Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Τρί Απρ 10, 2012 9:15 am

Ας δημιουργήσουμε και ένα φάκελο με ασκήσεις Άλγεβρας Α' Λυκείου μόνο για μαθητές , με κανόνες αντίστοιχους

των παρόμοιων φακέλων άλλων τάξεων , ουσιαστικά δηλαδή με ασκήσεις σαν αυτές που θα βάζαμε στις

εξετάσεις και ως προς τη μορφή (2-3-4 ερωτήματα ) και ως προς τη δυσκολία (όχι μόνο 4α θέματα !)

Άσκηση 1
Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι a , b , c , d . Έστω ότι ισχύει : \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}

1) Βρείτε τον αριθμητικό μέσο των δύο κλασμάτων , τον οποίο ας ονομάσουμε \kappa , και δείξτε ότι : \displaystyle \frac{a}{b}<\kappa<\frac{c}{d}

2) Δείξτε ότι για τον αριθμό \displaystyle \lambda =\frac{a+c}{b+d} , ισχύει επίσης ότι : \displaystyle \frac{a}{b}<\lambda<\frac{c}{d}

3) Εξετάστε ποιος εκ των \kappa , \lambda , είναι μεγαλύτερος .


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4134
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Απρ 10, 2012 10:11 am

ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω a , b , x , y θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a>x και b>y.

(α) Να αποδείξετε ότι: 4xy<(a+x)(b+y)<4ab

(β) Να αποδείξετε ότι \sqrt{ax+by}<a+b


Άβαταρ μέλους
mathlete23
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Δευ Μάιος 03, 2010 7:11 pm

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από mathlete23 » Τρί Απρ 10, 2012 10:51 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 1
Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι a , b , c , d . Έστω ότι ισχύει : \displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}

1) Βρείτε τον αριθμητικό μέσο των δύο κλασμάτων , τον οποίο ας ονομάσουμε \kappa , και δείξτε ότι : \displaystyle \frac{a}{b}<\kappa<\frac{c}{d}

2) Δείξτε ότι για τον αριθμό \displaystyle \lambda =\frac{a+c}{b+d} , ισχύει επίσης ότι : \displaystyle \frac{a}{b}<\lambda<\frac{c}{d}

3) Εξετάστε ποιος εκ των \kappa , \lambda , είναι μεγαλύτερος .


α) Θα είναι:
\displaystyle \kappa=\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}=\frac{ad+bc}{2bd}
Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ζητούμενη:
\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{ad+bc}{2bd}\Leftrightarrow ad+cb>2ad\Leftrightarrow cb>ad\Leftrightarrow \frac{c}{d}>\frac{a}{b},
που ισχύει από υπόθεση, και άρα ισχύει και η αρχική σχέση. Να σημειωθεί ότι αφού a,b,c,d \in Z_+ όλοι οι παρονομαστές ορίζονται. Επίσης έχουμε:
\displaystyle \frac{c}{d}>\frac{ad+bc}{2bd}\Leftrightarrow ad+bc<2bc\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow \frac{c}{d}>\frac{a}{b},
ισχύει από υπόθεση, και συνεπώς:
\displaystyle \frac{a}{b}<\kappa<\frac{c}{d}

β)Θα ακολουθήσουμε παρόμοια λογική:
\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\Leftrightarrow a(b+d)<b(a+c)\Leftrightarrow ab+ad<ba+bc\Leftrightarrow \frac{a}{b}<\frac{c}{d},
που και πάλι ισχύει από υπόθεση. Παρομοίως και:
\displaystyle \frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\Leftrightarrow c(b+d)>d(a+c)\Leftrightarrow cb+cd>da+dc\Leftrightarrow \frac{c}{d}>\frac{a}{b}
και άρα:
\displaystyle \frac{a}{b}<\lambda<\frac{c}{d}

γ)Θα ερευνήσουμε το πρόσημο της διαφοράς:
\displaystyle \kappa-\lambda=\frac{ad+bc}{2bd}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{(ad+cb)(b+d)-(a+c)2bd}{2bd(b+d)}
Επειδή ο παρονομαστής είναι προφανώς θετικός, μας ενδιαφέρουν οι τιμές του αριθμητή:
\displaystyle adb+cb^{2}+ad^{2}+cbd-2abd-2bcd=cb(b-d)+ad(d-b)=(b-d)(cb-ad)
Όμως:
\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Leftrightarrow cb>ad\Leftrightarrow cb-ad>0,
και τελικά επικεντρωνόμαστε στο εξής:
αν \displaystyle b-d=0\Leftrightarrow b=d, τότε θα είναι και \kappa=\lambda
αν \displaystyle b-d>0\Leftrightarrow b>d, τότε και \displaystyle \kappa-\lambda>0\Leftrightarrow \kappa>\lambda
αν \displaystyle b-d<0\Leftrightarrow b<d, τότε και \displaystyle \kappa-\lambda<0\Leftrightarrow \kappa<\lambda
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τετ Απρ 11, 2012 2:42 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Ch.Chortis » Τρί Απρ 10, 2012 11:43 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω a , b , x , y θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a>x και b>y.

(α) Να αποδείξετε ότι: 4xy<(a+x)(b+y)<4ab

(β) Να αποδείξετε ότι \sqrt{ax+by}<a+b

Με φώναξε κανεις-Άλγεβρα είδα και μπήκα.
Επειδή όλοι είναι θετικοί,μπορούμε να χρησμοποιήσουμε όλες τις ιδιότητες διάταξης.
α) \displaystyle a>x,~b>y \Rightarrow ab>xy \Rightarrow 4ab>4xy και \displaystyle a>x,~b>y \Rightarrow a+x>2x,~b+y>2y \Rightarrow (a+x)(b+y)>4xy καθώς και \displaystyle a+a>a+x,~b+b>b+y \Rightarrow 4ab>(a+x)(b+y) άρα \displaystyle 4xy<(a+x)(b+y)<4ab.
β) a>x,~b>y \Rightarrow a+b>x+y \Rightarrow (a+b)^2>(a+b)(x+y)>ax+by \Rightarrow a+b>\sqrt {(a+b)(x+y)}>\sqrt {ax+by}.Άρα ισχύει.


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 431
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από dr.tasos » Τρί Απρ 10, 2012 11:46 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω a , b , x , y θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a>x και b>y.

(α) Να αποδείξετε ότι: 4xy<(a+x)(b+y)<4ab

(β) Να αποδείξετε ότι \sqrt{ax+by}<a+b



Αν και το δεύτερο με ζόρισε κάπως βάζω μια λύση :

\displaystyle{ 2a>x+a (1) }

\displaystyle{ 2b>y+b (2) }

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη τις 2 ανισότητες και παίρνω \displaystyle{ 4ab >(a+x)(y+b) }

Επίσης \displaystyle{ a+x>2x (3) \wedge b+y>2y (4) } Πολλαπλασιάζω κατά μέλη τις 2 ανισότητες και παίρνω \displaystyle{ 4xy <(a+x)(y+b) }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από KARKAR » Τετ Απρ 11, 2012 1:09 am

Άσκηση 3

Αν a-b=4 και a^2-b^2=44

1) Βρείτε τα a+b και ab

2) Βρείτε το a^3-b^3 , χωρίς να βρείτε τους a, b

3) Ομοίως το a^4-b^4

4) Βρείτε τώρα τους a , b (!)


dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 431
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από dr.tasos » Τετ Απρ 11, 2012 1:24 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 3

Αν a-b=4 και a^2-b^2=44

1) Βρείτε τα a+b και ab

2) Βρείτε το a^3-b^3 , χωρίς να βρείτε τους a, b

3) Ομοίως το a^4-b^4

4) Βρείτε τώρα τους a , b (!)


a) \displaystyle{ (a-b)(a+b)=44 \Leftrightarrow a+b=11 }
\displaystyle{ a^2+b^2-2ab=16 \Leftrightarrow (a+b)^2-4ab=16 \Leftrightarrow ab=\frac{105}{4} }

b) \displaystyle{ (a-b)(a^2+b^2+ab)=(a-b)[(a+b)^2-ab]=379 }

c) \displaystyle{ (a-b)(a+b)[(a+b)^2-2ab]=3014 }

d) \displaystyle{ a+b=11 \quad (1) \wedge a-b=4 \quad (2)  } με κατάλληλη προσθαφαιρεση θα παρω \displaystyle{ a=\frac{15}{2} \wedge b=\frac{7}{2} }
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τετ Απρ 11, 2012 2:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 431
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από dr.tasos » Τετ Απρ 11, 2012 1:37 pm

Άσκηση 4

Βάζω και εγώ κατι σχετικά απλό στα απόλυτα :


Έστω \displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }

a) Αν \displaystyle{ ab \ne  0 } και ισχυει οτi \displaystyle{ a|b|=b|a| } νδο \displaystyle{ a ,b } ομόσημοι .

b) Άν \displaystyle{ |a| \ne |b| } και |a+b^2|=|b||a+1| νδο |b|=1

Edit: Βαζω αλλα ένα πιο hardocore

c) Αν \displaystyle{ |a| \ne |b| } Νδο \displaystyle{ \frac{|a|}{|a+b|}+\frac{|b|}{|a-b|} \geq 1 }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Άβαταρ μέλους
JimVerman
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από JimVerman » Τετ Απρ 11, 2012 2:04 pm

dr.tasos έγραψε:Άσκηση 4

Βάζω και εγώ κατι σχετικά απλό στα απόλυτα :


Έστω \displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }

a) Αν \displaystyle{ ab \ne  0 } και ισχυει οτi \displaystyle{ a|b|=b|a| } νδο \displaystyle{ a ,b } ομόσημοι .

b) Άν \displaystyle{ |a| \ne |b| } και |a+b^2|=|b||a+1| νδο |b|=1


α) a\left | b \right |=b\left | a \right |\Leftrightarrow \frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow \left | \frac{a}{b} \right |=\frac{a}{b}\Leftrightarrow \frac{a}{b}\geq 0\Rightarrow ab\geq 0 \; \left ( \textnormal{\gr Απορρίπτεται το } \; ab= 0 \right ) \Rightarrow
\Rightarrow ab> 0\Rightarrow a,b \; \textnormal{\gr ομόσημοι}

γ) \frac{\left | a \right |}{\left | a+b \right |}+\frac{\left | b \right |}{\left | a-b \right |}\geq 1\Leftrightarrow \left | a \right |\left | a-b \right |+\left | b \right |\left | a+b \right |\geq \left | a+b \right |\left | a-b \right |\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left | a\left ( a-b \right ) \right |+\left | b\left (a+b  \right ) \right |\geq \left | \left ( a+b \right ) \left ( a-b \right )\right |\Leftrightarrow \left | a^{2}-ab \right |+\left | ab+b^{2} \right |\geq \left | a^{2}-b^{2} \right |\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \boxed{\left | a^{2}-ab \right |+\left | ab+b^{2} \right |\geq\left | a^{2} -ab+ab-b^{2}\right |}

\textnormal{\gr το οποίο ισχύει από την τριγωνική ανισότητα. }

Εκκρεμεί διόρθωση προς το τέλος της άσκησης.


\textsc{Dimitris V.}
Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Antonis_Z » Τετ Απρ 11, 2012 3:18 pm

Για την 4:
dr.tasos έγραψε:Άσκηση 4 Έστω \displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }

a) Αν \displaystyle{ ab \ne  0 } και ισχυει οτi \displaystyle{ a|b|=b|a| } νδο \displaystyle{ a ,b } ομόσημοι .

b) Άν \displaystyle{ |a| \ne |b| } και |a+b^2|=|b||a+1| νδο |b|=1

Edit: Βαζω αλλα ένα πιο hardocore

c) Αν \displaystyle{ |a| \ne |b| } Νδο \displaystyle{ \frac{|a|}{|a+b|}+\frac{|b|}{|a-b|} \geq 1 }


β)υψώνω στο τετράγωνο και μετά τις πράξεις-παραγοντοποιήσεις έχω (1-b^2)(a^2-b^2)=0.
Δηλαδή |b|=1 ή |a|=|b|(απορρίπτεται από την εκφώνηση).
γ)Ισχύει ότι |a|+|b|\geq|a+b| και |a|+|b|\geq|a-b|.Εφαρμόζουμε αυτές τις δύο στο αριστερό μέλος και έχουμε: LHS\geq \frac{|a|}{|a|+|b|}+\frac{|b|}{|a|+|b|}=1
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Απρ 17, 2012 9:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Αντώνης Ζητρίδης
Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από erxmer » Τετ Απρ 11, 2012 3:24 pm

Aσκηση 5

Δίνονται οι παραστάσεις A=\sqrt{\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}, B=\frac{\displaystyle{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{\displaystyle{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}}

1) Να αποδειχθεί οτι A=\sqrt[3]{2}, B=5+\sqrt{6}

2) Nα λυθεί η εξίσωση |x+A^3|=B-\sqrt{6}

3) Nα λυθεί η ανίσωση |x-A|<\sqrt[3]{2}


Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Ch.Chortis » Τετ Απρ 11, 2012 5:13 pm

erxmer έγραψε:Aσκηση 5

Δίνονται οι παραστάσεις A=\sqrt{\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}, B=\frac{\displaystyle{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}}{\displaystyle{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}}

1) Να αποδειχθεί οτι A=\sqrt[3]{2}, B=5+\sqrt{6}

2) Nα λυθεί η εξίσωση |x+A^3|=B-\sqrt{6}

3) Nα λυθεί η ανίσωση |x-A|<\sqrt[3]{2}


Στα γρήγορα...
1)B=\dfrac {3\sqrt {3}-2\sqrt {2}} {\sqrt {3}-\sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {3}} {\sqrt {3}-\sqrt {2}} +2\dfrac {\sqrt {3}-\sqrt {2}} {\sqrt {3}-\sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {3} (\sqrt {3} +\sqrt {2})} {(\sqrt {3}-\sqrt {2}) (\sqrt {3}+\sqrt {2})}+2=3+\sqrt {6}+2=5+\sqrt {6}.

2)Έχουμε: \displaystyle |x+(\sqrt [3] {2})^3|=5+\sqrt {6}-\sqrt {6} \Leftrightarrow |x+2|=5.Αν x\displaystyle +2<0 \Rightarrow -x-2=5 \Rightarrow -x=7 \Rightarrow x=-7.

Αν \displaystyle x+2>0 \Rightarrow x+2=5 \Rightarrow x=3.

3)Αν \displaystyle x-\sqrt [3] {2}>0 \Rightarrow x-\sqrt [3] {2}<\sqrt [3] {2} \Rightarrow x<2\sqrt [3] {2}.Αν \displaystyle x-\sqrt [3] {2} <0 \Rightarrow \sqrt [3] {2} -x<\sqrt [3] {2} \Rightarrow x>0.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Απρ 17, 2012 9:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από KARKAR » Πέμ Απρ 12, 2012 12:28 am

Άσκηση 6
1) Πώς θα παραστήσουμε τέσσερις , διαδοχικούς ( θετικούς) περιττούς ;

2) Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων τους ;

3) Ένας μόνο από τους 1040 , 1042 , 1044 , 1046 , μπορεί να είναι άθροισμα

τετραγώνων τεσσάρων διαδοχικών περιττών . Ποιος ?

4) Βρείτε τους τέσσερις αριθμούς που είναι λύσεις στο προηγούμενο ερώτημα


Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Ch.Chortis » Πέμ Απρ 12, 2012 11:18 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 6
1) Πώς θα παραστήσουμε τέσσερις , διαδοχικούς ( θετικούς) περιττούς ;

2) Ποιο είναι το άθροισμα των τετραγώνων τους ;

3) Ένας μόνο από τους 1040 , 1042 , 1044 , 1046 , μπορεί να είναι άθροισμα

τετραγώνων τεσσάρων διαδοχικών περιττών . Ποιος ?

4) Βρείτε τους τέσσερις αριθμούς που είναι λύσεις στο προηγούμενο ερώτημα

1)Μπορούμε να τους συμβολίσουμε έτσι: 2k-3,2k-1,2k+1,2k+3 με k\in \mathbb {N},~k\geq 2(αν θέλουμε θετικούς).
2) Βρίσκουμε: \displaystyle (2k+1)^2+(2k-1)^2+(2k+3)^2+(2k-3)^2=4k^2+4k+1+4k^2-4k+1+4k^2+12k^2+9+4k^2-12k+9=16k^2+20=4(4k^2+5).
3)Ο αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4 άρα είτε θα είναι ο \displaystyle 1040=4(4k^2+5) \Rightarrow 260=4k^2+5 είτε ο \displaystyle 1044=4(4k^2+5) \Rightarrow 261=4k^2+5.
Τώρα επειδή: \displaystyle 4k^2+5=261 \Rightarrow 4k^2-256=(2k-16)(2k+16)=0 \Rightarrow k=\pm 8 \Rightarrow k=8 ο αριθμός 1044 είναι ο σωστός.
3) Αντικαθιστούμε την τιμή k=8 και βρίσκουμε: \displaystyle 2\cdot 8-3=13,~2\cdot 8-1=15,~2\cdot 8+1=17,~2\cdot 8+3=19 άρα οι αριθμοί είναι οι 13,15,17,19.


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Ch.Chortis » Πέμ Απρ 12, 2012 11:44 am

erxmer έγραψε:Aσκηση 5

Δίνονται οι παραστάσεις A=\sqrt{\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}...
1) Να αποδειχθεί οτι A=\sqrt[3]{2}

Επειδή δεν είδα κανέναν να το απαντάει βάζω μία λύση χωρίς να είμαι σίγουρος μιάς και δεν έχω ασχοληθεί ιδιαίτερα με ασκήσεις που περιέχουν δείκτη(ελπίζω έτσι να το λένε το 3 που είναι αριστερά στο 2).
Υψώνουμε στον κύβο και παίρνουμε: \displaystyle A^3=\left(\sqrt {\sqrt {2\sqrt [3] {2}}} \right)^3=\sqrt {\sqrt {(2\sqrt [3] {2})^3}}=\sqrt {\sqrt {8\cdot 2}}=\sqrt {\sqrt {16}}=\sqrt {4}=2 άρα "γυρίζοντας πίσω τον κύβο" \displaystyle A=\sqrt [3] {2}.
Μπορεί να κάνω και λάθος παρακαλώ κάποιος να με ενημερώσει.


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
JimVerman
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από JimVerman » Παρ Απρ 13, 2012 10:09 pm

Άσκηση 7

Δίνεται η εξίσωση: \left ( 5x-4 \right )^{2}+\left ( 4x+5 \right )^{2}+\left ( x-7 \right )\left ( x+7 \right )=2009+\left ( x-2\sqrt{2} \right )\left ( x+2\sqrt{2} \right ).

i) Να λυθεί η εξίσωση.

ii) Αν η y η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης, να απλοποιηθεί η παράσταση: K=4\left | x+500 \right |+3\left | x-10 \right |-x-21 για κάθε x\in \left ( -y ,y  \right ).


Άσκηση 8

Οι πραγματικοί αριθμοί a , \; b , \; c είναι διαφορετικοί ανά δύο και ισχύει: \alpha +\beta +\gamma =0. Να αποδείξετε ότι:

i) \left ( 2a ^{2} +b c \right )\left ( 2b^{2}+ac \right )\left ( 2c^{2}+ab \right )\neq 0,

ii) \frac{a^{2}}{2a ^{2} +b c}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ac}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}=1.


Άσκηση 9

Για έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό \overline{abcd} ισχύει: a+c=b+d. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του 11.


Από τον Β' Ευκλείδη (Τεύχος 73) της Ε.Μ.Ε.


\textsc{Dimitris V.}
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 431
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από dr.tasos » Σάβ Απρ 14, 2012 12:08 am

JimVerman έγραψε:Άσκηση 7

Δίνεται η εξίσωση: \left ( 5x-4 \right )^{2}+\left ( 4x+5 \right )^{2}+\left ( x-7 \right )\left ( x+7 \right )=2009+\left ( x-2\sqrt{2} \right )\left ( x+2\sqrt{2} \right ).

i) Να λυθεί η εξίσωση.

ii) Αν η y η μεγαλύτερη λύση της εξίσωσης, να απλοποιηθεί η παράσταση: K=4\left | x+500 \right |+3\left | x-10 \right |-x-21 για κάθε x\in \left ( -y ,y  \right ).




Άσκηση 9

Για έναν τετραψήφιο φυσικό αριθμό \overline{abcd} ισχύει: a+c=b+d. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του 11.


Από τον Β' Ευκλείδη (Τεύχος 73) της Ε.Μ.Ε.



α) Πράξεις .... \displaystyle{ x=\pm 7 }
b) \displaystyle{ x \in (-7,7) } Άρα το πρώτο απόλυτο βγαίνει κανονικα και το δευτερο αλλαγμενο \displaystyle{ A=2011 }



\displaystyle{\overline{abcd} =1000a+100b+10c+d \Leftrightarrow \overline{abcd}= 1000a+100b+10(b+d-a)+d \Leftrightarrow \overline{abcd}=990a+110b+11d \Leftrightarrow \overline{abcd}=11(90a+10b+d) } άρα προφανώς πολλαπλάσιο του \displaystyle{ 11 }


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Drama Prinzessin
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Δευ Απρ 09, 2012 5:36 pm

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Drama Prinzessin » Κυρ Απρ 15, 2012 8:02 pm

Άσκηση 10

Α) Να δειχθεί ότι :
Αν \alpha <\beta <\gamma

\frac{|\gamma -\alpha |-|\alpha -\beta |}{|\gamma -\beta |} + \frac{|\beta -\alpha |+|\beta -\gamma | }{|\gamma -\alpha |}=2

Β) Αν |x|\leq 2 και |y|\leq 4 να αποδείξετε ότι |5x-3y|\leq 22


Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2303
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Απρ 15, 2012 9:05 pm

ΑΣΚΗΣΗ 11η

Μιας και φέτος έχουμε και τις πιθανότητες στην Α τάξη μια ιδέα για κάτι εύκολο (πχ 2ο Θέμα)

Αν \displaystyle{
{\rm A},{\rm B}
} είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου \displaystyle{
\Omega 
}με πιθανότητες \displaystyle{
P(A) = 0,4
} , \displaystyle{
P(B) = 0,5
} και \displaystyle{
P({\rm A} \cap B) = 0,2
}.

1. Να δείξετε ότι: \displaystyle{
P({\rm A} \cup B) = 0,7
}.
2. Θεωρούμε το ενδεχόμενο: «Πραγματοποιείτε ακριβώς ένα από τα \displaystyle{
{\rm A}
} και \displaystyle{
{\rm B}
} » . Να γραφτεί στην συμβολική γλώσσα των συνόλων με την βοήθεια των \displaystyle{
{\rm A},{\rm B}
} και στην συνέχεια να βρεθεί η πιθανότητα του.
3. Αν \displaystyle{
\Gamma 
} είναι ένα τρίτο ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου \displaystyle{
\Omega 
}, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: \displaystyle{
K = \left| {1 - P(\Gamma )} \right| + \left| {P(\Gamma )} \right|
}


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
JimVerman
Δημοσιεύσεις: 247
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 22, 2011 11:32 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Φάκελος ασκήσεων Άλγεβρας Α' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από JimVerman » Κυρ Απρ 15, 2012 10:47 pm

Drama Prinzessin έγραψε:Άσκηση 10

Α) Να δειχθεί ότι :
Αν \alpha <\beta <\gamma

\frac{|\gamma -\alpha |-|\alpha -\beta |}{|\gamma -\beta |} + \frac{|\beta -\alpha |+|\beta -\gamma | }{|\gamma -\alpha |}=2

Β) Αν |x|\leq 2 και |y|\leq 4 να αποδείξετε ότι |5x-3y|\leq 22


Α) Επειδή είναι: \gamma -\alpha >0, \alpha -\beta <0, \gamma -\beta >0, \beta -\alpha >0, \beta -\gamma <0 και \gamma -\alpha >0, η παράσταση \frac{|\gamma -\alpha |-|\alpha -\beta |}{|\gamma -\beta |} + \frac{|\beta -\alpha |+|\beta -\gamma | }{|\gamma -\alpha |} είναι ίση με την \frac{\gamma -\alpha -\left ( \beta -\alpha  \right )}{\gamma -\beta } + \frac{\beta -\alpha +\gamma -\beta  }{\gamma -\alpha }=\frac{\gamma -\alpha -\beta +\alpha }{\gamma -\beta }+\frac{\gamma -\alpha }{\gamma -\alpha }=\frac{\gamma -\beta }{\gamma -\beta }+1=1+1=\boxed{2} \; \textnormal{\en Q.E.D}

Β) Είναι: \left.\begin{matrix}
\left | x \right |\leq 2\\ 
\left | y \right |\leq 4
\end{matrix}\right\}\Rightarrow 
\left.\begin{matrix}
\left | 5x \right |\leq 10\\ 
\left | 3y \right |\leq 12
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \boxed{\left | 5x \right |+\left | 3y \right |\leq 22}.

Από την τριγωνική ανισότητα, όμως, έχω: \boxed{\left | 5x-3y \right |\leq \left | 5x \right |+\left | 3y \right |}.

Δηλαδή από την μεταβατική ιδιότητα: \boxed{\left | 5x-3y \right |\leq 22} \; \texnormal{\en Q.E.D}.


\textsc{Dimitris V.}

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης