Απόλυτα - Γραφική παράσταση (Α' Άλγεβρα)

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}}$ .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

β) Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς τις απόλυτες τιμές.

γ) Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{5}}$ .

δ) Να λυθεί η ανίσωση : $\displaystyle{-\frac{1}{3}<f(x)\leq\frac{1}{2}}$ .

ε) Να γίνει η γραφική παράσταση της

.

(Mέχρι 30/4/12)

Ch.Chortis · #2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}}$ .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
β) Να γραφτεί ο τύπος της χωρίς τις απόλυτες τιμές.
γ) Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{5}}$ .
δ) Να λυθεί η ανίσωση : $\displaystyle{-\frac{1}{3}<f(x)\leq\frac{1}{2}}$ .
ε) Να γίνει η γραφική παράσταση της .
(Mέχρι 30/4/12)

Αν και δεν έχει την ίδια ομορφιά με την άλλη άσκησή σας, για προθέρμανση μια χαρά άσκηση είναι.
β) Για
x>1

έχουμε:
$\displaystyle \frac {|x+1|-|x-1|} {|x+1|+|x-1|}=\frac {x+1-x+1} {x+1+x-1}=\frac {2} {2x}=\frac {1} {x}$
Για -1<x<1

παίρνουμε:
$\displaystyle \frac {|x+1|-|x-1|} {|x+1|+|x-1|}=\frac {x+1+x-1} {x+1+1-x}=\frac {2x} {2}=x$
Για x<1

έχουμε
$\displaystyle \frac {|x+1|-|x-1|} {|x+1|+|x-1|}=\frac {-1-x+x-1} {-1-x-x+1}=\frac {-2} {-2x}=\frac {1} {x}$ .
Για x=1

έχουμε

ενώ για

θα βρούμε

.
α) Από τα προηγούμενα-παραπάνω αποδεικνύεται οτι για κάθε x<0

η παράσταση παίρνει μόνο αρνητικές τιμές,ενώ για κάθε x>0

παίρνει μόνο θετικές.Δηλαδή:
$f(x) \in (-\infty,\infty)$
Επιπλέον για x=0

έχουμε

.
γ) Προφανώς για αρνητικές τιμές του

η παράσταση παίρνει αρνητικές τιμές.Άρα επικεντρωνόμαστε μόνο στα θετικά

.Από τους τύπους,για 0<x<1

βρίσκουμε:
$\displaystyle f(x)=x=\frac {1} {5}$
ενώ για x>1

:
$\displaystyle f(x)=\frac {1} {x}=\frac {1} {5} \Leftrightarrow x=5$ .
Άρα ή $x=\dfrac {1} {5}$ ή x=5

.
δ)Πάλι χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους έχουμε (για x>1,~x<-1

):
$\displaystyle -\frac {1} {3}<f(x) \leq \frac {1} {2} \Leftrightarrow -\frac {1} {3}<\frac {1} {x} \leq \frac {1} {2} \Leftrightarrow -3>x,~x\geq 2$

(για -1<x<1

):
$\displaystyle -\frac {1} {3}<f(x) \leq \frac {1} {2} \Leftrightarrow -\frac {1} {3}<x\leq \frac {1} {2}$ .
Άρα τα διαστήματα είναι τα:
$\displaystyle f(x) \in (-\infty,-3) \bigcup (-\frac {1} {3},\frac {1} {2}] \bigcup [2,\infty)$ .
Έκανα τις απαραίτητες διορθώσεις.

Γιώργος Απόκης · #3

Xαρίλαε καλησπέρα. Κάποιες παρατηρήσεις στη λύση σου...

Ch.Chortis έγραψε: Αν και δεν έχει την ίδια ομορφιά με την άλλη άσκησή σας, για προθέρμανση μια χαρά άσκηση είναι.
β) Για
έχουμε:
$\displaystyle \frac {|x+1|-|x-1|} {|x+1|+|x-1|}=\frac {x+1-x+1} {x+1+x-1}=\frac {2} {2x}=\frac {1} {x}$
Για παίρνουμε:
$\displaystyle \frac {|x+1|-|x-1|} {|x+1|+|x-1|}=\frac {x+1+x-1} {x+1+1-x}=\frac {2x} {2}=x$
Για έχουμε
$\displaystyle \frac {|x+1|-|x-1|} {|x+1|+|x-1|}=\frac {-1-x+x-1} {-1-x-x+1}=\frac {-2} {-2x}=\frac {1} {x}$ .

Δες τι γίνεται για x=1

και

.

Ch.Chortis έγραψε: α) Από τα προηγούμενα-παραπάνω αποδεικνύεται οτι για κάθε η παράσταση παίρνει μόνο αρνητικές τιμές,ενώ για κάθε παίρνει μόνο θετικές.Δηλαδή:
$f(x) \in [-\infty,\infty]$

$\bullet$ Δε ζητείται το σύνολο τιμών, αλλά οι τιμές που παίρνει η ανεξάρτητη μεταβλητή (το

)...
$\bullet$ Aκόμα κι αν ζητούσε σύνολο τιμών, το ότι η

παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές, δε σημαίνει ότι παίρνει όλες αυτές τις τιμές.
$\bullet$ Για x=0

;
$\bullet$ Προφανώς είναι τυπογραφικό το κλειστό στα άπειρα...

Ch.Chortis έγραψε:
γ) Προφανώς για αρνητικές τιμές του η παράσταση παίρνει αρνητικές τιμές.Άρα επικεντρωνόμαστε μόνο στα θετικά .Από τους τύπους,για βρίσκουμε:
$\displaystyle f(x)=x=\frac {1} {5}$
ενώ για :
$\displaystyle f(x)=\frac {1} {x}=\frac {1} {5} \Rightarrow x=5$ .
Άρα ή $x=\dfrac {1} {5}$ ή .

Σωστό, μια μικρή συμπλήρωση : καλό είναι να χρησιμοποιούμε ισοδυναμία στην επίλυση εξισώσεων ή να επαληθεύουμε αν χρησιμοποιήσαμε συνεπαγωγή.

Ch.Chortis έγραψε: δ)Πάλι χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους έχουμε (για ):
$\displaystyle -\frac {1} {3}<f(x) \leq \frac {1} {2} \Leftrightarrow -\frac {1} {3}<\frac {1} {x} \leq \frac {1} {2} \Leftrightarrow -3>x,~x\geq 2$
(για ):
$\displaystyle -\frac {1} {3}<f(x) \leq \frac {1} {2} \Leftrightarrow -\frac {1} {3}<x\leq \frac {1} {2}$ .
Άρα τα διαστήματα είναι τα:
$\displaystyle f(x) \in [-\infty,-3] \bigcup [-\frac {1} {3},\frac {1} {2}] \bigcup [2,\infty]$ .
Δεν έβαλα σχήμα στη λύση μου.Λυπάμαι

Σωστή η επίλυση, πρόσεξε στη χρήση ανοικτού - κλειστού διαστήματος.

Φιλικά, Γιώργος

Γιώργος Απόκης · #4

Να προσθέσω απλώς το πεδίο ορισμού.

Πρέπει $|x+1|+|x-1|\ne 0\Leftrightarrow x\in \mathbb R$ αφού δεν υπάρχει τιμή του

που να μηδενίζει συγχρόνως τα : x-1,x+1

.

Απόλυτα - Γραφική παράσταση (Α' Άλγεβρα)

Απόλυτα - Γραφική παράσταση (Α' Άλγεβρα)

Re: Απόλυτα - Γραφική παράσταση (Α' Άλγεβρα)

Re: Απόλυτα - Γραφική παράσταση (Α' Άλγεβρα)

Re: Απόλυτα - Γραφική παράσταση (Α' Άλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση