Διαφορά ριζών(Α-ΛΥΚ-ΑΛΓ,,,Γ-ΓΥΜΝ)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Διαφορά ριζών(Α-ΛΥΚ-ΑΛΓ,,,Γ-ΓΥΜΝ)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Τρί Νοέμ 27, 2012 1:49 am

Μια έμπνευση για μαθητές Ά λυκείου (γιατί όχι και Γ γυμνασίου)

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης,

\left( 1-\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}\right)\left( \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}+1\right)\left(\sqrt{\sqrt{x}}+1 \right)\left(x+2\sqrt{x}+x^{0} \right) για x=2

Έως 30/11/2012


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Διαφορά ριζών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από orestisgotsis » Τετ Νοέμ 28, 2012 2:22 pm

pana1333 έγραψε:Μια έμπνευση για μαθητές Ά λυκείου (γιατί όχι και Γ γυμνασίου)

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης,

\left( 1-\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}\right)\left( \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}+1\right)\left(\sqrt{\sqrt{x}}+1 \right)\left(x+2\sqrt{x}+x^{0} \right) για x=2

Έως 30/11/2012


Για \displaystyle{x=2} η παράσταση γίνεται:

\displaystyle{\left( 1-\sqrt[8]{2} \right)\left( 1+\sqrt[8]{2} \right)\left( 1+\sqrt[4]{2} \right){{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}=\left( 1-\sqrt[4]{2} \right)\left( 1+\sqrt[4]{2} \right){{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}=\left( 1-\sqrt{2} \right)\left( 1+\sqrt{2} \right)\left( 1+\sqrt{2} \right)=}

\displaystyle{=\left( 1-{{\sqrt{2}}^{2}} \right)\left( 1+\sqrt{2} \right)=-1-\sqrt{2}}

Και μια γενική λύση:

Η παράσταση έχει νόημα για \displaystyle{x>0}, αφού για \displaystyle{x=0} εμφανίζεται ο όρος \displaystyle{{{0}^{0}}} που δεν ορίζεται.

Τότε: \displaystyle{\left( 1-\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} \right)\left( \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}+1 \right)\left( \sqrt{\sqrt{x}}+1 \right)\left( x+2\sqrt{x}+{{x}^{0}} \right)=}

\displaystyle{=\left( 1-\sqrt[8]{x} \right)\left( 1+\sqrt[8]{x} \right)\left( 1+\sqrt[4]{x} \right){{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}=\left( 1-\sqrt[4]{x} \right)\left( 1+\sqrt[4]{x} \right){{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}=\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1+\sqrt{x} \right)\left( 1+\sqrt{x} \right)=}

\displaystyle{=\left( 1-{{\sqrt{x}}^{2}} \right)\left( 1+\sqrt{x} \right)=-1-\sqrt{x}}


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Διαφορά ριζών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από pana1333 » Πέμ Νοέμ 29, 2012 12:46 am

Ορέστη ευχαριστώ για τη λύση σου. Η αλήθεια είναι την έβαλα για την γενική λύση την οποία μόλις πρόσεξα ότι την πρόσθεσες. Μπράβο σου.

Την άσκηση αυτή τη "σκάρωσα" με αφορμή μαθητή μου της Γ γυμνασίου που "ανακάλυψε" μόνος του ότι το x-1 γράφεται \left( \sqrt{x}-1\right)\left( \sqrt{x}+1\right)(προφανώς εφόσον x\geq 0), το \sqrt{x}-1 ως \left( \sqrt{\sqrt{x}}-1\right)\left( \sqrt{\sqrt{x}}+1\right) κ.λ.π


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης