίου BD και F το ίχνος της καθέτου από το B στην AD.
Να δείξετε ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν το συμμετρικό του A ως προς το F και το συμμετρικό του C ως προς το E συμπίπτουν.


Άσκηση 10
Στις κάθετες πλευρές AB και AC ορθογωνίου τριγώνου ABC κατασκευάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα ABDE και ACFG.
Αν \displaystyle{DC \cap AB = \{U \}, \ BF \cap AC =\{V \}, \  UV \cap  BD = \{P\}, \ UV \cap  CF = \{Q\},} να δείξετε ότι DF = PQ +UV.


Άσκηση 11
Το σημείο D είναι το μέσο της πλευράς AC τριγώνου ABC και οι DE, DF διχοτόμοι των γωνιών \angle ADB ,\ \angle CDB , αντίστοιχα.
Αν EF \cap  DB = \{M\} , να δείξετε ότι EF = 2 DM .


Θανάσης Κοντογεώργης
Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Antonis_Z » Δευ Απρ 09, 2012 6:07 pm

socrates έγραψε:Άσκηση 10
Στις κάθετες πλευρές AB και AC ορθογωνίου τριγώνου ABC κατασκευάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα ABDE και ACFG.
Αν \displaystyle{DC \cap AB = \{U \}, \ BF \cap AC =\{V \}, \  UV \cap  BD = \{P\}, \ UV \cap  CF = \{Q\},} να δείξετε ότι DF = PQ +UV.


Για τη 10:Μια λύση με ύλη πιο πολύ για τη Β'Λυκείου(αλλά με πράγματα γνωστά από το γυμνάσιο)
Από το θεώρημα Θαλή:\frac{UA}{DE}=\frac{CA}{CE} και \frac{AV}{GF}=\frac{BA}{BG}.Με διαίρεση κατά μέλη είναι UA=AV.
Τα σημεία D,A,F είναι συνευθειακά.Εύκολα βρίσκουμε ότι PQ//DF(αφού γων. QVC=FAC=45).
Θέτουμε: CV=CQ=b,AU=AV=PD=QF=a,BP=BU=c.
Από το Π.Θ βρίσκουμε: UV=a\sqrt{2},DA=(a+c)\sqrt{2},AF=(a+b)\sqrt{2},PU=c\sqrt{2},VQ=b\sqrt{2}.
Νομίζω τώρα είναι προφανές.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τετ Απρ 11, 2012 2:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Αντώνης Ζητρίδης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4132
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Απρ 09, 2012 7:35 pm

Μετέφερα την άσκηση σε άλλο φάκελλο
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Δευ Απρ 09, 2012 9:19 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
JimVerman
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από JimVerman » Δευ Απρ 09, 2012 8:08 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 12:

Θεωρούμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC με βάση BC. Έστω D σημείο της πλευράς AB, M το μέσον της BC και E ένα σημείο της πλευράς AC τέτοιο, ώστε να είναι:
MB^{2}=DB.EC. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα BDM , DEM και MCE είναι όμοια.


Αν δεν κάνω λάθος, οι Αναλογίες και η Ομοιότητα δεν είναι στην ύλη της Α' Λυκείου...


\textsc{Dimitris V.}

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης