Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό dr.tasos » Πέμ. Απρ. 12, 2012 11:55 am

Άσκηση 17

\displaystyle{ KL // BC \Rightarrow KL// DM } άρα τραπέζιο .

\displaystyle{ DK=\frac{AB}{2} } (διαμεσος στην υποτεινουσα)

\displaystyle{ ML=\frac{AB}{2} } (μεσο \displaystyle{ AC } και \displaystyle{ BC } )
άρα \displaystyle{ DK=ML }

άρα το τραπέζιο ειναι ισοσκελές .
"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
dr.tasos
 
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 12, 2011 5:40 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό JimVerman » Πέμ. Απρ. 12, 2012 4:17 pm

Άσκηση 18

Δίνεται τρίγωνο \overset{\bigtriangleup }{ABC} με AB<AC και η διχοτόμος του AD. Προεκτείνουμε την AD κατά τμήμα DK=AD και στην πλευρά BC θεωρούμε σημείο E τέτοιο ώστε DE=DB.
α) Να αποδείξετε ότι AB=KE.
β) Αν η KE τέμνει την AC στο L, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \overset{\bigtriangleup }{LAK} είναι ισοσκελές.
γ) Αν οι ευθείες LD και AB τέμνονται στο M, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AMKL είναι ρόμβος.
δ) Θεωρούμε σημείο N της πλευράς AC ώστε AN=AB. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BNLM είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Για «ζέσταμα»
\textsc{Dimitris V.}
Άβαταρ μέλους
JimVerman
 
Δημοσιεύσεις: 238
Εγγραφή: Τρί. Νοέμ. 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό dr.tasos » Πέμ. Απρ. 12, 2012 4:45 pm

JimVerman έγραψε:Άσκηση 18

Δίνεται τρίγωνο \overset{\bigtriangleup }{ABC} με AB<AC και η διχοτόμος του AD. Προεκτείνουμε την AD κατά τμήμα DK=AD και στην πλευρά BC θεωρούμε σημείο E τέτοιο ώστε DE=DB.
α) Να αποδείξετε ότι AB=KE.
β) Αν η KE τέμνει την AC στο L, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \overset{\bigtriangleup }{LAK} είναι ισοσκελές.
γ) Αν οι ευθείες LD και AB τέμνονται στο M, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AMKL είναι ρόμβος.
δ) Θεωρούμε σημείο N της πλευράς AC ώστε AN=AB. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BNLM είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Για «ζέσταμα»




α) τα τριγωνα \displaystyle{ ABD and DCK } ισα αφου \displaystyle{ D_{1}=D_{2}  , \quad AD=DK \quad DE=BD } λογω Π-Γ-Π .


β) \displaystyle{ A_{2}=K_{2}=A_{1} } αρα ισοσκελες .

γ) Οι διαγωνιοι διχοτομουνται \displaystyle{ AD=DK, MD=DL } οπως επίσης \displaystyle{ MDK And AND } ισα αρα απο εδω παιρνω το προηγουμενο ( παρμο ) και και η μια διαγωνιος διχοτομει μια γωνια . αρα ρομβος .

δ) To \displaystyle{ ABN } ισοσκελες αρα οι \displaystyle{ ML and BN } καθετες στην ιδια ευθεια αρα και παραλληλες αρα δειχθηκε το τραπεζιο επισης ειναι \displaystyle{ BM=AM-AB \wedge NL=AL-AN } ομως απο τον ρομβο και το ισοσκελες \displaystyle{ AM=AL \wedge AN=AB } άρα \displaystyle{ NL=MB } αρα ειναι ισοσκελες τραπεζιο .
"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
dr.tasos
 
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 12, 2011 5:40 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό JimVerman » Πέμ. Απρ. 12, 2012 7:12 pm

Άσκηση 19

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο \overset{\bigtriangleup}{ABC} με AB<AC και τα μέσα L και Mτων BC και CA αντίστοιχα. Από το B φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο Ax της γωνίας \hat{A}_{\varepsilon \xi .}, η οποία τέμνει την Ax στο D και την προέκταση της CA στο E.

α) Να αποδείξετε ότι: DL=\frac{AB+AC}{2}.

β) Να αποδείξετε ότι: B\hat{A}C=2 \cdot B\hat{D}L.

γ) Αν η DL τέμνει την AB στο K, να αποδείξετε ότι DK=LM.

δ) Θεωρούμε σημείο N της πλευράς AC, ώστε AN=AB και έστω P το σημείο τομής των BN και DL. Να αποδείξετε ότι:

i) η AP είναι διχοτόμος της γωνίας B\hat{A}C,
ii) το τρίγωνο \overset{\bigtriangleup}{EBN} είναι ορθογώνιο.

Για εξάσκηση και αυτή
\textsc{Dimitris V.}
Άβαταρ μέλους
JimVerman
 
Δημοσιεύσεις: 238
Εγγραφή: Τρί. Νοέμ. 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό dr.tasos » Δευτ. Απρ. 16, 2012 1:45 pm

JimVerman έγραψε:Άσκηση 19

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο \overset{\bigtriangleup}{ABC} με AB<AC και τα μέσα L και Mτων BC και CA αντίστοιχα. Από το B φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο Ax της γωνίας \hat{A}_{\varepsilon \xi .}, η οποία τέμνει την Ax στο D και την προέκταση της CA στο E.

α) Να αποδείξετε ότι: DL=\frac{AB+AC}{2}.

β) Να αποδείξετε ότι: B\hat{A}C=2 \cdot B\hat{D}L.

γ) Αν η DL τέμνει την AB στο K, να αποδείξετε ότι DK=LM.

δ) Θεωρούμε σημείο N της πλευράς AC, ώστε AN=AB και έστω P το σημείο τομής των BN και DL. Να αποδείξετε ότι:

i) η AP είναι διχοτόμος της γωνίας B\hat{A}C,
ii) το τρίγωνο \overset{\bigtriangleup}{EBN} είναι ορθογώνιο.

Για εξάσκηση και αυτή


α) \displaystyle{ DL=\frac{EC}{2}=\frac{AC+AE}{2}=\frac{AB+AC}{2} } το τελευταιο βήμα αιτιολογείται ως εξής στο \displaystyle{ ABE } η \displaystyle{ AD } είναι διχοτομος και ύψος .

β) Ειναι \displaystyle{ BAC=2ABE } αρκεί δηλαδη το \displaystyle{ BDK } ισοσκελές όμως \displaystyle{ DL// EC } άρα \displaystyle{ DK// AE } άρα \displaystyle{ K } μέσο άρα αφου ειναι το \displaystyle{ ADB } ορθογώνιο \displaystyle{ KB=DK=\frac{AB}{2} }

c) \displaystyle{ LM=\frac{AB}{2}=AK }

d) ii) Το \displaystyle{ EBN } ορθογωνιο αφου \displaystyle{ AB=AN=EA }
"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
dr.tasos
 
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 12, 2011 5:40 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό KARKAR » Τετ. Απρ. 18, 2012 10:17 am

Άσκηση 20
Σε κύκλο με κέντρο O , είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο \displaystyle ABC με AB<AC . Στην πλευρά AC βρίσκεται

σημείο S , ώστε : \widehat{SBC} = \widehat{SCB} . Η BS τέμνει τον κύκλο στο Q , ενώ η διχοτόμος της \widehat{A} , στο T.

1) Δείξτε ότι : AQ //BC

2) Δείξτε ότι τα σημεία : S , O , T , είναι συνευθειακά

3) Δείξτε ότι τα σημεία : B , O , S , A , είναι ομοκυκλικά
Συνημμένα
Εγγραφές.png
Εγγραφές.png (10.97 KiB) 883 προβολές
KARKAR
 
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Τετ. Δεκ. 08, 2010 6:18 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό orestisgotsis » Πέμ. Απρ. 19, 2012 2:13 am

1) \displaystyle{\widehat{SBC}=\widehat{SCB}\Rightarrow AB=QC\Rightarrow }τόξο AB= τόξο QC\Rightarrow \widehat{AQC}=\widehat{QBC} (εγγεγραμμένες

που βαίνουν σε ίσα τόξα).

Από την ισότητα αυτών των γωνιών έχουμε AQ\parallel BC

2) Είναι SB=SC,\,\,\,OB=OC και τόξο BT= τόξο TC\Rightarrow BT=TC, άρα S,\,O,\,T στην

μεσοκάθετο του BC

3) \displaystyle{\widehat{ABQ}=\widehat{QCA}\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{QCB}\Rightarrow \frac{1}{2}\widehat{AOC}=\frac{1}{2}\widehat{QOB}}

\displaystyle{\Rightarrow {{90}^{0}}-\frac{1}{2}\widehat{AOC}={{90}^{0}}-\frac{1}{2}\widehat{QOB}\Rightarrow \widehat{OAS}=\widehat{OBS},

δηλαδή το OS φαίνεται από τα A,\,B υπό ίσες γωνίες, οπότε BOSA εγγράψιμο.
orestisgotsis
 
Δημοσιεύσεις: 1239
Εγγραφή: Σάβ. Φεβ. 25, 2012 10:19 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό socrates » Τετ. Απρ. 25, 2012 5:55 pm

Άσκηση 21
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με \angle B=\angle C και σημεία D,E στην πλευρά AB και στην προέκταση της AC, προς το C αντίστοιχα,
τέτοια ώστε το D να είναι το συμμετρικό του E ως προς το F, όπου F=BC\cap DE.
Να δείξετε ότι BD=CE.
socrates
 
Δημοσιεύσεις: 4473
Εγγραφή: Δευτ. Μαρ. 09, 2009 1:47 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό dimitris.ligonis » Τετ. Απρ. 25, 2012 6:07 pm

Άσκηση 21:
Έστω DK//BC (K επί της AC). Από Θαλή ισχύει CE=CK. Το DKCB είναι ισοσκελές τραπέζιο (\widehat{B}=\widehat{C}) και άρα DB=CE.
Δημήτρης
dimitris.ligonis
 
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Πέμ. Μάιος 12, 2011 10:55 am

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό socrates » Τετ. Μάιος 30, 2012 12:06 am

Άσκηση 22
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AB<AC. Η εξωτερική διχοτόμος Ay της γωνίας A τέμνει την προέκταση της BC στο M.
Στην προέκταση της Ay θεωρούμε σημείο N τέτοιο ώστε AM=AN. Η εσωτερική διχοτόμος της A τέμνει την BC στο D.
Αν ND\cap AC=\{ E \}, να δείξετε ότι AD \perp BE.

Άσκηση 23
Έστω M σημείο εσωτερικό του τριγώνου ABC τέτοιο ώστε \angle ABM=\angle ACM.
Αν P,Q οι προβολές του M στις πλευρές AB και AC αντίστοιχα και E το μέσο της BC, να δείξετε ότι EP=EQ.

Άσκηση 24
Έστω τρίγωνο ABC με \angle ABC=\angle ACB.
Αν υπάρχουν σημεία M \in  (AB), N \in (AC), P \in (BC) τέτοια ώστε BM + NC = BC και το τρίγωνο MNP να είναι ισόπλευρο,
να δείξετε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο.

Άσκηση 25
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με \angle A=90^\circ και \angle B=30^\circ. Έστω M,N τα μέσα των AB και BC αντίστοιχα.
Αν P,Q σημεία στα τμήματα BC και MN αντίστοιχα τέτοια ώστε

\displaystyle{\frac{PB}{PC}=4\cdot \frac{QM}{QN}+3,}

να δείξετε ότι το τρίγωνο APQ είναι ισόπλευρο.
socrates
 
Δημοσιεύσεις: 4473
Εγγραφή: Δευτ. Μαρ. 09, 2009 1:47 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό dr.tasos » Τετ. Μάιος 30, 2012 2:19 am

socrates έγραψε:Άσκηση 22
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AB<AC. Η εξωτερική διχοτόμος Ay της γωνίας A τέμνει την προέκταση της BC στο M.
Στην προέκταση της Ay θεωρούμε σημείο N τέτοιο ώστε AM=AN. Η εσωτερική διχοτόμος της A τέμνει την BC στο D.
Αν ND\cap AC=\{ E \}, να δείξετε ότι AD \perp BE.



Αρκεί ισοδυναμα να δείξω το \displaystyle{ ABE } ισοσκελες δηλαδη \displaystyle{ AB=AE }

Συγκρίνω τα \displaystyle{ MAD \quad NAD } που ειναι ισα αφου
\displaystyle{ AM=AN } , \displaystyle{ AD=AD } , \displaystyle{ \angle{MAD}=\angle{DAN} } ως αθροισμα ισων γωνιων αφου \displaystyle{ \angle{MAD}=\frac{A}{2}+\frac{180-A}{2} } λογω κατακορυφην κτλ .

άρα αφου τα τριγωνα ειναι ισα θα παρω \displaystyle{ \angle{M}=\angle{N} }

Συγκρινοντας τα \displaystyle{ MAB \quad ANE } βγαινουν ισα και παίρνω ευκολα \displaystyle{ AB=AE }άρα αφου η \displaystyle{ AD } διχοτομος στο ισοσκελες \displaystyle{ ABE } θα ειναι και υψος κτλ.
"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
dr.tasos
 
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 12, 2011 5:40 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό dr.tasos » Τετ. Μάιος 30, 2012 11:59 am

socrates έγραψε:Άσκηση 23
Έστω M σημείο εσωτερικό του τριγώνου ABC τέτοιο ώστε \angle ABM=\angle ACM.
Αν P,Q οι προβολές του M στις πλευρές AB και AC αντίστοιχα και E το μέσο της BC, να δείξετε ότι EP=EQ.




δεν χρησιμοποιησα το γεγονος οτι \angle ABM=\angle ACM. , : αλλα ας κανω μια προσπαθεια και αν μπαζει καπου ας μου επισημανθει .

Λοιπον, στο ορθογωνιο BPC η PE διαμεσος στην υποτεινουσα αρα PE=\frac{BC}{2}
Στο ορθογωνιο BQC η QE διαμεσος στην υποτεινουσα αρα QE=\frac{BC}{2} συνεπως PE=QEκαι το ζητουμενο εχει αποδειχτει.
"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
dr.tasos
 
Δημοσιεύσεις: 425
Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 12, 2011 5:40 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό chris » Τετ. Μάιος 30, 2012 12:18 pm

dr.tasos έγραψε:
socrates έγραψε:Άσκηση 23
Έστω M σημείο εσωτερικό του τριγώνου ABC τέτοιο ώστε \angle ABM=\angle ACM.
Αν P,Q οι προβολές του M στις πλευρές AB και AC αντίστοιχα και E το μέσο της BC, να δείξετε ότι EP=EQ.




δεν χρησιμοποιησα το γεγονος οτι \angle ABM=\angle ACM. , : αλλα ας κανω μια προσπαθεια και αν μπαζει καπου ας μου επισημανθει .

Λοιπον, στο ορθογωνιο BPC η PE διαμεσος στην υποτεινουσα αρα PE=\frac{BC}{2}
Στο ορθογωνιο BQC η QE διαμεσος στην υποτεινουσα αρα QE=\frac{BC}{2} συνεπως PE=QEκαι το ζητουμενο εχει αποδειχτει.


Δεν γνωρίζεις αν τα P,M,C και B,M,Q είναι συνευθειακά οπότε δεν μπορείς να ισχυριστείς ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια.
Στραγάλης Χρήστος
Άβαταρ μέλους
chris
 
Δημοσιεύσεις: 1130
Εγγραφή: Πέμ. Μαρ. 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα-Θεσσαλονίκη

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό orestisgotsis » Πέμ. Μάιος 31, 2012 7:16 am

socrates έγραψε:Άσκηση 9
Θεωρούμε τραπέζιο ABCD με AD\parallel BC και AD>BC. Έστω E το μέσο της διαγωνίου BD και F το ίχνος της καθέτου από το B στην AD.
Να δείξετε ότι το τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν το συμμετρικό του A ως προς το F και το συμμετρικό του C ως προς το E συμπίπτουν.


Λύση Άσκησης 9

Έστω ότι το \displaystyle{ABCD} είναι ισοσκελές τραπέζιο με AB=CD. Φέρνουμε CH\bot AD, οπότε BC=FH\,\,\,(1)και από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ABF και CDH \left( AB=CD,\,\,BF=CH \right) είναι AF=DH\,\,\,(2). Αν Z είναι το συμμετρικό του A ως προς το F, τότε AF=FZ\,\,\,(3). Τότε FH=FZ+ZH\,\,\overset{(2),(3)}{\mathop{=}}\,\,\,DH+ZH=ZD\,\,\overset{(1)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\,\,BC=ZD, δηλαδή το BCDZ είναι παραλληλόγραμμο με διαγωνίους BD,\,\,CZ, άρα το Z είναι το συμμετρικό του C ως προς το μέσο E της \displaystyle{BD}.

Έστω τώρα ότι το συμμετρικό του \displaystyle{A} ως προς το \displaystyle{F} και το συμμετρικό του \displaystyle{C} ως προς το \displaystyle{E} συμπίπτουν στο Z. Θα είναι τότε: \vartriangle \,ABZ ισοσκελές (BF ύψος και διάμεσος), άρα AB=BZ\,\,\,(4) και BCDZ παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες BD,\,\,CZ διχοτομούνται), οπότε BZ=CD\,\,\,(5). Από (4),(5)\Rightarrow AB=CD\Rightarrow ABCD ισοσκελές τραπέζιο.
Άσκηση 9.PNG
Άσκηση 9.PNG (8.32 KiB) 556 προβολές
orestisgotsis
 
Δημοσιεύσεις: 1239
Εγγραφή: Σάβ. Φεβ. 25, 2012 10:19 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό orestisgotsis » Παρ. Ιουν. 01, 2012 1:01 pm

Φωτεινή έγραψε:Άσκηση 4

Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC,~~\hat A=120^o και AD,BE,CZ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του .

Να αποδείξετε ότι : E\hat DZ=90^o


Η λύση εδώ
orestisgotsis
 
Δημοσιεύσεις: 1239
Εγγραφή: Σάβ. Φεβ. 25, 2012 10:19 pm

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό dimitris.ligonis » Κυρ. Ιουν. 03, 2012 8:41 am

ΑΣΚΗΣΗ 23

'Εστω K,L τα μέσα των BM,MC.

[KP=KM=EL]\wedge [KE=ML=QL] \wedge [\widehat{EKM}=\widehat{ELM} \wedge \widehat{PKM}=\widehat{MLQ} ] (1)

(1) \Rightarrow \Delta PKE=\Delta QLE

Οι ισότητες απο προκύπτουν το θεώρημα για τη διάμεσο ορθογωνίου τριγώνου προς υποτείνουσα,και το σχηματιζόμενο παρ/γραμμο KMLE.
Συνημμένα
Προβολές.PNG
Προβολές.PNG (31.31 KiB) 455 προβολές
Δημήτρης
dimitris.ligonis
 
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Πέμ. Μάιος 12, 2011 10:55 am

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό orestisgotsis » Κυρ. Ιουν. 03, 2012 8:22 pm

socrates έγραψε:Άσκηση 25
Θεωρούμε τρίγωνο ABC με \angle A=90^\circ και \angle B=30^\circ. Έστω M,N τα μέσα των AB και BC αντίστοιχα.
Αν P,Q σημεία στα τμήματα BC και MN αντίστοιχα τέτοια ώστε

\displaystyle{\frac{PB}{PC}=4\cdot \frac{QM}{QN}+3,}

να δείξετε ότι το τρίγωνο APQ είναι ισόπλευρο.


Λύση Άσκησης 25

Είναι \displaystyle{\widehat{B}={{30}^{o}}\Rightarrow AC=\displaystyle{\frac{BC}{2}\Rightarrow AB=\sqrt{B{{C}^{2}}-{{\left( \frac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\frac{BC\sqrt{3}}{2}\,\,\,(1) και \displaystyle{AC=\frac{BC}{2}\,\,\,(2) Αφού M,N μέσα, θα είναι

\displaystyle{MN=\frac{AC}{2}\,\,\overset{(2)}{\mathop{=}}\,\,\,\frac{BC}{4}\,\,\,(3). Με κέντρο το B και ακτίνα AB γράφω κύκλο που τέμνει την BC στο P. Τότε

\displaystyle{PC=BC-BP=BC-\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\displaystyle{\frac{\left( 2-\sqrt{3} \right)BC}{2}\,\,\,(4), οπότε \displaystyle{\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{PC}\,\,\underset{(4)}{\overset{(1)}{\mathop{=}}}\,\,\,\frac{\frac{BC\sqrt{3}}{2}}{\frac{\left( 2-\sqrt{3} \right)BC}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=2\sqrt{3}+3\,\,\,(5)}. Φέρω BK\bot AP\Rightarrow BK

διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του ισοσκελούς τριγώνου ABP και ας είναι Q\equiv BK\cap MN. Από το Θ. εσωτερικής διχοτόμου έχουμε

\displaystyle{\frac{QM}{QN}=\frac{BM}{BN}=\frac{\frac{AB}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{AB}{BC}\,\,\overset{(1)}{\mathop{=}}\,\,\,\frac{\frac{BC\sqrt{3}}{2}}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 4\frac{QM}{QN}=2\sqrt{3}\Rightarrow 4\frac{QM}{QN}+3=2\sqrt{3}+3\,\,\,(6)

Από \displaystyle{(5),(6)\Rightarrow \frac{PB}{PC}=4\frac{QM}{QN}+3. Με αυτόν τον τρόπο προσδιόρισα τα σημεία P,Q ώστε να ισχύει η συνθήκη που δόθηκε γι’ αυτά. Μένει να δειχθεί ότι το

τρίγωνο \displaystyle{APQ} είναι ισόπλευρο.

Πράγματι: Επειδή M,N μέσα θα είναι MN\parallel AC\Rightarrow MN\bot AB\Rightarrow MN μεσοκάθετος του AB. Επίσης AK μεσοκάθετος του AP και Q το σημείο τομής

αυτών των μεσοκαθέτων, άρα BQ=QA=QP, δηλαδή \vartriangle APQ ισοσκελές. Στο ισοσκελές τρίγωνο ABP\Rightarrow \widehat{BAP}=\widehat{BPA}={{75}^{0}}, ενώ στο ισοσκελές

τρίγωνο AQB\Rightarrow \widehat{BAQ}=\widehat{ABQ}={{15}^{0}} (AK διχοτόμος). Από \widehat{C}={{60}^{0}} και \widehat{BPA}={{75}^{0}} (εξωτερική στο \vartriangle APC), έχουμε \widehat{CAP}={{15}^{0}}, οπότε

\displaystyle{\widehat{QAP}={{90}^{0}}-{{15}^{0}}-{{15}^{0}}={{60}^{0}}. Τελικά τρίγωνο \displaystyle{APQ} ισόπλευρο ως ισοσκελές με μία γωνία του {{60}^{0}}.

APQ Ισόπλευρο.PNG
APQ Ισόπλευρο.PNG (7.83 KiB) 404 προβολές
orestisgotsis
 
Δημοσιεύσεις: 1239
Εγγραφή: Σάβ. Φεβ. 25, 2012 10:19 pm

Προηγούμενη

Επιστροφή στο Ασκήσεις ΜΟΝΟ γιά μαθητές

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Παναγιώτης Χ. και 1 επισκέπτης